Най-важното от урока
Ключови изводи: За всеки две положителни числа \( a, b \) е в сила веригата от неравенства:
\[ \text{Среднохармонично} \le \text{Средногеометрично} \le \text{Средноаритметично} \le \text{Средноквадратично} \]
Практически пример: \( \frac{2 \cdot 4 \cdot 9}{4+9} \le \sqrt{4 \cdot 9} \le \frac{4+9}{2} \Rightarrow \frac{72}{13} \le 6 \le 6.5 \).
Важно: Равенство се достига само когато числата са равни (\(a=b\)). Това свойство е ключово за намиране на минимални и максимални стойности.
Важно: Равенство се достига само когато числата са равни (\(a=b\)). Това свойство е ключово за намиране на минимални и максимални стойности.
За две положителни числа \(a\) и \(b\) се дефинират следните средни стойности:
- Средноаритметично (СА): \( \frac{a+b}{2} \)
- Средногеометрично (СГ): \( \sqrt{ab} \)
- Среднохармонично (СХ): \( \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b} \)
- Средноквадратично (СК): \( \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \)
За числата \(a=2\) и \(b=8\):
СА = \( \frac{2+8}{2} = 5 \)
СГ = \( \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4 \)
СХ = \( \frac{2 \cdot 2 \cdot 8}{2+8} = \frac{32}{10} = 3.2 \)
СК = \( \sqrt{\frac{2^2+8^2}{2}} = \sqrt{\frac{4+64}{2}} = \sqrt{34} \approx 5.83 \)
СА = \( \frac{2+8}{2} = 5 \)
СГ = \( \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4 \)
СХ = \( \frac{2 \cdot 2 \cdot 8}{2+8} = \frac{32}{10} = 3.2 \)
СК = \( \sqrt{\frac{2^2+8^2}{2}} = \sqrt{\frac{4+64}{2}} = \sqrt{34} \approx 5.83 \)
Намерете средноаритметичното и средногеометричното на числата 4 и 9.
СА = \( \frac{4+9}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \)
СГ = \( \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \)
СГ = \( \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \)
Средноаритметичното на две неотрицателни числа винаги е по-голямо или равно на тяхното средногеометрично.
\[ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \]
за \(a \ge 0, b \ge 0\)
Равенство се достига тогава и само тогава, когато двете числа са равни (\(a=b\)).
За числата 3 и 12:
СА = \( \frac{3+12}{2} = 7.5 \)
СГ = \( \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6 \)
Виждаме, че \(7.5 > 6\), което потвърждава неравенството.
СА = \( \frac{3+12}{2} = 7.5 \)
СГ = \( \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6 \)
Виждаме, че \(7.5 > 6\), което потвърждава неравенството.
Проверете неравенството на Коши за \(a=25\) и \(b=25\).
СА = \( \frac{25+25}{2} = 25 \)
СГ = \( \sqrt{25 \cdot 25} = 25 \)
Получаваме СА = СГ, тъй като \(a=b\), което потвърждава, че равенството е възможно.
СГ = \( \sqrt{25 \cdot 25} = 25 \)
Получаваме СА = СГ, тъй като \(a=b\), което потвърждава, че равенството е възможно.
Четирите средни стойности за две положителни числа \(a\) и \(b\) са подредени по големина винаги по един и същи начин.
\[ \underbrace{\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}_{\text{СХ}} \le \underbrace{\sqrt{ab}}_{\text{СГ}} \le \underbrace{\frac{a+b}{2}}_{\text{СА}} \le \underbrace{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}_{\text{СК}} \]
Равенство във всички неравенства се достига едновременно, тогава и само тогава, когато \( a = b \).
Без да ги пресмятате, подредете по големина четирите средни стойности за числата 5 и 10.
Тъй като \(5 \ne 10\), равенства не се достигат. Подредбата е: СХ < СГ < СА < СК.
Четирите средни стойности на основите \(a\) и \(b\) на трапец могат да бъдат представени като дължини на специфични отсечки в него, успоредни на основите.
- Средноаритметично: Средната основа на трапеца.
- Средногеометрично: Отсечката, която разделя трапеца на два подобни трапеца.
- Среднохармонично: Отсечката през пресечната точка на диагоналите.
- Средноквадратично: Отсечката, която разделя трапеца на два равнолицеви трапеца.
Средната основа на трапец е 13 cm, а основите му са цели числа. Коя отсечка е по-дълга: тази, която е средногеометрично на основите, или тази, която е средноаритметично?
Средната основа е средноаритметичното на \(a\) и \(b\). От веригата неравенства знаем, че СА \( \ge \) СГ. Равенство се достига само ако \(a=b\). Ако \(a \ne b\), то СА > СГ. Следователно средната основа (средноаритметичното) е по-дълга или равна на отсечката, която е средногеометрично.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете средноаритметичното и средногеометричното на числата 8 и 18 и ги сравнете.
СА = \( \frac{8+18}{2} = \frac{26}{2} = 13 \).
СГ = \( \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12 \).
Сравнение: \( 13 > 12 \), което е в съответствие с неравенството на Коши.
СГ = \( \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12 \).
Сравнение: \( 13 > 12 \), което е в съответствие с неравенството на Коши.
Средна: Като използвате неравенството на Коши, докажете, че за всяко положително число \(x\) е вярно \(x + \frac{9}{x} \ge 6\).
Прилагаме неравенството СА \( \ge \) СГ за числата \(a=x\) и \(b=\frac{9}{x}\).
\[ \frac{x + \frac{9}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} \]
\[ \frac{x + \frac{9}{x}}{2} \ge \sqrt{9} \]
\[ \frac{x + \frac{9}{x}}{2} \ge 3 \]
Умножаваме двете страни по 2:
\[ x + \frac{9}{x} \ge 6 \]
Равенство се достига при \( x = \frac{9}{x} \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x=3 \).
Трудна: Правоъгълник има периметър 24 cm. Какви трябва да са страните му, за да има максимално лице? Намерете това лице.
Нека страните на правоъгълника са \(a\) и \(b\).
Периметърът е \(P = 2(a+b) = 24\), откъдето \(a+b=12\).
Лицето е \(S = ab\).
Прилагаме неравенството на Коши за страните \(a\) и \(b\): \[ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \] Заместваме известните стойности: \[ \frac{12}{2} \ge \sqrt{S} \] \[ 6 \ge \sqrt{S} \] Повдигаме на квадрат: \[ 36 \ge S \] Максималната стойност на лицето \(S\) е 36 cm\(^2\). Тази стойност се достига, когато в неравенството имаме равенство, т.е. когато \(a=b\).
От \(a+b=12\) и \(a=b\) следва, че \(a=b=6\) cm.
Отговор: Правоъгълникът трябва да е квадрат със страна 6 cm, за да има максимално лице от 36 cm\(^2\).
Периметърът е \(P = 2(a+b) = 24\), откъдето \(a+b=12\).
Лицето е \(S = ab\).
Прилагаме неравенството на Коши за страните \(a\) и \(b\): \[ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \] Заместваме известните стойности: \[ \frac{12}{2} \ge \sqrt{S} \] \[ 6 \ge \sqrt{S} \] Повдигаме на квадрат: \[ 36 \ge S \] Максималната стойност на лицето \(S\) е 36 cm\(^2\). Тази стойност се достига, когато в неравенството имаме равенство, т.е. когато \(a=b\).
От \(a+b=12\) и \(a=b\) следва, че \(a=b=6\) cm.
Отговор: Правоъгълникът трябва да е квадрат със страна 6 cm, за да има максимално лице от 36 cm\(^2\).
