Най-важното от урока
Дефиниционно множество (ДМ): Множеството от допустими стойности за \(x\). Внимавай за знаменатели (\(\ne 0\)) и корени (\(\ge 0\)).
Линейна функция \(f(x) = ax+b\): Графиката е права линия. Наклонът зависи от \(a\).
Квадратна функция \(f(x) = ax^2+bx+c\): Графиката е парабола. Ако \(a>0\), отворена е нагоре; ако \(a<0\), отворена е надолу.
Връх на парабола: Точката с координати \(x = -b/(2a)\). Това е мястото, където функцията сменя своята монотонност (от растяща става намаляваща или обратно).
Линейна функция \(f(x) = ax+b\): Графиката е права линия. Наклонът зависи от \(a\).
Квадратна функция \(f(x) = ax^2+bx+c\): Графиката е парабола. Ако \(a>0\), отворена е нагоре; ако \(a<0\), отворена е надолу.
Връх на парабола: Точката с координати \(x = -b/(2a)\). Това е мястото, където функцията сменя своята монотонност (от растяща става намаляваща или обратно).
Дефиниционно множество на една функция е множеството от всички стойности, които аргументът \(x\) може да приеме, така че функцията да е дефинирана (да има смисъл).
При намиране на ДМ трябва да се съобразим с две основни ограничения:
- Израз под квадратен корен трябва да бъде неотрицателен (\(\ge 0\)).
- Знаменател на дроб трябва да бъде различен от нула (\(\ne 0\)).
Да се намери ДМ на \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}\).
Решение: Трябва да са изпълнени двете условия едновременно:
1. Знаменателят да е различен от 0: \(\sqrt{x-2} \ne 0 \Rightarrow x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2\).
2. Подкоренната величина да е неотрицателна: \(x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\).
Като обединим двете, получаваме \(x > 2\). Следователно, \(D: x \in (2; +\infty)\).
Решение: Трябва да са изпълнени двете условия едновременно:
1. Знаменателят да е различен от 0: \(\sqrt{x-2} \ne 0 \Rightarrow x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2\).
2. Подкоренната величина да е неотрицателна: \(x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\).
Като обединим двете, получаваме \(x > 2\). Следователно, \(D: x \in (2; +\infty)\).
Намерете дефиниционното множество на функцията \(f(x) = \frac{x}{x-5}\).
Знаменателят не може да е 0, следователно \(x-5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5\).
Отговор: \(D: x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)\).
Отговор: \(D: x \in (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)\).
Линейна функция е функция от вида \(f(x) = ax + b\), където \(a\) и \(b\) са константи. Графиката ѝ е права линия.
Коефициентът \(a\) се нарича ъглов коефициент и определя наклона на правата. Ако \(a > 0\), функцията е растяща. Ако \(a < 0\), функцията е намаляваща. Ако \(a=0\), функцията е константа.
Функцията \(f(x) = 2x + 3\) е линейна. Нейната графика е права линия, която пресича оста Oy в точката \((0; 3)\) и е растяща, защото \(a=2 > 0\).
Намерете пресечната точка на графиките на функциите \(f(x) = x+1\) и \(g(x) = -x+5\).
Приравняваме двете функции, за да намерим абсцисата (x-координатата) на пресечната точка:
\(x+1 = -x+5\)
\(2x = 4 \Rightarrow x=2\)
Заместваме \(x=2\) в една от функциите, за да намерим ординатата (y-координатата):
\(y = f(2) = 2+1 = 3\)
Отговор: Пресечната точка е \((2; 3)\).
\(x+1 = -x+5\)
\(2x = 4 \Rightarrow x=2\)
Заместваме \(x=2\) в една от функциите, за да намерим ординатата (y-координатата):
\(y = f(2) = 2+1 = 3\)
Отговор: Пресечната точка е \((2; 3)\).
Квадратна функция е функция от вида \(f(x) = ax^2 + bx + c\), където \(a \ne 0\). Графиката ѝ се нарича парабола.
- Ако \(a > 0\), параболата е "отворена нагоре" (с върха надолу). Функцията има най-малка стойност.
- Ако \(a < 0\), параболата е "отворена надолу" (с върха нагоре). Функцията има най-голяма стойност.
За функцията \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), коефициентът \(a=1 > 0\), следователно параболата е отворена нагоре. Пресечните ѝ точки с оста Ox се намират, като решим уравнението \(x^2 - 4x + 3 = 0\), което дава \(x_1=1\) и \(x_2=3\). Точките са \((1;0)\) и \((3;0)\).
