Най-важното от урока
Метод на заместване: Изразете едно неизвестно (\(x\) или \(y\)) от едно уравнение и го поставете в другото. Идеален, когато едно неизвестно има коефициент 1 или -1.
Метод на събиране: Умножете уравненията, за да получите противоположни коефициенти пред \(x\) или \(y\), след което ги съберете. Най-бърз за линейни системи с подредени членове.
Метод на полагане: Заместете сложни или повтарящи се изрази (като \(x+y, xy\)) с нови променливи (\(u,v\)), за да опростите системата. Ключов за симетрични и по-сложни системи.
Метод на събиране: Умножете уравненията, за да получите противоположни коефициенти пред \(x\) или \(y\), след което ги съберете. Най-бърз за линейни системи с подредени членове.
Метод на полагане: Заместете сложни или повтарящи се изрази (като \(x+y, xy\)) с нови променливи (\(u,v\)), за да опростите системата. Ключов за симетрични и по-сложни системи.
Този метод се състои в изразяване на едно от неизвестните от едно от уравненията и заместването му в другото уравнение. Така се получава уравнение само с едно неизвестно.
Да се реши системата: \( \begin{cases} x - 2y = 3 \\ 3x + y = 16 \end{cases} \)
\(x = 3 + 2y\)
\(3(3 + 2y) + y = 16\)
\(9 + 6y + y = 16\)
\(7y = 7 \Rightarrow y = 1\)
\(9 + 6y + y = 16\)
\(7y = 7 \Rightarrow y = 1\)
\(x = 3 + 2(1) = 5\)
Решението е наредената двойка \((5; 1)\).
Решете системата чрез заместване: \( \begin{cases} y = x + 1 \\ 2x + y = 7 \end{cases} \)
Заместваме \(y\) от първото уравнение във второто:
\(2x + (x + 1) = 7\)
\(3x + 1 = 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\)
Намираме \(y\): \(y = 2 + 1 = 3\).
Отговор: \((2; 3)\)
\(2x + (x + 1) = 7\)
\(3x + 1 = 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\)
Намираме \(y\): \(y = 2 + 1 = 3\).
Отговор: \((2; 3)\)
Целта на метода е да се получат противоположни коефициенти пред едно от неизвестните в двете уравнения. Това се постига чрез умножаване на едното или двете уравнения с подходящи числа. След това уравненията се събират, при което едното неизвестно се елиминира.
Да се реши системата: \( \begin{cases} 6x - 5y = -27 \\ -3x + 5y = 21 \end{cases} \)
Коефициентите пред \(y\) са \(-5\) и \(5\) (противоположни). Събираме двете страни на уравненията:
\((6x - 5y) + (-3x + 5y) = -27 + 21\)
\(3x = -6 \Rightarrow x = -2\)
\((6x - 5y) + (-3x + 5y) = -27 + 21\)
\(3x = -6 \Rightarrow x = -2\)
Заместваме \(x=-2\) в някое от уравненията, например второто:
\(-3(-2) + 5y = 21\)
\(6 + 5y = 21 \Rightarrow 5y = 15 \Rightarrow y = 3\)
Решението е \((-2; 3)\).
\(-3(-2) + 5y = 21\)
\(6 + 5y = 21 \Rightarrow 5y = 15 \Rightarrow y = 3\)
Решете системата чрез събиране: \( \begin{cases} 2x + y = 9 \\ 3x - y = 1 \end{cases} \)
Коефициентите пред \(y\) са 1 и -1 (противоположни). Събираме уравненията:
\((2x+y) + (3x-y) = 9+1\)
\(5x = 10 \Rightarrow x=2\)
Заместваме \(x=2\) в първото уравнение: \(2(2)+y=9 \Rightarrow 4+y=9 \Rightarrow y=5\).
Отговор: \((2; 5)\)
\((2x+y) + (3x-y) = 9+1\)
\(5x = 10 \Rightarrow x=2\)
Заместваме \(x=2\) в първото уравнение: \(2(2)+y=9 \Rightarrow 4+y=9 \Rightarrow y=5\).
Отговор: \((2; 5)\)
При по-сложни системи, особено симетрични, можем да заместим повтарящи се изрази с нови неизвестни. След като намерим стойностите на новите неизвестни, се връщаме към първоначалните, за да намерим решенията.
Често използвани полагания при симетрични системи са \(u = x + y\) и \(v = xy\).
Да се реши системата: \( \begin{cases} (x+y)^2 + xy = -6 \\ 5(x+y) + xy = -6 \end{cases} \)
Полагаме \(x+y=u\) и \(xy=v\). Системата става:
\[ \begin{cases} u^2 + v = -6 \\ 5u + v = -6 \end{cases} \]
От второто уравнение изразяваме \(v = -6 - 5u\). Заместваме в първото:
\(u^2 + (-6 - 5u) = -6 \Rightarrow u^2 - 5u = 0 \Rightarrow u(u-5)=0\).
Получаваме \(u_1 = 0\) и \(u_2 = 5\).
За \(u_1=0 \Rightarrow v_1 = -6 - 5(0) = -6\).
За \(u_2=5 \Rightarrow v_2 = -6 - 5(5) = -31\).
\(u^2 + (-6 - 5u) = -6 \Rightarrow u^2 - 5u = 0 \Rightarrow u(u-5)=0\).
Получаваме \(u_1 = 0\) и \(u_2 = 5\).
За \(u_1=0 \Rightarrow v_1 = -6 - 5(0) = -6\).
За \(u_2=5 \Rightarrow v_2 = -6 - 5(5) = -31\).
Решаваме две нови системи:
1) \( \begin{cases} x+y=0 \\ xy=-6 \end{cases} \) с решения \((\sqrt{6}; -\sqrt{6})\) и \((-\sqrt{6}; \sqrt{6})\).
