Най-важното от урока
В математиката използваме различни множества от числа:
- Естествени числа (N): \( \{1, 2, 3, ...\} \) - числата за броене.
- Цели числа (Z): \( \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} \) - естествените, техните противоположни и нулата.
- Рационални числа (Q): Всички числа, които могат да се представят като дроб \( \frac{p}{q} \), където \(p\) е цяло число, а \(q\) е естествено число. Включват всички цели и дробни числа.
Числото 5 е естествено, цяло и рационално.
Числото -7 е цяло и рационално.
Числото \(-\frac{3}{4}\) е рационално.
Числото -7 е цяло и рационално.
Числото \(-\frac{3}{4}\) е рационално.
Към кои числови множества принадлежи числото \( \frac{-12}{3} \)?
Тъй като \( \frac{-12}{3} = -4 \), числото е цяло (Z) и рационално (Q).
Модул (абсолютна стойност) \(|a|\) на число е разстоянието му до нулата на числовата ос. Модулът е винаги неотрицателно число (\(|a| \ge 0\)).
Правила за сравнение:
- Всяко положително число е по-голямо от всяко отрицателно. \(5 > -100\).
- От две отрицателни числа, по-голямо е това с по-малък модул. \(-5 > -10\), защото \(|-5| < |-10|\).
Да сравним числата -8 и -3.
Изчисляваме модулите: \(|-8|=8\), \(|-3|=3\).
Тъй като \(3 < 8\), то \(-3 > -8\).
Изчисляваме модулите: \(|-8|=8\), \(|-3|=3\).
Тъй като \(3 < 8\), то \(-3 > -8\).
Подредете по големина числата: \(2, -1, -3.5, 0, 1.5\).
\(-3.5 < -1 < 0 < 1.5 < 2\)
Правила за знаците:
- Събиране:
- Еднакви знаци: събираме модулите, пишем общия знак. \( (-2) + (-5) = -7 \).
- Различни знаци: изваждаме модулите, пишем знака на числото с по-голям модул. \( (-8) + 3 = -5 \).
- Изваждане: Равно е на събиране с противоположното число. \( a - b = a + (-b) \). Пример: \( 4 - (-3) = 4 + 3 = 7 \).
- Умножение/Деление:
- Еднакви знаци \(\rightarrow\) резултатът е положителен. \( (-6) \cdot (-3) = 18 \).
- Различни знаци \(\rightarrow\) резултатът е отрицателен. \( 10 : (-2) = -5 \).
За улеснение на пресмятанията се използват разместителното (\(a+b=b+a\)), съдружителното (\((a+b)+c = a+(b+c)\)) и разпределителното (\(a(b+c)=ab+ac\)) свойства.
Да се пресметне \( -2.5 \cdot 15 + (-2.5) \cdot 5 \).
Изнасяме общ множител: \( -2.5 \cdot (15 + 5) = -2.5 \cdot 20 = -50 \).
Изнасяме общ множител: \( -2.5 \cdot (15 + 5) = -2.5 \cdot 20 = -50 \).
Пресметнете стойността на израза: \( -12 : (\frac{1}{2} - \frac{3}{4}) \).
\( -12 : (\frac{2}{4} - \frac{3}{4}) = -12 : (-\frac{1}{4}) = -12 \cdot (-4) = 48 \).
Степенуването е съкратен запис на умножение на равни множители.
Дефиниции:
Дефиниции:
- \( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ пъти}} \) (за естествено \(n\))
- \( a^0 = 1 \) (за \(a \ne 0\))
- \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (за \(a \ne 0\) и цяло \(n\))
Правила за степенуване (\(a, b \ne 0\); \(m, n\) са цели числа):
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
\( a^m : a^n = a^{m-n} \)
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
\( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
\( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
\( a^m : a^n = a^{m-n} \)
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
\( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
\( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
Да се опрости изразът \( \frac{(x^3)^4 \cdot x^2}{x^9} \).
