Триъгълници

52. Триъгълници

Най-важното от урока

Признаци за подобие:

I признак (АА): Два равни ъгъла. $ \angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1 \implies \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $.
II признак (SAS): Пропорционални страни и равен ъгъл между тях. $ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1}, \angle C = \angle C_1 \implies \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $.
III признак (SSS): Трите страни са пропорционални. $ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} \implies \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $.

Отношения при подобие (с коефициент k): Отношението на периметрите е $k$, а на лицата е $k^2$.
Важни теореми:

Ъглополовяща: Разделя срещуположната страна в отношение, равно на отношението на прилежащите страни ($ m/n = b/a $).
Медиана: Дължината й се намира с формулата $ m_c^2 = (2a^2 + 2b^2 - c^2) / 4 $.

Два триъгълника са подобни, ако два ъгъла от единия триъгълник са съответно равни на два ъгъла от другия триъгълник.

$Начертайте два подобни триъгълника, ABC и A₁B₁C₁. Триъгълник A₁B₁C₁ да е видимо по-малък от триъгълник ABC. За триъгълник ABC, позиционирайте връх A долу вляво, връх B вдясно от A, а връх C над отсечката AB. За триъгълник A₁B₁C₁, позиционирайте връх A₁ долу вляво (разположен вдясно от триъгълник ABC), връх B₁ вдясно от A₁, а връх C₁ над отсечката A₁B₁. Обозначете ъгъла при връх A с `\alpha` и ъгъла при връх B с `\beta`. Обозначете ъгъла при връх A₁ също с `\alpha` и ъгъла при връх B₁ също с `\beta`, за да покажете тяхното равенство и подобието на триъгълниците.$

Ако $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $, то $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $. От това следва, че страните им са пропорционални: \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \]

Ако в $ \triangle ABC $ имаме $ \angle A = 50^\circ, \angle B = 70^\circ $ и в $ \triangle MNP $ имаме $ \angle M = 50^\circ, \angle N = 70^\circ $, то триъгълниците са подобни.

В $ \triangle ABC $ $ \angle A = 35^\circ $ и $ \angle C = 90^\circ $. В $ \triangle PQR $ $ \angle P = 35^\circ $ и $ \angle Q = 55^\circ $. Подобни ли са двата триъгълника?

Отговор: Да, подобни са. В $ \triangle ABC $, $ \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ $. Така $ \angle A = \angle P = 35^\circ $ и $ \angle B = \angle Q = 55^\circ $. Триъгълниците са подобни по първи признак (АА).

Два триъгълника са подобни, ако две страни от единия са пропорционални на две страни от другия и ъглите, заключени между тези страни, са равни.

$Начертайте два подобни триъгълника: `\triangle ABC` и `\triangle A_1B_1C_1`. `\triangle ABC` трябва да бъде визуално по-голям от `\triangle A_1B_1C_1`. Ясно обозначете върховете `A`, `B`, `C` и `A_1`, `B_1`, `C_1`. За всеки триъгълник, върхът `A` (съответно `A_1`) е разположен в долния ляв ъгъл, а останалите върхове са подредени в посока, обратна на часовниковата стрелка. Обозначете ъгъл `B` при върха `B` и ъгъл `B_1` при върха `B_1`. Начертайте триъгълниците така, че ъгъл `B` да изглежда равен на ъгъл `B_1`. Обозначете страните `AB`, `BC`, `A_1B_1` и `B_1C_1`, като те трябва да изглеждат пропорционални, така че отношението на дължините на страната `AB` към `A_1B_1` е равно на отношението на дължините на страната `BC` към `B_1C_1`.$

Ако $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} $ и $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $, то $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $.

В $ \triangle ABC $ страните $ AB = 6 $ cm, $ BC = 9 $ cm и $ \angle B = 40^\circ $. В $ \triangle MNP $ страните $ MN = 4 $ cm, $ NP = 6 $ cm и $ \angle N = 40^\circ $. Триъгълниците са подобни, защото $ \frac{6}{4} = \frac{9}{6} = 1.5 $ и ъгълът между страните е равен.

