Най-важното от урока
Дефиниционното множество на една функция е съвкупността от всички стойности на аргумента \(x\), за които изразът има смисъл.
При определяне на ДМ се съобразяваме със следните основни правила:
- Знаменател: Всеки израз в знаменател трябва да е различен от нула. \( \frac{A(x)}{B(x)} \Rightarrow B(x) \neq 0 \)
- Корен четен (напр. квадратен): Подкоренната величина трябва да е неотрицателна. \( \sqrt{A(x)} \Rightarrow A(x) \ge 0 \)
- Корен четен в знаменател: Поткоренната величина трябва да е строго положителна. \( \frac{1}{\sqrt{A(x)}} \Rightarrow A(x) > 0 \)
Да се намери ДМ на функцията \( f(x) = \frac{5}{\sqrt{x-4}} \).
Изразът е дефиниран, когато подкоренната величина в знаменателя е строго положителна:
\( x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4 \).
Следователно, ДМ е \( x \in (4; +\infty) \).
Изразът е дефиниран, когато подкоренната величина в знаменателя е строго положителна:
\( x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4 \).
Следователно, ДМ е \( x \in (4; +\infty) \).
Намерете ДМ на функцията \( f(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{x-2} \).
Трябва да са изпълнени едновременно двете условия:
1. Изразът под корена да е неотрицателен: \( x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1 \).
2. Знаменателят да е различен от нула: \( x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \).
Решението е сечението на двете условия: \( x \in [-1; 2) \cup (2; +\infty) \).
1. Изразът под корена да е неотрицателен: \( x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1 \).
2. Знаменателят да е различен от нула: \( x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \).
Решението е сечението на двете условия: \( x \in [-1; 2) \cup (2; +\infty) \).
Графиката на квадратната функция е парабола. Основните ѝ свойства се определят от коефициента \(a\) и координатите на върха ѝ \(C(x_v; y_v)\).
Координати на върха: \( x_v = -\frac{b}{2a} \), \( y_v = f(x_v) \).
Ос на симетрия: \( x = -\frac{b}{2a} \).
Ос на симетрия: \( x = -\frac{b}{2a} \).
- Ако \(a > 0\), параболата е обърната нагоре. Функцията има минимална стойност \(y_{min} = y_v\). Тя е намаляваща в \( (-\infty; x_v] \) и растяща в \( [x_v; +\infty) \).
- Ако \(a < 0\), параболата е обърната надолу. Функцията има максимална стойност \(y_{max} = y_v\). Тя е растяща в \( (-\infty; x_v] \) и намаляваща в \( [x_v; +\infty) \).
За функцията \( f(x) = -x^2 + 4x - 1 \): \(a=-1 < 0\), значи има максимум.
Връх: \( x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \).
\( y_v = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 1 = -4 + 8 - 1 = 3 \).
Максималната стойност е 3. Функцията е растяща в \( (-\infty; 2] \) и намаляваща в \( [2; +\infty) \).
Връх: \( x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \).
\( y_v = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 1 = -4 + 8 - 1 = 3 \).
Максималната стойност е 3. Функцията е растяща в \( (-\infty; 2] \) и намаляваща в \( [2; +\infty) \).
Намерете минималната стойност на функцията \( f(x) = 2x^2 + 8x + 5 \).
Тъй като \(a=2 > 0\), функцията има минимална стойност.
\( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(2)} = -2 \).
\( y_{min} = f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3 \).
Отговор: Минималната стойност е -3.
\( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(2)} = -2 \).
\( y_{min} = f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3 \).
Отговор: Минималната стойност е -3.
Системи от две линейни уравнения с две неизвестни могат да се решат чрез заместване или събиране.
Метод на заместване: От едното уравнение се изразява едното неизвестно и се замества в другото уравнение.
Метод на събиране: Уравненията се умножават с подходящи числа, така че при събирането им едното неизвестно да се елиминира.
Метод на събиране: Уравненията се умножават с подходящи числа, така че при събирането им едното неизвестно да се елиминира.
Да се реши системата: \( \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases} \) чрез заместване.
1. От първото уравнение изразяваме \(y\): \( y = 2x - 3 \).