Решение: \( \frac{x^{3 \cdot 4} \cdot x^2}{x^9} = \frac{x^{12} \cdot x^2}{x^9} = \frac{x^{12+2}}{x^9} = \frac{x^{14}}{x^9} = x^{14-9} = x^5 \).
Решение: \( \frac{x^{3 \cdot 4} \cdot x^2}{x^9} = \frac{x^{12} \cdot x^2}{x^9} = \frac{x^{12+2}}{x^9} = \frac{x^{14}}{x^9} = x^{14-9} = x^5 \).
Пресметнете \( 2^5 \cdot 2^{-3} \).
\( 2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5+(-3)} = 2^2 = 4 \).
Правоъгълна координатна система се състои от две перпендикулярни числови оси: абсцисна (Ox) и ординатна (Oy). Всяка точка се описва с наредена двойка числа - координати (x; y). Осите разделят равнината на 4 квадранта.
Точката \(A(-3, 5)\) има абсциса \(x=-3\) и ордината \(y=5\). Тъй като \(x<0\) и \(y>0\), точката лежи във II квадрант.
На коя ос лежи точка \(B(0, -4)\)?
Тъй като абсцисата (x-координатата) е 0, точката лежи на ординатната ос (Oy).
Равенството на две отношения \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) се нарича пропорция.
Основно свойство: Произведението на крайните членове е равно на произведението на средните членове: \( a \cdot d = b \cdot c \).
Права пропорционалност: \( y = k \cdot x \) (като расте едното, расте и другото). Пример: разстояние и време при постоянна скорост.
Обратна пропорционалност: \( y = \frac{k}{x} \) (като расте едното, другото намалява). Пример: брой работници и време за свършване на работа.
Обратна пропорционалност: \( y = \frac{k}{x} \) (като расте едното, другото намалява). Пример: брой работници и време за свършване на работа.
Да се намери \(x\) от пропорцията \( \frac{x}{4} = \frac{9}{12} \).
Прилагаме основното свойство: \( 12 \cdot x = 4 \cdot 9 \Rightarrow 12x = 36 \Rightarrow x=3 \).
Прилагаме основното свойство: \( 12 \cdot x = 4 \cdot 9 \Rightarrow 12x = 36 \Rightarrow x=3 \).
Ако 5 машини извършват дадена работа за 12 дни, за колко дни същата работа ще извършат 6 машини?
Зависимостта е обратна пропорционалност. Нека \(x\) е търсеният брой дни.
\( 6 \cdot x = 5 \cdot 12 \Rightarrow 6x = 60 \Rightarrow x=10 \) дни.
\( 6 \cdot x = 5 \cdot 12 \Rightarrow 6x = 60 \Rightarrow x=10 \) дни.
Уравнение от вида \( ax + b = 0 \) (\(a \ne 0\)) се нарича линейно уравнение с едно неизвестно.
Опростяване: Разкриват се скоби и се извършват възможните действия от двете страни на равенството.
Прехвърляне: Събираемите, съдържащи неизвестното, се прехвърлят в едната страна, а числата – в другата. При прехвърляне знакът се сменя!
Решаване: Уравнението се свежда до вида \( ax = b \) и се намира \( x = \frac{b}{a} \).
Да се реши уравнението \( 5(x-1) = 3x + 7 \).
1. \( 5x - 5 = 3x + 7 \)
2. \( 5x - 3x = 7 + 5 \)
3. \( 2x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{2} \Rightarrow x=6 \)
1. \( 5x - 5 = 3x + 7 \)
2. \( 5x - 3x = 7 + 5 \)
3. \( 2x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{2} \Rightarrow x=6 \)
Намерете корена на уравнението: \( 10 - 2y = 4y - 2 \).
\( 10 + 2 = 4y + 2y \)
\( 12 = 6y \)
\( y = \frac{12}{6} \Rightarrow y=2 \)
\( 12 = 6y \)
\( y = \frac{12}{6} \Rightarrow y=2 \)
Равнинни фигури:
- Правоъгълен триъгълник (катети \(a,b\), хипотенуза \(c\)): \(S=\frac{a \cdot b}{2}\), \(a^2+b^2=c^2\) (Теорема на Питагор).