В $ \triangle ABC $ страните $ AC = 10 $, $ BC = 15 $ и $ \angle C = 60^\circ $. В $ \triangle XYZ $ страните $ XZ = 6 $, $ YZ = 9 $ и $ \angle Z = 60^\circ $. Подобни ли са?

Отговор: Да. Проверяваме пропорцията на страните: $ \frac{AC}{XZ} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $ и $ \frac{BC}{YZ} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} $. Тъй като отношенията са равни и ъглите между страните $ \angle C = \angle Z = 60^\circ $ са равни, триъгълниците са подобни по втори признак (SAS).

Два триъгълника са подобни, ако трите страни на единия триъгълник са пропорционални на трите страни на другия.

$Начертайте два отделни триъгълника, ABC и A₁B₁C₁, така че триъгълник ABC да е по-голям от триъгълник A₁B₁C₁. Разположете триъгълник ABC отляво и триъгълник A₁B₁C₁ отдясно, като върховете A и A₁ са разположени в долния ляв ъгъл на съответните триъгълници и следват реда обратно на часовниковата стрелка (A->B->C и A₁->B₁->C₁). Означете върховете на първия триъгълник с A, B, C. Означете върховете на втория триъгълник с A₁, B₁, C₁. Означете страната AB на триъгълник ABC с 'c' (поставено в средата на отсечката AB), страната BC с 'a' (поставено в средата на отсечката BC) и страната AC с 'b' (поставено в средата на отсечката AC). Означете страната A₁B₁ на триъгълник A₁B₁C₁ с 'c₁' (поставено в средата на отсечката A₁B₁), страната B₁C₁ с 'a₁' (поставено в средата на отсечката B₁C₁) и страната A₁C₁ с 'b₁' (поставено в средата на отсечката A₁C₁). Покажете визуално, че триъгълниците са подобни, като изглеждат като мащабирани версии един на друг (т.е., съответните ъгли са равни). Под триъгълниците добавете етикет, изразяващ пропорционалността на съответните страни: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.$

Ако $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $, то $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $.

Триъгълник със страни 3, 5 и 7 е подобен на триъгълник със страни 6, 10 и 14, защото $ \frac{3}{6} = \frac{5}{10} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $.

Дадени са $ \triangle ABC $ със страни 6, 8, 12 и $ \triangle MNP $ със страни 9, 12, 18. Подобни ли са?

Отговор: Да. Подреждаме страните по големина и проверяваме отношенията: $ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $, $ \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $, $ \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $. Тъй като всички отношения са равни, триъгълниците са подобни по трети признак (SSS).

Коефициент на подобие (k) е отношението на дължините на съответните страни на два подобни триъгълника.

Ако $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $ с коефициент на подобие $ k $, то:

Отношението на периметрите, височините, медианите и ъглополовящите също е равно на $ k $.
Отношението на лицата е равно на $ k^2 $.

\[ \frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = k \quad \text{и} \quad \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 \]

Дадени са $ \triangle ABC \sim \triangle MNP $. Ако $ AB=4 $ и $ MN=8 $, коефициентът на подобие е $ k = \frac{8}{4} = 2 $. Ако лицето на $ \triangle ABC $ е 10 cm$^2$, то лицето на $ \triangle MNP $ е $ S_{MNP} = S_{ABC} \cdot k^2 = 10 \cdot 2^2 = 40 $ cm$^2$.

Периметрите на два подобни триъгълника са 20 cm и 30 cm. Лицето на по-малкия е 24 cm$^2$. Намерете лицето на по-големия.

Коефициентът на подобие $ k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{30}{20} = 1.5 $.
Отношението на лицата е $ k^2 = (1.5)^2 = 2.25 $.
$ S_2 = S_1 \cdot k^2 = 24 \cdot 2.25 = 54 $ cm$^2$.

Начертай триъгълник ABC. Позиционирай върховете в ред обратен на часовниковата стрелка, като A е в долния ляв ъгъл и B е в долния десен ъгъл. От върха C начертай отсечка CL, която е ъглополовяща на ъгъл C (∠ACB), като точка L лежи на страната AB. Обозначи страната AC с 'b' и страната BC с 'a'. Обозначи отсечката AL с 'm' и отсечката LB с 'n'.