2) \( \begin{cases} x+y=5 \\ xy=-31 \end{cases} \) с решения \((\frac{5 \pm \sqrt{149}}{2}; \frac{5 \mp \sqrt{149}}{2})\).
1) \( \begin{cases} x+y=0 \\ xy=-6 \end{cases} \) с решения \((\sqrt{6}; -\sqrt{6})\) и \((-\sqrt{6}; \sqrt{6})\).
2) \( \begin{cases} x+y=5 \\ xy=-31 \end{cases} \) с решения \((\frac{5 \pm \sqrt{149}}{2}; \frac{5 \mp \sqrt{149}}{2})\).
Решете системата чрез полагане: \( \begin{cases} x+y=7 \\ xy=10 \end{cases} \)
От първото уравнение \(y=7-x\). Заместваме във второто:
\(x(7-x)=10 \Rightarrow 7x - x^2 = 10 \Rightarrow x^2 - 7x + 10 = 0\).
Корените са \(x_1=2\) и \(x_2=5\).
Ако \(x=2\), то \(y=7-2=5\).
Ако \(x=5\), то \(y=7-5=2\).
Отговор: \((2; 5)\) и \((5; 2)\)
\(x(7-x)=10 \Rightarrow 7x - x^2 = 10 \Rightarrow x^2 - 7x + 10 = 0\).
Корените са \(x_1=2\) и \(x_2=5\).
Ако \(x=2\), то \(y=7-2=5\).
Ако \(x=5\), то \(y=7-5=2\).
Отговор: \((2; 5)\) и \((5; 2)\)
Задачи за упражнение
Лесна: Решете системата:
\[ \begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - 2y = -1 \end{cases} \]
Използваме метода на събиране. Събираме двете уравнения:
\((x+2y) + (x-2y) = 7 + (-1)\)
\(2x = 6 \Rightarrow x = 3\)
Заместваме \(x=3\) в първото уравнение: \(3 + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y=2\).
Отговор: \((3; 2)\)
\((x+2y) + (x-2y) = 7 + (-1)\)
\(2x = 6 \Rightarrow x = 3\)
Заместваме \(x=3\) в първото уравнение: \(3 + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y=2\).
Отговор: \((3; 2)\)
Средна: Решете системата:
\[ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases} \]
Използваме метода на заместване. От първото уравнение изразяваме \(x = y + 2\).
Заместваме във второто:
\((y+2)^2 - (y+2)y + y^2 = 7\)
\((y^2+4y+4) - (y^2+2y) + y^2 = 7\)
\(y^2 + 2y + 4 = 7\)
\(y^2 + 2y - 3 = 0\)
Решенията на това квадратно уравнение са \(y_1 = 1\) и \(y_2 = -3\).
За \(y_1=1 \Rightarrow x_1 = 1+2=3\).
За \(y_2=-3 \Rightarrow x_2 = -3+2=-1\).
Отговор: \((3; 1)\) и \((-1; -3)\)
Заместваме във второто:
\((y+2)^2 - (y+2)y + y^2 = 7\)
\((y^2+4y+4) - (y^2+2y) + y^2 = 7\)
\(y^2 + 2y + 4 = 7\)
\(y^2 + 2y - 3 = 0\)
Решенията на това квадратно уравнение са \(y_1 = 1\) и \(y_2 = -3\).
За \(y_1=1 \Rightarrow x_1 = 1+2=3\).
За \(y_2=-3 \Rightarrow x_2 = -3+2=-1\).
Отговор: \((3; 1)\) и \((-1; -3)\)
Трудна: Решете симетричната система:
\[ \begin{cases} x + y + xy = 5 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \]
Преобразуваме второто уравнение: \(x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 5\).
Полагаме \(u = x+y\) и \(v=xy\). Системата добива вида: \[ \begin{cases} u + v = 5 \\ u^2 - 2v = 5 \end{cases} \] От първото уравнение \(v = 5-u\). Заместваме във второто:
\(u^2 - 2(5-u) = 5\)
\(u^2 - 10 + 2u = 5 \Rightarrow u^2 + 2u - 15 = 0\).
Решенията за \(u\) са \(u_1 = 3\) и \(u_2 = -5\).
1) Ако \(u=3\), то \(v=5-3=2\). Решаваме \(\begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \end{cases}\). Решенията са \((1; 2)\) и \((2; 1)\).
2) Ако \(u=-5\), то \(v=5-(-5)=10\). Решаваме \(\begin{cases} x+y=-5 \\ xy=10 \end{cases}\). Тази система няма реални решения, тъй като уравнението \(t^2+5t+10=0\) е с отрицателна дискриминанта.
Отговор: \((1; 2)\) и \((2; 1)\)
Полагаме \(u = x+y\) и \(v=xy\). Системата добива вида: \[ \begin{cases} u + v = 5 \\ u^2 - 2v = 5 \end{cases} \] От първото уравнение \(v = 5-u\). Заместваме във второто:
\(u^2 - 2(5-u) = 5\)
\(u^2 - 10 + 2u = 5 \Rightarrow u^2 + 2u - 15 = 0\).
Решенията за \(u\) са \(u_1 = 3\) и \(u_2 = -5\).
1) Ако \(u=3\), то \(v=5-3=2\). Решаваме \(\begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \end{cases}\). Решенията са \((1; 2)\) и \((2; 1)\).
2) Ако \(u=-5\), то \(v=5-(-5)=10\). Решаваме \(\begin{cases} x+y=-5 \\ xy=10 \end{cases}\). Тази система няма реални решения, тъй като уравнението \(t^2+5t+10=0\) е с отрицателна дискриминанта.
Отговор: \((1; 2)\) и \((2; 1)\)
