Най-важното от урока
Дефект на масата (\(\Delta m\)): Масата на ядрото е по-малка от сумата на масите на нуклоните му.
Енергия и маса: Свързани са чрез \(E=mc^2\). "Липсващата" маса се е превърнала в енергия.
Енергия на връзка (\(E_{вр}\)): Енергията, освободена при образуване на ядрото. \(E_{вр} = \Delta m c^2\).
Специфична енергия на връзка (\(\varepsilon_n\)): Енергията на нуклон (\(E_{вр}/A\)), която определя стабилността на ядрото.
Ядрени реакции: Ядрата се стремят към по-висока стабилност. Леките ядра се сливат (синтез), а тежките се делят (делене), за да достигнат състояние с по-висока \(\varepsilon_n\), отделяйки енергия.
Енергия и маса: Свързани са чрез \(E=mc^2\). "Липсващата" маса се е превърнала в енергия.
Енергия на връзка (\(E_{вр}\)): Енергията, освободена при образуване на ядрото. \(E_{вр} = \Delta m c^2\).
Специфична енергия на връзка (\(\varepsilon_n\)): Енергията на нуклон (\(E_{вр}/A\)), която определя стабилността на ядрото.
Ядрени реакции: Ядрата се стремят към по-висока стабилност. Леките ядра се сливат (синтез), а тежките се делят (делене), за да достигнат състояние с по-висока \(\varepsilon_n\), отделяйки енергия.
Сумата от масите на отделните протони и неутрони, които изграждат едно ядро, е винаги по-голяма от масата на самото ядро. Тази разлика в масите се нарича дефект на масата.
\[ \Delta m = Z m_p + N m_n - M_{яд} \]
където Z е броят протони, N е броят неутрони, \(m_p\) и \(m_n\) са техните маси, а \(M_{яд}\) е масата на ядрото.
Масата на един протон (\(1.6726 \cdot 10^{-27}\) kg) и един неутрон (\(1.6749 \cdot 10^{-27}\) kg) е \(3.3475 \cdot 10^{-27}\) kg. Масата на ядрото на деутерий (съставено от тях) е \(3.3436 \cdot 10^{-27}\) kg. Дефектът на масата е разликата:
\[ \Delta m = 3.3475 \cdot 10^{-27} \text{ kg} - 3.3436 \cdot 10^{-27} \text{ kg} = 0.0039 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \]
Ядрото на хелий-4 (\(^{4}_{2}He\)) има маса \(M_{яд} \approx 6.6447 \cdot 10^{-27}\) kg. То е съставено от 2 протона и 2 неутрона. Намерете дефекта на масата.
Сумарна маса на нуклоните: \(2 m_p + 2 m_n = 2 \cdot (1.6726 + 1.6749) \cdot 10^{-27} = 6.695 \cdot 10^{-27}\) kg.
Дефект на масата: \(\Delta m = 6.695 \cdot 10^{-27} - 6.6447 \cdot 10^{-27} = 0.0503 \cdot 10^{-27}\) kg.
Дефект на масата: \(\Delta m = 6.695 \cdot 10^{-27} - 6.6447 \cdot 10^{-27} = 0.0503 \cdot 10^{-27}\) kg.
Според теорията на Айнщайн, масата (\(m\)) и енергията (\(E\)) са еквивалентни и могат да се превръщат една в друга. Всяко тяло с маса \(m\) притежава "енергия в покой" \(E\).
\[ E = mc^2 \]
където \(c\) е скоростта на светлината във вакуум (\(c \approx 3 \cdot 10^8\) m/s).
При загряване на 1 kg вода от \(0^\circ C\) до \(100^\circ C\) нейната вътрешна енергия се увеличава с 420 000 J. Това отговаря на увеличение на масата с \(\Delta m = \Delta E / c^2 = 4.7 \cdot 10^{-12}\) kg – пренебрежимо малка стойност за ежедневни процеси.
Каква енергия в джаули се съдържа в 1 грам (\(10^{-3}\) kg) маса?
\(E = mc^2 = 10^{-3} \text{ kg} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m/s})^2 = 10^{-3} \cdot 9 \cdot 10^{16} = 9 \cdot 10^{13}\) J.
