Най-важното от урока
Събиране/Изваждане: Приведи дробите към общ знаменател и събери/извади числителите. Пример: \( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10} \).
Умножение: Умножи числител по числител и знаменател по знаменател. Пример: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15} \).
Деление: Умножи първата дроб по реципрочната на втората. Пример: \( \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \).
Основно свойство: Можеш да умножаваш или делиш числителя и знаменателя с едно и също число. Пример: \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
Умножение: Умножи числител по числител и знаменател по знаменател. Пример: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15} \).
Деление: Умножи първата дроб по реципрочната на втората. Пример: \( \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \).
Основно свойство: Можеш да умножаваш или делиш числителя и знаменателя с едно и също число. Пример: \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
Ако умножим или разделим числителя и знаменателя на една дроб с едно и също число (различно от нула), получаваме дроб, равна на дадената. Това свойство се използва за разширяване и съкращаване на дроби.
\[ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \quad \text{и} \quad \frac{a}{b} = \frac{a : m}{b : m} \]
Съкращаване: Дробта \( \frac{12}{18} \) може да се съкрати, като разделим числителя и знаменателя на 6.
\[ \frac{12}{18} = \frac{12:6}{18:6} = \frac{2}{3} \]
Разширяване: Дробта \( \frac{2}{3} \) може да се разшири, като умножим числителя и знаменателя по 5.
\[ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} \]
Съкратете дробта \( \frac{15}{25} \) до несъкратим вид.
Най-големият общ делител на 15 и 25 е 5.
\[ \frac{15:5}{25:5} = \frac{3}{5} \]
Дроби с различни знаменатели се събират или изваждат, като първо се приведат към общ знаменател (най-често най-малкото общо кратно - НОК), след което се събират или изваждат получените числители.
За да съберем \( \frac{1}{3} \) и \( \frac{2}{5} \), намираме НОК(3, 5) = 15.
\[ \frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15} \]
Пресметнете разликата \( \frac{5}{6} - \frac{3}{4} \).
НОК(6, 4) = 12.
\[ \frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12} \]
Дроби се умножават, като се умножат техните числители и техните знаменатели.
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]
\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 7} = \frac{8}{21} \]
Пресметнете \( \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15} \).
\[ \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15} = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 15} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} \]
По-лесно е да съкратим преди умножението: \( \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{8}_2} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{15}_3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \).
Делението на две дроби се свежда до умножение, като първата дроб (делимото) се умножи по реципрочната на втората дроб (делителя).
Реципрочна на дробта \( \frac{c}{d} \) е дробта \( \frac{d}{c} \).
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]
\[ \frac{3}{4} : \frac{5}{7} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 5} = \frac{21}{20} \]
Пресметнете \( \frac{2}{9} : \frac{4}{3} \).
\[ \frac{2}{9} : \frac{4}{3} = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 4} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( \frac{2}{5} + \frac{1}{10} \).
Привеждаме към общ знаменател 10.
\[ \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
Средна: В кошница има 24 ябълки. От тях \( \frac{3}{8} \) са червени. Колко са червените ябълки?
Търсим \( \frac{3}{8} \) от 24. Това означава да умножим дробта по числото.
\[ \frac{3}{8} \cdot 24 = \frac{3 \cdot 24}{8} = 3 \cdot 3 = 9 \]
Отговор: Червените ябълки са 9.
Трудна: Мария изхарчила \( \frac{1}{3} \) от парите си за книга и \( \frac{1}{4} \) от останалите пари за тетрадка. Каква част от първоначалната сума ѝ е останала?
След покупката на книгата са ѝ останали: \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \) от парите.
Тя е изхарчила за тетрадка \( \frac{1}{4} \) от останалите \( \frac{2}{3} \):
\[ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]
Това е \( \frac{1}{6} \) от първоначалната сума.
Общо изхарчена част: \( \frac{1}{3} (\text{книга}) + \frac{1}{6} (\text{тетрадка}) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
Останалата част е: \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).
Отговор: Останала ѝ е \( \frac{1}{2} \) от първоначалната сума.