2. Заместваме във второто уравнение: \( x + 2(2x - 3) = 4 \).
3. Решаваме полученото уравнение: \( x + 4x - 6 = 4 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2 \).
4. Намираме \(y\): \( y = 2(2) - 3 = 1 \).
Решението е двойката \((2; 1)\).
1. От първото уравнение изразяваме \(y\): \( y = 2x - 3 \).
2. Заместваме във второто уравнение: \( x + 2(2x - 3) = 4 \).
3. Решаваме полученото уравнение: \( x + 4x - 6 = 4 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2 \).
4. Намираме \(y\): \( y = 2(2) - 3 = 1 \).
Решението е двойката \((2; 1)\).
Решете системата \( \begin{cases} 3x + y = 7 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases} \).
Ще използваме метода на събиране. Умножаваме първото уравнение по 3:
\( \begin{cases} 9x + 3y = 21 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases} \)
Събираме двете уравнения: \( (9x+2x) + (3y-3y) = 21+1 \Rightarrow 11x = 22 \Rightarrow x=2 \).
Заместваме \(x=2\) в първото уравнение: \( 3(2) + y = 7 \Rightarrow 6 + y = 7 \Rightarrow y=1 \).
Отговор: \((2; 1)\).
\( \begin{cases} 9x + 3y = 21 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases} \)
Събираме двете уравнения: \( (9x+2x) + (3y-3y) = 21+1 \Rightarrow 11x = 22 \Rightarrow x=2 \).
Заместваме \(x=2\) в първото уравнение: \( 3(2) + y = 7 \Rightarrow 6 + y = 7 \Rightarrow y=1 \).
Отговор: \((2; 1)\).
Система, в която едното уравнение е линейно, а другото от втора степен, най-често се решава чрез заместване.
От линейното уравнение се изразява едната променлива и се замества в уравнението от втора степен. Така се получава квадратно уравнение спрямо другата променлива, което може да има 0, 1 или 2 реални корена.
Да се реши системата: \( \begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 - xy = 3 \end{cases} \).
1. От първото уравнение изразяваме \(x\): \( x = y + 1 \).
2. Заместваме във второто: \( (y + 1)^2 - (y + 1)y = 3 \).
3. Решаваме: \( (y^2 + 2y + 1) - (y^2 + y) = 3 \Rightarrow y + 1 = 3 \Rightarrow y = 2 \).
4. Намираме \(x\): \( x = 2 + 1 = 3 \).
Решението е \((3; 2)\).
1. От първото уравнение изразяваме \(x\): \( x = y + 1 \).
2. Заместваме във второто: \( (y + 1)^2 - (y + 1)y = 3 \).
3. Решаваме: \( (y^2 + 2y + 1) - (y^2 + y) = 3 \Rightarrow y + 1 = 3 \Rightarrow y = 2 \).
4. Намираме \(x\): \( x = 2 + 1 = 3 \).
Решението е \((3; 2)\).
Намерете решенията на системата \( \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} \).
От първото уравнение изразяваме \( y = 5 - x \). Заместваме във второто:
\( x(5 - x) = 6 \Rightarrow 5x - x^2 = 6 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \).
Корените на квадратното уравнение са \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 3\).
- За \(x_1 = 2 \Rightarrow y_1 = 5 - 2 = 3\).
- За \(x_2 = 3 \Rightarrow y_2 = 5 - 3 = 2\).
Отговор: Системата има две решения: \((2; 3)\) и \((3; 2)\).
\( x(5 - x) = 6 \Rightarrow 5x - x^2 = 6 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \).
Корените на квадратното уравнение са \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 3\).
- За \(x_1 = 2 \Rightarrow y_1 = 5 - 2 = 3\).
- За \(x_2 = 3 \Rightarrow y_2 = 5 - 3 = 2\).
Отговор: Системата има две решения: \((2; 3)\) и \((3; 2)\).
Два триъгълника са подобни (\(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\)), ако ъглите им са съответно равни и страните им са съответно пропорционални.
