Най-важното от урока
1. Подреждане: Винаги започвай с подреждане на данните във възходящ ред (рангов ред).
2. Групиране: Ако стойностите са малко, направи вариационен ред (таблица стойност-брой). Ако са много, направи интервален ред (таблица интервал-брой).
3. Честоти: Преброй данните във всяка група, за да намериш абсолютната честота (\(f_i\)). Изчисли делът им \(\left(P_i = \frac{f_i}{n}\right)\), за да намериш относителната честота.
2. Групиране: Ако стойностите са малко, направи вариационен ред (таблица стойност-брой). Ако са много, направи интервален ред (таблица интервал-брой).
3. Честоти: Преброй данните във всяка група, за да намериш абсолютната честота (\(f_i\)). Изчисли делът им \(\left(P_i = \frac{f_i}{n}\right)\), за да намериш относителната честота.
Първата стъпка при обработка на "сурови" данни е подреждането им във възходящ ред (от най-малката към най-голямата стойност). Така полученият ред се нарича рангов ред.
Ако имаме следния прост статистически ред с данни: 15, 12, 17, 12, 19.
Ранговият ред ще бъде: 12, 12, 15, 17, 19.
Ранговият ред ще бъде: 12, 12, 15, 17, 19.
Подредете в рангов ред данните: 25, 21, 30, 21, 28, 25.
Отговор: 21, 21, 25, 25, 28, 30.
Този метод се използва, когато данните приемат малък брой различни стойности. Всяка уникална стойност се нарича варианта (\(x_i\)), а броят пъти, които тя се среща, е нейната честота (\(f_i\)).
За ранговия ред 12, 12, 15, 17, 19, вариационният ред се представя в таблица:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Стойност (Варианта)} & \textbf{Брой (Честота)} \\
\hline
12 & 2 \\
15 & 1 \\
17 & 1 \\
19 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
За данните 4, 5, 4, 6, 5, 4, съставете таблица на вариационния ред.
Ранговият ред е 4, 4, 4, 5, 5, 6.
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Стойност (Варианта)} & \textbf{Брой (Честота)} \\
\hline
4 & 3 \\
5 & 2 \\
6 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]
Използва се, когато данните приемат голям брой различни стойности. Данните се разпределят в няколко равни по ширина интервала.
Намират се най-малката (\(x_{min}\)) и най-голямата (\(x_{max}\)) стойност.
Избира се брой на интервалите (\(k\)).
Изчислява се ширината (дължината) на всеки интервал (\(h\)).
\[ h = \frac{x_{max} - x_{min}}{k} \]
Имаме данни, за които \(x_{min}=10\) и \(x_{max}=40\). Искаме да ги разделим на \(k=3\) интервала.
Ширината на интервалите е: \(h = \frac{40 - 10}{3} = \frac{30}{3} = 10\).
Интервалите са: \([10; 20)\), \([20; 30)\), \([30; 40]\).
Ширината на интервалите е: \(h = \frac{40 - 10}{3} = \frac{30}{3} = 10\).
Интервалите са: \([10; 20)\), \([20; 30)\), \([30; 40]\).
За данни с \(x_{min}=5\) и \(x_{max}=25\), определете интервалите, ако броят им е \(k=4\).
Ширината е \(h = \frac{25 - 5}{4} = \frac{20}{4} = 5\).
Интервалите са: \([5; 10)\), \([10; 15)\), \([15; 20)\), \([20; 25]\).
Интервалите са: \([5; 10)\), \([10; 15)\), \([15; 20)\), \([20; 25]\).
Абсолютна честота (\(f_i\)) е броят на наблюденията, които попадат в дадена група (варианта или интервал).
Относителна честота (\(P_i\)) е делът на наблюденията от дадена група спрямо общия брой наблюдения (\(n\)).
\[ P_i = \frac{f_i}{n} \]
където \(n = \sum f_i\) е общият брой на всички данни.
Сумата от всички абсолютни честоти е равна на общия брой данни (\(\sum f_i = n\)). Сумата от всички относителни честоти е винаги равна на 1 (\(\sum P_i = 1\)).
За данните 4, 5, 4, 6, 5, 4, общият брой е \(n=6\).
Абсолютните честоти са: за '4' -> \(f_1=3\), за '5' -> \(f_2=2\), за '6' -> \(f_3=1\).
Относителните честоти са:
Абсолютните честоти са: за '4' -> \(f_1=3\), за '5' -> \(f_2=2\), за '6' -> \(f_3=1\).
