Най-важното от урока
Степен и корен: Ключовата връзка е \(a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}\). Свойствата на степените се прилагат и за дробни показатели, което позволява опростяване. Пример: \(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2\).
Логаритъм: Логаритъмът е обратна операция на степенуването: \(\log_a b = x \iff a^x = b\). Основните правила позволяват преобразуване на произведения и частни в суми и разлики. Пример: \(\log_2 4 + \log_2 8 = \log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 32 = 5\).
Тригонометрия: Използването на тригонометрични тъждества (за двоен ъгъл, сбор и разлика, понижаване на степен) е основно умение за опростяване на изрази. Пример: \(2\sin 30^\circ \cos 30^\circ = \sin(2 \cdot 30^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Логаритъм: Логаритъмът е обратна операция на степенуването: \(\log_a b = x \iff a^x = b\). Основните правила позволяват преобразуване на произведения и частни в суми и разлики. Пример: \(\log_2 4 + \log_2 8 = \log_2 (4 \cdot 8) = \log_2 32 = 5\).
Тригонометрия: Използването на тригонометрични тъждества (за двоен ъгъл, сбор и разлика, понижаване на степен) е основно умение за опростяване на изрази. Пример: \(2\sin 30^\circ \cos 30^\circ = \sin(2 \cdot 30^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Ако \(n\) е естествено число, \(n \ge 2\), корен n-ти от неотрицателно число \(a\) се нарича единственото неотрицателно число \(b\), за което \(b^n = a\).
Записваме: \(\sqrt[n]{a} = b\).
\[ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}} \]
\[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \]
\[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \]
\[ \sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} |a|, & \text{ако n е четно} \\ a, & \text{ако n е нечетно} \end{cases} \]
Пресмятане на \(\sqrt{36 \cdot \sqrt{6^4}}\):
\[ \sqrt{36 \cdot \sqrt{6^4}} = \sqrt{6^2 \cdot 6^2} = \sqrt{6^4} = 6^2 = 36 \]
Опростете израза \(\sqrt[3]{(5-8)^3}\).
Тъй като коренният показател \(n=3\) е нечетно число, важи \(\sqrt[n]{a^n} = a\).
\(\sqrt[3]{(5-8)^3} = 5-8 = -3\).
\(\sqrt[3]{(5-8)^3} = 5-8 = -3\).
Степен с рационален (дробен) показател е друг начин за записване на корен. Връзката е: \( a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} \), където \(a \ge 0\), \(p\) е цяло, а \(q \ge 2\) е естествено число.
Свойствата на степените с цял показател са в сила и за степени с рационален показател (при \(a,b > 0\)):
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
\( (a^m)^n = a^{mn} \)
\( (ab)^n = a^n b^n \)
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
\( (a^m)^n = a^{mn} \)
\( (ab)^n = a^n b^n \)
Пресмятане на \(27^{\frac{2}{3}}\):
\[ 27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9 \]
или
\[ 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \]
Представете израза \(\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}\) като степен с рационален показател (\(a \ge 0\)).
\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{3+2}{6}} = a^{\frac{5}{6}} \]
Логаритъм на положително число \(b\) при основа \(a\) (където \(a > 0, a \neq 1\)) се нарича степенният показател \(x\), на който трябва да повдигнем основата \(a\), за да получим числото \(b\).
\[ \log_a b = x \iff a^x = b \]
Допустими стойности: \(a > 0, a \neq 1, b > 0\)
Тъй като \(2^5 = 32\), то \(\log_2 32 = 5\).
За да намерим \(\log_3 81\), търсим число \(x\), за което \(3^x = 81\). Тъй като \(81 = 3^4\), то \(x=4\).
За да намерим \(\log_3 81\), търсим число \(x\), за което \(3^x = 81\). Тъй като \(81 = 3^4\), то \(x=4\).
Намерете \(x\), ако \(\log_x 49 = 2\).
От дефиницията \(\log_x 49 = 2 \iff x^2 = 49\). Тъй като основата \(x\) трябва да е положителна, решението е \(x=7\).