I признак (два ъгъла): Ако два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг триъгълник. (\(\angle A = \angle A', \angle B = \angle B'\))
II признак (две страни и ъгъл между тях): Ако две страни от един триъгълник са пропорционални на две страни от друг и ъглите между тях са равни. (\(\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}, \angle C = \angle C'\))
III признак (три страни): Ако трите страни на един триъгълник са пропорционални на трите страни на друг. (\(\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}\))
II признак (две страни и ъгъл между тях): Ако две страни от един триъгълник са пропорционални на две страни от друг и ъглите между тях са равни. (\(\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}, \angle C = \angle C'\))
III признак (три страни): Ако трите страни на един триъгълник са пропорционални на трите страни на друг. (\(\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}\))
Дадени са два триъгълника. Страните на първия са 6, 8, 10. Страните на втория са 9, 12, 15. Подобни ли са?
Проверяваме по III признак дали страните са пропорционални:
\( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \), \( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \), \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \).
Тъй като отношенията са равни, триъгълниците са подобни.
\( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \), \( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \), \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \).
Тъй като отношенията са равни, триъгълниците са подобни.
В правоъгълен триъгълник съществуват важни зависимости между катетите (\(a, b\)), хипотенузата (\(c\)), височината към нея (\(h_c\)) и проекциите на катетите върху хипотенузата (\(a_c, b_c\)).
- Теорема на Питагор: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( h_c^2 = a_c \cdot b_c \)
- \( a^2 = c \cdot a_c \) и \( b^2 = c \cdot b_c \)
- \( a \cdot b = c \cdot h_c \) (Формула за лице)
В правоъгълен триъгълник катетите са 6 cm и 8 cm. Да се намери височината към хипотенузата.
1. Намираме хипотенузата с Питагоровата теорема: \(c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow c = 10\) cm.
2. Използваме формулата за лице: \(a \cdot b = c \cdot h_c \Rightarrow 6 \cdot 8 = 10 \cdot h_c \Rightarrow 48 = 10 \cdot h_c \Rightarrow h_c = 4.8\) cm.
1. Намираме хипотенузата с Питагоровата теорема: \(c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow c = 10\) cm.
2. Използваме формулата за лице: \(a \cdot b = c \cdot h_c \Rightarrow 6 \cdot 8 = 10 \cdot h_c \Rightarrow 48 = 10 \cdot h_c \Rightarrow h_c = 4.8\) cm.
Височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник я дели на отсечки с дължини 4 cm и 9 cm. Намерете височината.
Дадени са проекциите на катетите: \(a_c=4\) и \(b_c=9\).
Използваме формулата \( h_c^2 = a_c \cdot b_c \).
\( h_c^2 = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow h_c = 6 \) cm.
Използваме формулата \( h_c^2 = a_c \cdot b_c \).
\( h_c^2 = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow h_c = 6 \) cm.
Тези зависимости се отнасят за отсечки, образувани от пресичащи се хорди, секущи или допирателни към окръжност.
- Две пресичащи се хорди: Ако хордите \(AB\) и \(CD\) се пресичат в точка \(M\), то \( MA \cdot MB = MC \cdot MD \).
- Две секущи от външна точка: Ако от точка \(M\) извън окръжността са прекарани секущи \(MAB\) и \(MCD\), то \( MA \cdot MB = MC \cdot MD \).
- Допирателна и секуща: Ако от точка \(M\) са прекарани допирателна \(MT\) и секуща \(MAB\), то \( MT^2 = MA \cdot MB \).
От точка \(M\) извън окръжност е прекарана допирателна \(MT = 6\) cm и секуща, която пресича окръжността в точки \(A\) и \(B\). Ако \(MA=4\) cm, намерете дължината на хордата \(AB\).
Използваме \( MT^2 = MA \cdot MB \).
\( 6^2 = 4 \cdot MB \Rightarrow 36 = 4 \cdot MB \Rightarrow MB = 9 \) cm.
Дължината на хордата е \( AB = MB - MA = 9 - 4 = 5 \) cm.
Използваме \( MT^2 = MA \cdot MB \).
\( 6^2 = 4 \cdot MB \Rightarrow 36 = 4 \cdot MB \Rightarrow MB = 9 \) cm.
