Най-важното от урока
Рационални числа (\(Q\)): Всички числа, представими като дроб \( \dfrac{p}{q} \). Включват цели и дробни числа.
Модул \(|a|\): Разстоянието до нулата, винаги е \(\ge 0\). Пример: \( |-5| = 5 \).
Сравняване на отрицателни: По-голямо е това с по-малък модул (по-близо до \(0\)). Пример: \( -3 > -10 \).
Намиране на число между дроби: Използвай общ знаменател и ако е нужно, разшири дробите. Пример: между \( \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}= \dfrac{4}{8} \) и \( \dfrac{3}{4}= \dfrac{6}{8} \) се намира \( \dfrac{5}{8} \).
Модул \(|a|\): Разстоянието до нулата, винаги е \(\ge 0\). Пример: \( |-5| = 5 \).
Сравняване на отрицателни: По-голямо е това с по-малък модул (по-близо до \(0\)). Пример: \( -3 > -10 \).
Намиране на число между дроби: Използвай общ знаменател и ако е нужно, разшири дробите. Пример: между \( \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}= \dfrac{4}{8} \) и \( \dfrac{3}{4}= \dfrac{6}{8} \) се намира \( \dfrac{5}{8} \).
Естествени числа (\(N\)): Числата, които използваме за броене. \( N = \{1, 2, 3, ...\} \)
Цели числа (\(Z\)): Включват естествените числа, техните противоположни (отрицателните) и нулата. \( Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} \)
Рационални числа (\(Q\)): Всички числа, които могат да се представят като дроб \( \dfrac{p}{q} \), където \(p\) е цяло число, а \(q\) е естествено число. Включват всички цели числа и всички дробни числа (крайни и безкрайни периодични десетични дроби).
Числото \(7\) е естествено, цяло и рационално.
Числото \(-4\) е цяло и рационално, но не е естествено.
Числото \( \dfrac{2}{3} \) е рационално, но не е цяло или естествено.
Числото \(-4\) е цяло и рационално, но не е естествено.
Числото \( \dfrac{2}{3} \) е рационално, но не е цяло или естествено.
Към кои числови множества (\(N, Z, Q\)) принадлежи числото \(-15\)
?
Отговор: \(-15\) е цяло число (\(Z\)) и рационално число (\(Q\)), но не е естествено (\(N\)).
Модулът на число \(a\), бележи се с \(|a|\), е разстоянието от образа на това число до нулата върху числовата ос. Модулът е винаги неотрицателно число (\(\ge 0\)).
\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{ ако } a \ge 0 \\ -a, & \text{ ако } a < 0 \end{cases} \]
\( |-8| = 8 \) (разстоянието от \(-8\) до \(0\) е \(8\) единици)
\( |5.3| = 5.3 \) (разстоянието от \(5.3\) до \(0\) е \(5.3\) единици)
Решението на \(|x| = 4\) са числата \(x=4\) и \(x=-4\), защото и двете са на разстояние \(4\) единици от \(0\).
\( |5.3| = 5.3 \) (разстоянието от \(5.3\) до \(0\) е \(5.3\) единици)
Решението на \(|x| = 4\) са числата \(x=4\) и \(x=-4\), защото и двете са на разстояние \(4\) единици от \(0\).
За кои цели числа \(x\) е вярно, че \(|x| < 3\)?
Отговор: Търсим целите числа, които са на разстояние по-малко от \(3\) до нулата. Това са: \(-2, -1, 0, 1, 2\).
Всяко положително число е по-голямо от \(0\) и от всяко отрицателно число.
От две положителни числа, по-голямо е това с по-голям модул. (Например, \(5 > 3\) защото \(|5| > |3|\)).
От две отрицателни числа, по-голямо е това с по-малък модул (това, което е по-близо до \(0\)).
Да сравним \(-12\) и \(-15\).
Модулите им са \(|-12| = 12\) и \(|-15| = 15\).
Тъй като \(12 < 15\), то \( -12 > -15 \).
Модулите им са \(|-12| = 12\) и \(|-15| = 15\).
Тъй като \(12 < 15\), то \( -12 > -15 \).
Сравнете числата \( -\dfrac{2}{3} \) и \( -\dfrac{3}{4} \).