Основни свойства:
1. \(\log_a a = 1\)
2. \(\log_a 1 = 0\)
3. \(a^{\log_a b} = b\)
4. \(\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c\)
5. \(\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c\)
6. \(\log_a b^p = p \log_a b\)
1. \(\log_a a = 1\)
2. \(\log_a 1 = 0\)
3. \(a^{\log_a b} = b\)
4. \(\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c\)
5. \(\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c\)
6. \(\log_a b^p = p \log_a b\)
Пресмятане на \(49^{\log_7 3}\):
\[ 49^{\log_7 3} = (7^2)^{\log_7 3} = 7^{2 \log_7 3} = 7^{\log_7 3^2} = 3^2 = 9 \]
Пресметнете стойността на израза \(\lg 40 + \lg 25\).
\[ \lg 40 + \lg 25 = \lg(40 \cdot 25) = \lg 1000 = \log_{10} 10^3 = 3 \]
При основа \(a > 1\), показателната (\(y=a^x\)) и логаритмичната (\(y=\log_a x\)) функции са растящи.
\(a^m > a^n \iff m > n\)
\(\log_a m > \log_a n \iff m > n\)
\(a^m > a^n \iff m > n\)
\(\log_a m > \log_a n \iff m > n\)
При основа \(0 < a < 1\), показателната и логаритмичната функции са намаляващи.
\(a^m > a^n \iff m < n\)
\(\log_a m > \log_a n \iff m < n\)
\(a^m > a^n \iff m < n\)
\(\log_a m > \log_a n \iff m < n\)
Сравнете \(\log_5 20\) и \(\log_5 25\).
Основата \(a=5 > 1\), следователно функцията е растяща. Тъй като \(20 < 25\), то \(\log_5 20 < \log_5 25\).
Сравнете \((0.1)^2\) и \((0.1)^3\).
Основата \(a=0.1 < 1\), следователно функцията е намаляваща. Тъй като \(2 < 3\), то \((0.1)^2 > (0.1)^3\).
Основата \(a=5 > 1\), следователно функцията е растяща. Тъй като \(20 < 25\), то \(\log_5 20 < \log_5 25\).
Сравнете \((0.1)^2\) и \((0.1)^3\).
Основата \(a=0.1 < 1\), следователно функцията е намаляваща. Тъй като \(2 < 3\), то \((0.1)^2 > (0.1)^3\).
Какви стойности може да приема \(a\), ако \(\log_a 5 > \log_a 2\)?
От \(5>2\) и \(\log_a 5 > \log_a 2\) следва, че логаритмичната функция трябва да е растяща. Това е вярно, когато основата \(a > 1\).
Тригонометричните формули позволяват преобразуване на изрази с цел опростяване или решаване на задачи.
Двоен ъгъл:
\[ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \]
\[ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \]
Сбор в произведение:
\[ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \]
\[ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \]
Понижаване на степен:
\[ \sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2} \quad | \quad \cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2} \]
Опростете \( \sin 70^\circ + \sin 20^\circ \).
\[ \sin 70^\circ + \sin 20^\circ = 2\sin\frac{70^\circ+20^\circ}{2}\cos\frac{70^\circ-20^\circ}{2} = 2\sin 45^\circ\cos 25^\circ = 2\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 25^\circ = \sqrt{2}\cos 25^\circ \]
Пресметнете \( \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ \).
Прилагаме формулата \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\).
\[ \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( \log_4 64 + 10^{\lg 5} \).
\(\log_4 64 = 3\), защото \(4^3 = 64\).
\(10^{\lg 5} = 5\) по свойство \(a^{\log_a b} = b\).
Следователно, \(3 + 5 = 8\).
\(10^{\lg 5} = 5\) по свойство \(a^{\log_a b} = b\).
Следователно, \(3 + 5 = 8\).
Средна: Опростете израза \( \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a}} \) и го представете като степен с рационален показател (при \(a>0\)).
Представяме корените като степени:
\[ \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}} \]
Привеждаме към общ знаменател 6:
\[ a^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6}} = a^{\frac{3+2-1}{6}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}} \]
Трудна: Докажете тъждеството \( \frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha \).
Използваме формулите за двоен ъгъл \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) и \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\).
\[ \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1+(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)} \]
Заместваме \(1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha\):
\[ \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)+(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg} \alpha \]