Дължината на хордата е \( AB = MB - MA = 9 - 4 = 5 \) cm.
Две хорди \(AB\) и \(CD\) се пресичат в точка \(M\). Намерете \(MD\), ако \(MA=3\), \(MB=8\) и \(MC=6\).
От свойството на пресичащите се хорди имаме \( MA \cdot MB = MC \cdot MD \).
\( 3 \cdot 8 = 6 \cdot MD \Rightarrow 24 = 6 \cdot MD \Rightarrow MD = 4 \).
\( 3 \cdot 8 = 6 \cdot MD \Rightarrow 24 = 6 \cdot MD \Rightarrow MD = 4 \).
Това е универсален метод за решаване на неравенства, които могат да се представят във вид \( \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \) (или \(<, \ge, \le\)).
Прехвърлете всичко от едната страна на неравенството, така че от другата да остане 0. Приведете под общ знаменател.
Разложете числителя и знаменателя на множители.
Намерете корените на числителя и знаменателя. Нанесете ги върху числовата ос, като я разделите на интервали.
Определете знака в най-десния интервал (той е знака на произведението на старшите коефициенти). Редувайте знаците през всеки корен (ако коренът е от четна степен, знакът не се сменя).
Запишете интервалите, които отговарят на знака на неравенството. При нестроги неравенства (\(\ge, \le\)) включете корените на числителя, но никога тези на знаменателя.
Да се реши неравенството \( \frac{x-1}{x+2} \ge 0 \).
1. Корените са \(x=1\) (на числителя) и \(x=-2\) (на знаменателя).
2. Нанасяме ги на числовата ос: \( (-\infty, -2), (-2, 1), (1, \infty) \).
3. В най-десния интервал \((1, \infty)\) изразът е положителен (+). Редуваме знаците: -, +.
4. Търсим \(\ge 0\). Това са интервалите със знак "+". Включваме корена на числителя (1), но не и на знаменателя (-2).
Решение: \( x \in (-\infty; -2) \cup [1; +\infty) \).
1. Корените са \(x=1\) (на числителя) и \(x=-2\) (на знаменателя).
2. Нанасяме ги на числовата ос: \( (-\infty, -2), (-2, 1), (1, \infty) \).
3. В най-десния интервал \((1, \infty)\) изразът е положителен (+). Редуваме знаците: -, +.
4. Търсим \(\ge 0\). Това са интервалите със знак "+". Включваме корена на числителя (1), но не и на знаменателя (-2).
Решение: \( x \in (-\infty; -2) \cup [1; +\infty) \).
Решете неравенството \( (x-3)(x+1) < 0 \).
Корените са \(x=3\) и \(x=-1\). Нанасяме ги на оста. Интервалите са \( (-\infty, -1), (-1, 3), (3, \infty) \).
Знаците са: +, -, +.
Търсим \(<0\), т.е. интервала със знак "-".
Отговор: \( x \in (-1; 3) \).
Знаците са: +, -, +.
Търсим \(<0\), т.е. интервала със знак "-".
Отговор: \( x \in (-1; 3) \).
Тригонометричните функции на остър ъгъл \(\alpha\) се дефинират в правоъгълен триъгълник.
- \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \)
- \( \text{tg }\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \), \( \text{cotg }\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \)
- \( \text{tg }\alpha \cdot \text{cotg }\alpha = 1 \)
- \( \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha \), \( \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha \)
Да се опрости изразът \( \sin\alpha \cdot \text{cotg}\alpha \).
\( \sin\alpha \cdot \text{cotg}\alpha = \sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha \).
\( \sin\alpha \cdot \text{cotg}\alpha = \sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha \).
Намерете \( \cos\alpha \), ако \( \sin\alpha = \frac{4}{5} \) и \(\alpha\) е остър ъгъл.
От \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \):
\( (\frac{4}{5})^2 + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \frac{16}{25} + \cos^2\alpha = 1 \).
\( \cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \).
Тъй като \(\alpha\) е остър ъгъл, \( \cos\alpha > 0 \), следователно \( \cos\alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \).
