Най-важното от урока
Ред на действия: 1. Скоби; 2. Умножение и деление; 3. Събиране и изваждане.
Събиране/Изваждане: Приведи дробите под общ знаменател. Пример: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \).
Умножение: Умножи числителите и знаменателите. Пример: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15} \).
Деление: Умножи по реципрочната дроб. Пример: \( \frac{2}{3} : \frac{1}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{1} = \frac{10}{3} \).
Смесени изрази: Преобразувай десетични и смесени числа в обикновени дроби за по-лесно смятане. Пример: \( 0,5 \cdot 1\frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
Събиране/Изваждане: Приведи дробите под общ знаменател. Пример: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \).
Умножение: Умножи числителите и знаменателите. Пример: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15} \).
Деление: Умножи по реципрочната дроб. Пример: \( \frac{2}{3} : \frac{1}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{1} = \frac{10}{3} \).
Смесени изрази: Преобразувай десетични и смесени числа в обикновени дроби за по-лесно смятане. Пример: \( 0,5 \cdot 1\frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
За да съберем или извадим дроби, трябва първо да ги приведем под общ знаменател. След това събираме или изваждаме числителите, като знаменателят остава същият.
Пресмятане на \( \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \).
Най-малкият общ знаменател на 5 и 3 е 15. \[ \frac{3}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{15} + \frac{1 \cdot 5}{15} = \frac{9 + 5}{15} = \frac{14}{15} \]
Най-малкият общ знаменател на 5 и 3 е 15. \[ \frac{3}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{15} + \frac{1 \cdot 5}{15} = \frac{9 + 5}{15} = \frac{14}{15} \]
Пресметнете \( \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \).
Общият знаменател е 12.
\[ \frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{8-3}{12} = \frac{5}{12} \]
При умножение на дроби умножаваме числител с числител и знаменател със знаменател. При деление умножаваме първата дроб с реципрочната на втората.
Пресмятане на \( \frac{4}{9} : \frac{8}{9} \).
\[ \frac{4}{9} : \frac{8}{9} = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{8} = \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 8} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2} \]
Преди да умножим, можем да съкратим:
\[ \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{9}^1} \cdot \frac{\cancel{9}^1}{\cancel{8}^2} = \frac{1}{2} \]
Пресметнете \( \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{21} \).
\[ \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{21} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{5}^1} \cdot \frac{\cancel{10}^2}{\cancel{21}^7} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{2}{7} \]
Когато в един израз има десетични, обикновени и смесени числа, най-често е най-удобно всички да се превърнат в обикновени дроби.
Пресмятане на \( 1,2 : 1\frac{1}{3} \).
Преобразуваме: \( 1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \) и \( 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} \). \[ \frac{6}{5} : \frac{4}{3} = \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} \]
Преобразуваме: \( 1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \) и \( 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} \). \[ \frac{6}{5} : \frac{4}{3} = \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} \]
Пресметнете \( 2\frac{1}{4} \cdot 0,2 \).
Преобразуваме \( 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \) и \( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \).
\[ \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{20} \]
Използването на разместителното и съдружителното свойство може значително да улесни пресмятанията. Например, можем да изнесем общ множител пред скоби: \( a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c) \).
Пресмятане на \( 22,9 \cdot 3,2 + 22,9 \cdot 6,8 \).
\[ 22,9 \cdot (3,2 + 6,8) = 22,9 \cdot 10 = 229 \]
Пресметнете рационално \( 15 \cdot \frac{2}{7} + 15 \cdot \frac{5}{7} \).
Изнасяме общия множител 15:
\[ 15 \cdot (\frac{2}{7} + \frac{5}{7}) = 15 \cdot (\frac{7}{7}) = 15 \cdot 1 = 15 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( \frac{4}{5} - \frac{1}{2} \).
\[ \frac{4 \cdot 2}{10} - \frac{1 \cdot 5}{10} = \frac{8 - 5}{10} = \frac{3}{10} \]
Средна: Пресметнете стойността на израза \( A = (\frac{5}{6} - \frac{1}{3}) : 0,5 \).
Първо извършваме действието в скобите:
\[ \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
След това делим:
\[ A = \frac{1}{2} : 0,5 = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1 \]
Трудна: Иван купил \(1\frac{1}{2}\) кг домати по 3,20 лв. за килограм и 2 кг краставици. Ако е платил общо 8,40 лв., каква е цената на един килограм краставици?
1. Намираме колко е платил за доматите:
\[ 1\frac{1}{2} \cdot 3,20 = 1,5 \cdot 3,2 = 4,80 \text{ лв.} \]
2. Намираме колко пари са останали за краставиците:
\[ 8,40 - 4,80 = 3,60 \text{ лв.} \]
3. Намираме цената на 1 кг краставици:
\[ 3,60 : 2 = 1,80 \text{ лв.} \]
Отговор: Един килограм краставици струва 1,80 лв.
