36. Преходи Между Състоянията на Веществата (Решаване на Задачи)

Стъпка 1: Дефиниране на условията и константите

Имаме вода с маса \( m_1 = 200 \, \text{г} = 0,2 \, \text{кг} \) и температура \( t_1 = 30^\circ \text{C} \). Пускаме парче лед с маса \( m_2 = 50 \, \text{г} = 0,05 \, \text{кг} \) и температура \( t_2 = 0^\circ \text{C} \). Специфичният топлинен капацитет на водата е \( c_в = 4200 \, \text{J/(kg} \cdot \text{K)} \). Специфичната топлина на топене на леда е \( \lambda = 3,4 \times 10^5 \, \text{J/kg} = 340000 \, \text{J/kg} \). Топлинният капацитет на съда е пренебрежимо малък, което означава, че не отчитаме топлообмена със съда.

Стъпка 2: Записване на уравнението за топлинния баланс

Количеството топлина, което водата отдава, е равно на количеството топлина, което ледът поглъща, за да се разтопи и да се нагрее до крайната температура. Нека крайната температура на равновесие е \( t \). Топлината, отдадена от водата, е \( Q_{отд} \). Топлината, погълната от леда, се състои от две части: 1. Топлина за топене на леда: \( Q_{топене} \) 2. Топлина за загряване на стопения лед (водата от леда) до крайната температура: \( Q_{нагряване} \) Уравнението за топлинния баланс е: \[ Q_{отд} = Q_{топене} + Q_{нагряване} \]

Стъпка 3: Изчисляване на \( Q_{отд} \)

Водата с маса \( m_1 \) се охлажда от \( t_1 \) до \( t \). \[ Q_{отд} = c_в m_1 (t_1 - t) \] \[ Q_{отд} = 4200 \, \text{J/(kg} \cdot \text{K)} \cdot 0,2 \, \text{кг} \cdot (30^\circ \text{C} - t) \] \[ Q_{отд} = 840 \, \text{J/K} \cdot (30^\circ \text{C} - t) \]

Стъпка 4: Изчисляване на \( Q_{топене} \)

Ледът с маса \( m_2 \) се топи при \( 0^\circ \text{C} \). \[ Q_{топене} = \lambda m_2 \] \[ Q_{топене} = 340000 \, \text{J/kg} \cdot 0,05 \, \text{кг} \] \[ Q_{топене} = 17000 \, \text{J} \]

Стъпка 5: Изчисляване на \( Q_{нагряване} \)

Стопеният лед (вода) с маса \( m_2 \) се загрява от \( 0^\circ \text{C} \) до \( t \). \[ Q_{нагряване} = c_в m_2 (t - 0^\circ \text{C}) \] \[ Q_{нагряване} = 4200 \, \text{J/(kg} \cdot \text{K)} \cdot 0,05 \, \text{кг} \cdot t \] \[ Q_{нагряване} = 210 \, \text{J/K} \cdot t \]

Стъпка 6: Решаване на уравнението за топлинния баланс

Заместваме изразите за количествата топлина в уравнението: \[ 840 \cdot (30 - t) = 17000 + 210 \cdot t \] Разкриваме скобите: \[ 840 \cdot 30 - 840 \cdot t = 17000 + 210 \cdot t \] \[ 25200 - 840 \cdot t = 17000 + 210 \cdot t \] Прехвърляме членовете с \( t \) от едната страна и константите от другата: \[ 25200 - 17000 = 210 \cdot t + 840 \cdot t \] \[ 8200 = 1050 \cdot t \] Разделяме, за да намерим \( t \): \[ t = \frac{8200}{1050} \] \[ t = \frac{\cancel{820}_82}{\cancel{105}_10,5} \] \[ t \approx 7,8095 \, \degree \text{C} \] Закръгляме до цяло число, както е дадено в отговора: \[ t \approx 8^\circ \text{C} \] Забележка: В отговора е посочено \( 9^\circ \text{C} \), което може да е резултат от закръгление или използване на малко по-различни стойности на константите. Ако използваме \( t = 8200 / 1050 \approx 7,81^\circ \text{C} \) и го закръглим до най-близкото цяло число, получаваме \( 8^\circ \text{C} \). Ако закръглянето е по-грубо или в задачата е използвано \( \lambda = 3,36 \times 10^5 \, \text{J/kg} \) (стара стойност), резултатът би бил по-близо до \( 9^\circ \text{C} \). С настоящите стойности на константите, нашият резултат е \( 8^\circ \text{C} \).

Стъпка 7: Заключение

След като ледът се разтопи и се установи топлинно равновесие, температурата в съда ще бъде приблизително \( 8^\circ \text{C} \).