Относителните честоти са:
- \(P_1 = \frac{3}{6} = 0.5\)
- \(P_2 = \frac{2}{6} \approx 0.33\)
- \(P_3 = \frac{1}{6} \approx 0.17\)
В един клас има 25 ученици. 10 от тях имат оценка 6, а 15 имат оценка 5. Каква е абсолютната и относителната честота на учениците с оценка 6?
Абсолютната честота е броят ученици с оценка 6, т.е. \(f_6 = 10\).
Относителната честота е \(P_6 = \frac{10}{25} = 0.4\).
Относителната честота е \(P_6 = \frac{10}{25} = 0.4\).
Задачи за упражнение
Лесна: Дадени са данните за възрастта на група деца: 7, 8, 7, 9, 8, 7, 10. Съставете вариационен ред и намерете абсолютната честота на децата на 7 години.
Ранговият ред е: 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10.
Вариационен ред: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{Възраст} & \textbf{Брой} \\ \hline 7 & 3 \\ 8 & 2 \\ 9 & 1 \\ 10 & 1 \\ \hline \end{array} \] Отговор: Абсолютната честота на 7-годишните е 3.
Вариационен ред: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{Възраст} & \textbf{Брой} \\ \hline 7 & 3 \\ 8 & 2 \\ 9 & 1 \\ 10 & 1 \\ \hline \end{array} \] Отговор: Абсолютната честота на 7-годишните е 3.
Средна: Резултатите от тест на 10 студенти са: 85, 90, 75, 85, 90, 95, 80, 75, 85, 90. Съставете таблица с вариантите, техните абсолютни и относителни честоти.
Общият брой данни е \(n=10\).
Различните стойности (варианти) са 75, 80, 85, 90, 95. \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \textbf{Резултат (x_i)} & \textbf{Абс. честота (f_i)} & \textbf{Отн. честота (P_i)} \\ \hline 75 & 2 & 2/10 = 0.2 \\ 80 & 1 & 1/10 = 0.1 \\ 85 & 3 & 3/10 = 0.3 \\ 90 & 3 & 3/10 = 0.3 \\ 95 & 1 & 1/10 = 0.1 \\ \hline \textbf{Сума} & \textbf{10} & \textbf{1.0} \\ \hline \end{array} \]
Различните стойности (варианти) са 75, 80, 85, 90, 95. \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \textbf{Резултат (x_i)} & \textbf{Абс. честота (f_i)} & \textbf{Отн. честота (P_i)} \\ \hline 75 & 2 & 2/10 = 0.2 \\ 80 & 1 & 1/10 = 0.1 \\ 85 & 3 & 3/10 = 0.3 \\ 90 & 3 & 3/10 = 0.3 \\ 95 & 1 & 1/10 = 0.1 \\ \hline \textbf{Сума} & \textbf{10} & \textbf{1.0} \\ \hline \end{array} \]
Трудна: Дадени са 12 измервания на температура: 18, 21, 23, 19, 25, 28, 30, 26, 22, 24, 29, 17. Групирайте данните в интервален статистически ред, като използвате 3 интервала. Съставете таблица с абсолютните честоти за всеки интервал.
1. Подреждаме данните в рангов ред: 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30.
2. Намираме \(x_{min}=17\) и \(x_{max}=30\).
3. Изчисляваме ширината на интервалите за \(k=3\): \(h = \frac{30 - 17}{3} = \frac{13}{3} \approx 4.33\). За удобство ще закръглим ширината на \(h=5\), като започнем малко преди минимума, например от 15.
Интервалите ще бъдат: \([15; 20)\), \([20; 25)\), \([25; 30]\).
4. Преброяваме данните във всеки интервал:
2. Намираме \(x_{min}=17\) и \(x_{max}=30\).
3. Изчисляваме ширината на интервалите за \(k=3\): \(h = \frac{30 - 17}{3} = \frac{13}{3} \approx 4.33\). За удобство ще закръглим ширината на \(h=5\), като започнем малко преди минимума, например от 15.
Интервалите ще бъдат: \([15; 20)\), \([20; 25)\), \([25; 30]\).
4. Преброяваме данните във всеки интервал:
- \([15; 20)\): 17, 18, 19 (3 броя)
- \([20; 25)\): 21, 22, 23, 24 (4 броя)
- \([25; 30]\): 25, 26, 28, 29, 30 (5 броя)
