23. Хидростатично Налягане. Барометри

Стъпка 1: Извличане на информация и записване на даденото

За да направим пресмятания за дължината на тръбата на воден барометър, трябва да знаем какво атмосферно налягане ще измерваме. Приемаме стандартно атмосферно налягане, което е равно на налягането на живачен стълб с височина \( 760 \, \text{mm Hg} \). От Урок 22 - Закон на Паскал. Хидравлични Машини, знаем, че хидростатичното налягане се изчислява по формулата \( p = \rho g h \). Дадено: Височина на живачен стълб \( h_ж = 760 \, \text{mm Hg} = 0{,}76 \, \text{m} \) Плътност на живака \( \rho_ж = 13600 \, \text{kg/m}^3 \) Плътност на водата \( \rho_в = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) (за вода) Земно ускорение \( g \approx 9{,}8 \, \text{m/s}^2 \) (може да се приеме и \( 10 \, \text{m/s}^2 \) за по-лесни сметки, но ще използваме \( 9{,}8 \, \text{m/s}^2 \)) Търси се: Височина на водния стълб \( h_в \).

Стъпка 2: Изчисляване на атмосферното налягане, създадено от живачния стълб

Атмосферното налягане \( p_a \) се изчислява като налягането на живачен стълб с височина \( h_ж \): \[ p_a = \rho_ж g h_ж \] Заместваме стойностите: \[ p_a = 13600 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9{,}8 \, \text{m/s}^2 \cdot 0{,}76 \, \text{m} \] \[ p_a = 101292{,}8 \, \text{Pa} \]

Стъпка 3: Изчисляване на дължината на тръбата за воден барометър

Налягането на водния стълб трябва да е равно на атмосферното налягане \( p_a \): \[ p_a = \rho_в g h_в \] Оттук изразяваме височината на водния стълб \( h_в \): \[ h_в = \frac{p_a}{\rho_в g} \] Заместваме изчисленото налягане и дадените стойности за плътност на водата и земното ускорение: \[ h_в = \frac{101292{,}8 \, \text{Pa}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9{,}8 \, \text{m/s}^2} \] \[ h_в = \frac{101292{,}8}{9800} \] \[ h_в \approx 10{,}336 \, \text{m} \]

Стъпка 4: Алтернативен подход за пресмятане

Можем да приравним налягането, което оказва живачният стълб, на налягането, което ще оказва водният стълб: \[ p_ж = p_в \] \[ \rho_ж g h_ж = \rho_в g h_в \] Можем да съкратим земното ускорение \( g \), тъй като то е еднакво и от двете страни: \[ \rho_ж \cancel{g} h_ж = \rho_в \cancel{g} h_в \] \[ \rho_ж h_ж = \rho_в h_в \] Оттук изразяваме височината на водния стълб \( h_в \): \[ h_в = \frac{\rho_ж h_ж}{\rho_в} \] Заместваме стойностите: \[ h_в = \frac{13600 \, \text{kg/m}^3 \cdot 0{,}76 \, \text{m}}{1000 \, \text{kg/m}^3} \] \[ h_в = \frac{13600 \cdot 0{,}76}{1000} \] \[ h_в = 13{,}6 \cdot 0{,}76 \] \[ h_в = 10{,}336 \, \text{m} \]

Стъпка 5: Заключение

За направата на воден барометър ще ни е необходима тръба с дължина приблизително 10,34 метра. Отговорът "Около 10 m" е приемлив, тъй като 10,34 m е близо до 10 m.