Това е енергията, която се отделя при образуването на ядро от съставящите го нуклони. Тя е равна на енергията, необходима за разделянето на ядрото обратно на свободни протони и неутрони. Тази енергия е еквивалентна на дефекта на масата.
\[ E_{вр} = \Delta m \cdot c^2 \]
За ядрото на деутерий \(\Delta m \approx 0.0039 \cdot 10^{-27}\) kg. Енергията на връзка е:
\[ E_{вр} = (0.0039 \cdot 10^{-27}) \cdot (3 \cdot 10^8)^2 \approx 3.5 \cdot 10^{-13} \text{ J} \approx 2.2 \text{ MeV} \]
(1 MeV = \(10^6\) eV; 1 eV = \(1.6 \cdot 10^{-19}\) J)
Дефектът на масата на едно ядро е \( \Delta m = 1 \cdot 10^{-29} \) kg. Колко е неговата енергия на връзка в джаули?
\(E_{вр} = \Delta m \cdot c^2 = (1 \cdot 10^{-29} \text{ kg}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m/s})^2 = 9 \cdot 10^{-13}\) J.
Това е енергията на връзка, разделена на броя нуклони (\(A\)) в ядрото. Тя е мярка за стабилността на ядрото. Колкото по-голяма е \(\varepsilon_n\), толкова по-стабилно е ядрото.
\[ \varepsilon_n = \frac{E_{вр}}{A} \]
където \(A\) е масовото число (общ брой протони и неутрони).
Ядрото на кислород \(^{16}_{8}O\) има \(E_{вр} = 128 \text{ MeV}\). \(A = 16\).
\[ \varepsilon_n = \frac{128 \text{ MeV}}{16} = 8 \text{ MeV/нуклон} \]
Ядрото на азот \(^{14}_{7}N\) има \(E_{вр} = 105 \text{ MeV}\). \(A = 14\).
\[ \varepsilon_n = \frac{105 \text{ MeV}}{14} = 7.5 \text{ MeV/нуклон} \]
Тъй като \(8 > 7.5\), ядрото на кислорода е по-стабилно.
Едно ядро има масово число \(A=50\) и енергия на връзка \(E_{вр} = 425 \text{ MeV}\). Намерете специфичната енергия на връзка.
\(\varepsilon_n = \frac{425 \text{ MeV}}{50} = 8.5 \text{ MeV/нуклон}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Ядрото на хелий-4 (\(^{4}_{2}He\)) има енергия на връзка \(E_{вр} \approx 28 \text{ MeV}\). Намерете неговата специфична енергия на връзка.
Масовото число е \(A=4\).
\[ \varepsilon_n = \frac{E_{вр}}{A} = \frac{28 \text{ MeV}}{4} = 7 \text{ MeV/нуклон} \]
Средна: Ядрото на литий-7 (\(^{7}_{3}Li\)) има дефект на масата \( \Delta m = 0.0691 \cdot 10^{-27} \) kg. Изчислете енергията му на връзка в MeV. (Приемете, че \(1 \text{ MeV} \approx 1.6 \cdot 10^{-13}\) J).
1. Изчисляваме енергията в джаули:
\[ E_{вр} = \Delta m \cdot c^2 = (0.0691 \cdot 10^{-27}) \cdot (3 \cdot 10^8)^2 \approx 6.22 \cdot 10^{-12} \text{ J} \]
2. Превръщаме в MeV:
\[ E_{вр} = \frac{6.22 \cdot 10^{-12} \text{ J}}{1.6 \cdot 10^{-13} \text{ J/MeV}} \approx 38.9 \text{ MeV} \]
Трудна: Ядрата с масово число около 60 (напр. желязо) имат най-висока специфична енергия на връзка (\(\approx 8.8 \text{ MeV}\)), докато тежкото ядро на уран-235 има по-ниска (\(\approx 7.6 \text{ MeV}\)). Ако ядро на уран се раздели на две по-малки ядра, чиято обща специфична енергия на връзка е по-висока, ще се отдели или ще се погълне енергия? Обяснете защо.
Ще се отдели енергия. Продуктите от деленето (по-малките ядра) са по-стабилни, защото имат по-висока специфична енергия на връзка. Това означава, че те са "по-здраво свързани". Преминаването от по-малко стабилно състояние (уран) към по-стабилно (продукти на делене) е съпроводено с освобождаване на излишната енергия. Тази енергия е разликата между енергиите на връзка на крайните и началното ядро.
