Най-важното от урока
Връзка корен-степен: \( \sqrt[q]{a^p} = a^{\frac{p}{q}} \). Пример: \( \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}} \).
Правилото за модул: При четен корен \(n\), \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\). Пример: \(\sqrt{x^2} = |x|\).
Свойства на степените: Правилата за умножение, деление и степенуване важат и за рационални показатели. Пример: \( a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}} \).
Сравняване: Ако основата \(a > 1\), по-голям показател дава по-голямо число (\(3^5 > 3^2\)). Ако \(0 < a < 1\), по-голям показател дава по-малко число (\(0.5^5 < 0.5^2\)).
Правилото за модул: При четен корен \(n\), \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\). Пример: \(\sqrt{x^2} = |x|\).
Свойства на степените: Правилата за умножение, деление и степенуване важат и за рационални показатели. Пример: \( a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}} \).
Сравняване: Ако основата \(a > 1\), по-голям показател дава по-голямо число (\(3^5 > 3^2\)). Ако \(0 < a < 1\), по-голям показател дава по-малко число (\(0.5^5 < 0.5^2\)).
Числото \(b\) се нарича n-ти корен от неотрицателното число \(a\) (бележи се с \(\sqrt[n]{a}\)), ако \(b^n = a\). Формално: \(\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^n = a\).
- Ако коренуването е с четен коренен показател \(n\), то \(a \ge 0\) и резултатът \(b \ge 0\).
- Ако коренуването е с нечетен коренен показател \(n\), то \(a\) и \(b\) могат да бъдат всякакви реални числа, като имат еднакви знаци.
\(\sqrt[4]{16} = 2\), защото \(2^4 = 16\). Тук \(n=4\) е четно, \(a=16>0\) и \(b=2>0\).
\(\sqrt[3]{-27} = -3\), защото \((-3)^3 = -27\). Тук \(n=3\) е нечетно, \(a=-27\) и \(b=-3\) са отрицателни.
\(\sqrt[3]{-27} = -3\), защото \((-3)^3 = -27\). Тук \(n=3\) е нечетно, \(a=-27\) и \(b=-3\) са отрицателни.
Пресметнете \(\sqrt[5]{32}\).
Отговор: \(\sqrt[5]{32} = 2\), защото \(2^5 = 32\).
Корените притежават свойства, които позволяват преобразуване на изрази. Най-важните са:
\[ \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \]
\[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad (b \neq 0) \]
\[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \]
\[ (\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k} \]
Опростяване на израз: \(\sqrt{5^7 \cdot 15^3 \cdot 3}\)
\( \sqrt{5^7 \cdot (5 \cdot 3)^3 \cdot 3} = \sqrt{5^7 \cdot 5^3 \cdot 3^3 \cdot 3} = \sqrt{5^{10} \cdot 3^4} = \sqrt{5^{10}} \cdot \sqrt{3^4} = 5^5 \cdot 3^2 = 28125 \)
\( \sqrt{5^7 \cdot (5 \cdot 3)^3 \cdot 3} = \sqrt{5^7 \cdot 5^3 \cdot 3^3 \cdot 3} = \sqrt{5^{10} \cdot 3^4} = \sqrt{5^{10}} \cdot \sqrt{3^4} = 5^5 \cdot 3^2 = 28125 \)
Опростете израза \(\sqrt[3]{54}\).
Отговор: \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\).
Резултатът от \(\sqrt[n]{a^n}\) зависи от това дали \(n\) е четно или нечетно число.
Ако \(n\) е четно число: \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \) (модул от а).
Ако \(n\) е нечетно число: \( \sqrt[n]{a^n} = a \).
\(\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3\). (n=2 е четно)
\(\sqrt[5]{(-2)^5} = -2\). (n=5 е нечетно)
\(\sqrt[5]{(-2)^5} = -2\). (n=5 е нечетно)
Пресметнете \(\sqrt[6]{(1-\sqrt{3})^6}\).
Тъй като \(n=6\) е четно, \(\sqrt[6]{(1-\sqrt{3})^6} = |1-\sqrt{3}|\). Понеже \(\sqrt{3} \approx 1.73\), то \(1-\sqrt{3}\) е отрицателно число.
Отговор: \(|1-\sqrt{3}| = -(1-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-1\).
Отговор: \(|1-\sqrt{3}| = -(1-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-1\).
Степен с дробен (рационален) показател е друг начин за запис на корен.
\[ a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} \]
където \(a \ge 0\), \(p\) е цяло число, а \(q \ge 2\) е естествено число.
Пресмятане на \(27^{\frac{2}{3}}\):
\[ 27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9 \]
Запишете като корен израза \(x^{\frac{3}{5}}\).
Отговор: \(x^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{x^3}\).
За сравняване на степени с еднакви основи използваме свойствата на показателната функция \(y=a^x\).
Ако основата \(a > 1\), функцията е растяща. По-големият степенен показател отговаря на по-голяма стойност.
\( a^m > a^n \Leftrightarrow m > n \)
\( a^m > a^n \Leftrightarrow m > n \)
Ако основата \(0 < a < 1\), функцията е намаляваща. По-големият степенен показател отговаря на по-малка стойност.
\( a^m > a^n \Leftrightarrow m < n \)
\( a^m > a^n \Leftrightarrow m < n \)
Сравнете \(0.05^7\) и \(0.05^3\).
Основата \(a = 0.05\) е в интервала \((0, 1)\). Тъй като степенният показател \(7 > 3\), то неравенството се обръща: \(0.05^7 < 0.05^3\).
Основата \(a = 0.05\) е в интервала \((0, 1)\). Тъй като степенният показател \(7 > 3\), то неравенството се обръща: \(0.05^7 < 0.05^3\).
Сравнете числата \(5^2\) и \(5^{-1}\).
Основата \(a=5 > 1\). Тъй като \(2 > -1\), то \(5^2 > 5^{-1}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \(8^{\frac{2}{3}}\).
\(8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4\).
Средна: Сравнете числата \(\left(\frac{1}{3}\right)^5\) и \(\left(\frac{1}{3}\right)^2\).
Основата \(a = \frac{1}{3}\) е между 0 и 1. Функцията е намаляваща. Тъй като степенният показател \(5 > 2\), то неравенството се обръща: \(\left(\frac{1}{3}\right)^5 < \left(\frac{1}{3}\right)^2\).
Трудна: Опростете израза \( (2-x^{\frac{1}{3}})(4+2x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}) \), като използвате формулите за съкратено умножение.
Използваме формулата за сбор и разлика на кубове: \((a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3\).
В нашия случай \(a=2\) и \(b=x^{\frac{1}{3}}\).
Изразът е равен на \(2^3 - (x^{\frac{1}{3}})^3 = 8 - x\).
В нашия случай \(a=2\) и \(b=x^{\frac{1}{3}}\).
Изразът е равен на \(2^3 - (x^{\frac{1}{3}})^3 = 8 - x\).