Ъглополовящата на един ъгъл в триъгълник разделя срещуположната страна на отсечки, пропорционални на прилежащите страни.

\[ \frac{AC}{BC} = \frac{AL}{LB} \quad \text{или} \quad \frac{b}{a} = \frac{m}{n} \] За дължината на ъглополовящата $ l_c $ към страната $c$: \[ l_c^2 = a \cdot b - m \cdot n \]

В $ \triangle ABC $ страните са $ AC=6 $, $ BC=9 $, $ AB=10 $. Ъглополовящата $ CL $ пресича $ AB $ в точка L. Намерете дължините на отсечките $ AL $ и $ LB $.

Нека $ AL = x $, тогава $ LB = 10-x $.
От свойството на ъглополовящата: $ \frac{AC}{BC} = \frac{AL}{LB} \implies \frac{6}{9} = \frac{x}{10-x} $.
$ 6(10-x) = 9x \implies 60 - 6x = 9x \implies 15x = 60 \implies x = 4 $.
Отговор: $ AL = 4 $ и $ LB = 6 $.

Триъгълник ABC, с връх A в долния ляв ъгъл, връх B в долния десен ъгъл и връх C над тях. От върха C е прекарана медиана CM към страната AB, като точка M е средата на отсечката AB. Страната BC е означена с 'a', страната AC с 'b', а цялата страна AB с 'c'. Дължината на медианата CM е означена с 'm_c'.

Медианата е отсечка, която свързва връх на триъгълник със средата на срещуположната страна.

Дължината на медианата $ m_c $ към страната $ c $: \[ m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} \]

В $ \triangle ABC $ страните са $ a=7 $, $ b=9 $, $ c=12 $. Намерете дължината на медианата към страната $ c $.

Прилагаме формулата: \[ m_c^2 = \frac{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - 12^2}{4} = \frac{2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - 144}{4} \] \[ m_c^2 = \frac{98 + 162 - 144}{4} = \frac{116}{4} = 29 \] Отговор: $ m_c = \sqrt{29} $.

Задачи за упражнение

Лесна: Даден е $ \triangle ABC $ със страни $ AC = 8 $ cm, $ BC = 12 $ cm. Ъглополовящата на $ \angle C $ пресича страната $AB$ в точка L. Намерете отношението $ AL : LB $.

От свойството на ъглополовящата знаем, че $ \frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} $.
$ \frac{AL}{LB} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $.
Отговор: $ AL : LB = 2:3 $.

Средна: В $ \triangle ABC $ е прекарана отсечка $ MN $ успоредна на $ AB $ ($ M \in AC, N \in BC $). Ако $ AC = 15 $ cm, $ MC = 10 $ cm и $ AB=18 $ cm, намерете дължината на $ MN $.

Тъй като $ MN || AB $, то $ \angle CMN = \angle CAB $ и $ \angle CNM = \angle CBA $ (съответни ъгли).
Следователно $ \triangle MNC \sim \triangle ABC $ по първи признак (АА).
От подобието следва: $ \frac{MN}{AB} = \frac{MC}{AC} $.
$ \frac{MN}{18} = \frac{10}{15} \implies MN = 18 \cdot \frac{10}{15} = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12 $ cm.
Отговор: $ MN = 12 $ cm.

Трудна: В триъгълник със страни 12 cm, 10 cm и 8 cm е построена медианата към най-голямата страна. Намерете дължината на тази медиана.

Най-голямата страна е $c = 12$ cm. Другите две страни са $a=10$ cm и $b=8$ cm.
Прилагаме формулата за дължина на медиана $ m_c $: \[ m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} \] \[ m_c^2 = \frac{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 8^2 - 12^2}{4} = \frac{2 \cdot 100 + 2 \cdot 64 - 144}{4} \] \[ m_c^2 = \frac{200 + 128 - 144}{4} = \frac{184}{4} = 46 \] Отговор: Дължината на медианата е $ m_c = \sqrt{46} $ cm.