Определете накъде е отворена параболата на функцията \(f(x) = -2x^2 + 5x - 1\) и намерете пресечната ѝ точка с оста Oy.
Тъй като \(a=-2 < 0\), параболата е отворена надолу.
Пресечната точка с оста Oy се намира при \(x=0\).
\(f(0) = -2(0)^2 + 5(0) - 1 = -1\).
Отговор: Параболата е отворена надолу, а пресечната точка с Oy е \((0; -1)\).
Пресечната точка с оста Oy се намира при \(x=0\).
\(f(0) = -2(0)^2 + 5(0) - 1 = -1\).
Отговор: Параболата е отворена надолу, а пресечната точка с Oy е \((0; -1)\).
Върхът на параболата е нейната най-ниска или най-висока точка. Оста на симетрия е вертикалната права, която минава през върха.
Ос на симетрия: \(x = -\frac{b}{2a}\)
Връх на параболата: \(V\left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\) или \(V\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{D}{4a}\right)\), където \(D = b^2 - 4ac\).
Връх на параболата: \(V\left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\) или \(V\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{D}{4a}\right)\), където \(D = b^2 - 4ac\).
Функцията е намаляваща от едната страна на оста на симетрия и растяща от другата. Върхът е точката, в която монотонността се сменя.
За функцията \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), имаме \(a=1, b=-4\).
Абсцисата на върха е \(x_V = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\).
Ординатата на върха е \(y_V = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\).
Върхът е точката \(V(2; -1)\). Функцията намалява в \((-\infty; 2]\) и расте в \([2; +\infty)\).
Абсцисата на върха е \(x_V = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\).
Ординатата на върха е \(y_V = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\).
Върхът е точката \(V(2; -1)\). Функцията намалява в \((-\infty; 2]\) и расте в \([2; +\infty)\).
Намерете координатите на върха на параболата \(f(x) = 2x^2 + 4x + 5\).
Имаме \(a=2, b=4\).
Абсциса на върха: \(x_V = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1\).
Ордината на върха: \(y_V = f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3\).
Отговор: Върхът е точката \(V(-1; 3)\).
Абсциса на върха: \(x_V = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1\).
Ордината на върха: \(y_V = f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3\).
Отговор: Върхът е точката \(V(-1; 3)\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете дефиниционното множество на функцията \(f(x) = \sqrt{x-4}\).
Подкоренната величина трябва да е неотрицателна: \(x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4\).
Отговор: \(D: x \in [4; +\infty)\).
Отговор: \(D: x \in [4; +\infty)\).
Средна: За квадратната функция \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\), намерете върха на параболата и определете интервалите на монотонност.
Имаме \(a=-1, b=6\).
Абсциса на върха: \(x_V = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3\).
Ордината на върха: \(y_V = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4\).
Върхът е \(V(3; 4)\).
Тъй като \(a=-1 < 0\), параболата е отворена надолу.
Отговор: Функцията е растяща в \((-\infty; 3]\) и намаляваща в \([3; +\infty)\).
Абсциса на върха: \(x_V = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3\).
Ордината на върха: \(y_V = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4\).
Върхът е \(V(3; 4)\).
Тъй като \(a=-1 < 0\), параболата е отворена надолу.
Отговор: Функцията е растяща в \((-\infty; 3]\) и намаляваща в \([3; +\infty)\).
Трудна: Намерете пресечните точки на параболата \(f(x) = x^2 - 2x + 1\) и правата \(g(x) = x+1\).
Приравняваме двете функции: \(x^2 - 2x + 1 = x+1\).
\(x^2 - 3x = 0\)
\(x(x-3) = 0\)
Решенията за \(x\) са \(x_1=0\) и \(x_2=3\).
Намираме съответните \(y\) стойности:
За \(x_1=0\), \(y_1 = g(0) = 0+1 = 1\). Първата точка е \((0; 1)\).
За \(x_2=3\), \(y_2 = g(3) = 3+1 = 4\). Втората точка е \((3; 4)\).
Отговор: Пресечните точки са \((0; 1)\) и \((3; 4)\).
\(x^2 - 3x = 0\)
\(x(x-3) = 0\)
Решенията за \(x\) са \(x_1=0\) и \(x_2=3\).
Намираме съответните \(y\) стойности:
За \(x_1=0\), \(y_1 = g(0) = 0+1 = 1\). Първата точка е \((0; 1)\).
За \(x_2=3\), \(y_2 = g(3) = 3+1 = 4\). Втората точка е \((3; 4)\).
Отговор: Пресечните точки са \((0; 1)\) и \((3; 4)\).