\( (\frac{4}{5})^2 + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \frac{16}{25} + \cos^2\alpha = 1 \).
\( \cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \).
Тъй като \(\alpha\) е остър ъгъл, \( \cos\alpha > 0 \), следователно \( \cos\alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете дефиниционното множество на функцията \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-3}} \).
Понеже имаме квадратен корен в знаменател, изразът под корена трябва да бъде строго положителен:
\( x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \).
Отговор: \( x \in (3; +\infty) \).
\( x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \).
Отговор: \( x \in (3; +\infty) \).
Средна: Решете системата уравнения:
\[ \begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} \]
От първото уравнение изразяваме \( y = 2 - x \) и заместваме във второто:
\( x^2 + (2-x)^2 = 10 \)
\( x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \)
\( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \), делим на 2: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).
Корените са \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).
- Ако \( x_1 = 3 \Rightarrow y_1 = 2 - 3 = -1 \).
- Ако \( x_2 = -1 \Rightarrow y_2 = 2 - (-1) = 3 \).
Отговор: Решенията са \((3; -1)\) и \((-1; 3)\).
\( x^2 + (2-x)^2 = 10 \)
\( x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \)
\( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \), делим на 2: \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).
Корените са \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).
- Ако \( x_1 = 3 \Rightarrow y_1 = 2 - 3 = -1 \).
- Ако \( x_2 = -1 \Rightarrow y_2 = 2 - (-1) = 3 \).
Отговор: Решенията са \((3; -1)\) и \((-1; 3)\).
Трудна: В правоъгълен триъгълник хипотенузата е 13 cm, а височината към нея е 60/13 cm. Намерете катетите на триъгълника.
Нека катетите са \(a\) и \(b\). Дадено е \( c = 13 \) и \( h_c = \frac{60}{13} \).
Имаме система от две зависимости:
1. От Питагоровата теорема: \( a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 169 \).
2. От формулата за лице: \( a \cdot b = c \cdot h_c \Rightarrow a \cdot b = 13 \cdot \frac{60}{13} = 60 \).
Решаваме системата: \( \begin{cases} a^2 + b^2 = 169 \\ ab = 60 \end{cases} \).
От второто уравнение \( b = \frac{60}{a} \). Заместваме в първото:
\( a^2 + (\frac{60}{a})^2 = 169 \Rightarrow a^2 + \frac{3600}{a^2} = 169 \).
Полагаме \( u = a^2 \): \( u + \frac{3600}{u} = 169 \Rightarrow u^2 - 169u + 3600 = 0 \).
Корените на това уравнение са \( u_1 = 144 \) и \( u_2 = 25 \).
- Ако \( a^2 = 144 \Rightarrow a = 12 \), тогава \( b = \frac{60}{12} = 5 \).
- Ако \( a^2 = 25 \Rightarrow a = 5 \), тогава \( b = \frac{60}{5} = 12 \).
Отговор: Катетите са 5 cm и 12 cm.
Имаме система от две зависимости:
1. От Питагоровата теорема: \( a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 169 \).
2. От формулата за лице: \( a \cdot b = c \cdot h_c \Rightarrow a \cdot b = 13 \cdot \frac{60}{13} = 60 \).
Решаваме системата: \( \begin{cases} a^2 + b^2 = 169 \\ ab = 60 \end{cases} \).
От второто уравнение \( b = \frac{60}{a} \). Заместваме в първото:
\( a^2 + (\frac{60}{a})^2 = 169 \Rightarrow a^2 + \frac{3600}{a^2} = 169 \).
Полагаме \( u = a^2 \): \( u + \frac{3600}{u} = 169 \Rightarrow u^2 - 169u + 3600 = 0 \).
Корените на това уравнение са \( u_1 = 144 \) и \( u_2 = 25 \).
- Ако \( a^2 = 144 \Rightarrow a = 12 \), тогава \( b = \frac{60}{12} = 5 \).
- Ако \( a^2 = 25 \Rightarrow a = 5 \), тогава \( b = \frac{60}{5} = 12 \).
Отговор: Катетите са 5 cm и 12 cm.