Привеждаме към общ знаменател \(12\):
\( -\dfrac{2}{3} = -\dfrac{8}{12} \) и \( -\dfrac{3}{4} = -\dfrac{9}{12} \).
Сравняваме \(-\dfrac{8}{12}\) и \(-\dfrac{9}{12}\).
Тъй като \(\left |-\dfrac{8}{12}\right | <\left |-\dfrac{9}{12}\right |\), следва че \(-\dfrac{8}{12} > -\dfrac{9}{12}\).
Отговор: \( -\dfrac{2}{3} > -\dfrac{3}{4} \).
\( -\dfrac{2}{3} = -\dfrac{8}{12} \) и \( -\dfrac{3}{4} = -\dfrac{9}{12} \).
Сравняваме \(-\dfrac{8}{12}\) и \(-\dfrac{9}{12}\).
Тъй като \(\left |-\dfrac{8}{12}\right | <\left |-\dfrac{9}{12}\right |\), следва че \(-\dfrac{8}{12} > -\dfrac{9}{12}\).
Отговор: \( -\dfrac{2}{3} > -\dfrac{3}{4} \).
За да намерим рационално число между две други, можем да ги преведем към общ знаменател. Ако между числителите няма цяло число, разширяваме дробите (умножаваме числителя и знаменателя с едно и също число), докато се появи такова.
Да намерим число между \( \dfrac{4}{7} \) и \( \dfrac{5}{7} \).
Между числителите \(4\) и \(5\) няма цяло число. Разширяваме дробите с \(2\): \[ \frac{4}{7} = \frac{8}{14} \quad \text{и} \quad \frac{5}{7} = \frac{10}{14} \] Сега лесно виждаме, че между \( \dfrac{8}{14} \) и \( \dfrac{10}{14} \) се намира \( \dfrac{9}{14} \).
Между числителите \(4\) и \(5\) няма цяло число. Разширяваме дробите с \(2\): \[ \frac{4}{7} = \frac{8}{14} \quad \text{и} \quad \frac{5}{7} = \frac{10}{14} \] Сега лесно виждаме, че между \( \dfrac{8}{14} \) и \( \dfrac{10}{14} \) се намира \( \dfrac{9}{14} \).
Намерете рационално число \(a\), за което е вярно \( -15,1 < a < -15 \).
Отговор: Можем да изберем всяко число в този интервал, например \(a = -15,05\).
Задачи за упражнение
Лесна: Подредете по големина (възходящ ред) числата: \( -7; 4; 0; -2.5; \frac{1}{2} \).
Отговор: \( -7 < -2.5 < 0 < \dfrac{1}{2} < 4 \).
Средна: Намерете сбора от модулите на числата \(-18\) и \(12\).
Търсим \( |-18| + |12| \).
\( |-18| = 18 \)
\( |12| = 12 \)
\( 18 + 12 = 30 \)
Отговор: \(30\).
\( |-18| = 18 \)
\( |12| = 12 \)
\( 18 + 12 = 30 \)
Отговор: \(30\).
Трудна: Намерете рационално число, което се намира точно по средата между \( -\dfrac{1}{3} \) и \( -\dfrac{1}{4} \).
За да намерим средата, можем да съберем числата и да разделим на 2.
1. Привеждаме към общ знаменател \(12\): \( -\dfrac{1}{3} = -\dfrac{4}{12} \) и \( -\dfrac{1}{4} = -\dfrac{3}{12} \).
2. Събираме ги: \( -\dfrac{4}{12} + \left (-\dfrac{3}{12}\right) = -\dfrac{7}{12} \).
3. Делим на \(2\): \( \left (-\dfrac{7}{12}\right ) : 2 = -\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{7}{24} \).
Отговор: Числото е \(-\dfrac{7}{24}\).
1. Привеждаме към общ знаменател \(12\): \( -\dfrac{1}{3} = -\dfrac{4}{12} \) и \( -\dfrac{1}{4} = -\dfrac{3}{12} \).
2. Събираме ги: \( -\dfrac{4}{12} + \left (-\dfrac{3}{12}\right) = -\dfrac{7}{12} \).
3. Делим на \(2\): \( \left (-\dfrac{7}{12}\right ) : 2 = -\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{1}{2} = -\dfrac{7}{24} \).
Отговор: Числото е \(-\dfrac{7}{24}\).