- Трапец (основи \(a,b\), височина \(h\)): \(S=\frac{a+b}{2} \cdot h\).
- Кръг (радиус \(r\)): Дължина на окръжност \(C=2\pi r\), Лице \(S=\pi r^2\).
Ръбести и валчести тела (лице на основа \(B\), периметър на основа \(P\), височина \(h\)):
- Права призма: Околна повърхнина \(S = P \cdot h\), Обем \(V = B \cdot h\).
- Правилна пирамида (апотема \(k\)): Околна повърхнина \(S = \frac{P \cdot k}{2}\), Обем \(V = \frac{B \cdot h}{3}\).
- Цилиндър (радиус \(r\)): Околна повърхнина \(S = 2\pi r h\), Обем \(V = \pi r^2 h\).
- Конус (радиус \(r\), образуваща \(l\)): Околна повърхнина \(S = \pi r l\), Обем \(V = \frac{\pi r^2 h}{3}\).
Обемът на конус с радиус на основата \(r=3\) см и височина \(h=5\) см е:
\( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 5 = 15\pi \) см\(^3\).
\( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 5 = 15\pi \) см\(^3\).
Намерете лицето на трапец с основи 8 см и 12 см и височина 5 см.
\( S = \frac{8+12}{2} \cdot 5 = \frac{20}{2} \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50 \) см\(^2\).
Задачи за упражнение
Лесна: Опростете израза \( \frac{((-3)^2)^3}{3^5} \).
Тъй като степента 2 е четна, \((-3)^2 = 3^2\).
\( \frac{(3^2)^3}{3^5} = \frac{3^{2 \cdot 3}}{3^5} = \frac{3^6}{3^5} = 3^{6-5} = 3^1 = 3 \).
\( \frac{(3^2)^3}{3^5} = \frac{3^{2 \cdot 3}}{3^5} = \frac{3^6}{3^5} = 3^{6-5} = 3^1 = 3 \).
Средна: Разстоянието между два града на карта с мащаб 1:500 000 е 12 см. Какво е действителното разстояние в километри?
Мащабът означава, че 1 см на картата отговаря на 500 000 см в действителност.
Действителното разстояние е \(12 \cdot 500 \ 000 = 6 \ 000 \ 000\) см.
Преобразуваме в километри: \(6 \ 000 \ 000 \text{ см} = 60 \ 000 \text{ м} = 60 \text{ км}\).
Отговор: 60 км.
Действителното разстояние е \(12 \cdot 500 \ 000 = 6 \ 000 \ 000\) см.
Преобразуваме в километри: \(6 \ 000 \ 000 \text{ см} = 60 \ 000 \text{ м} = 60 \text{ км}\).
Отговор: 60 км.
Трудна: В правоъгълен паралелепипед с обем 240 см\(^3\) дължината е 10 см, а широчината е с 2 см по-малка от височината. Намерете лицето на пълната повърхнина на паралелепипеда.
Нека височината е \(h\). Тогава широчината е \(h-2\).
Обемът е \(V = a \cdot b \cdot c\). Заместваме:
\( 10 \cdot (h-2) \cdot h = 240 \)
\( h(h-2) = 24 \)
Търсим две числа, които се различават с 2 и произведението им е 24. Това са 6 и 4.
Следователно височината \(h=6\) см, а широчината е \(b=6-2=4\) см.
Размерите са: \(a=10\) см, \(b=4\) см, \(c=6\) см.
Лицето на пълната повърхнина е \( S_1 = 2(ab+bc+ac) \):
\( S_1 = 2(10 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 10 \cdot 6) = 2(40 + 24 + 60) = 2 \cdot 124 = 248 \) см\(^2\).
Обемът е \(V = a \cdot b \cdot c\). Заместваме:
\( 10 \cdot (h-2) \cdot h = 240 \)
\( h(h-2) = 24 \)
Търсим две числа, които се различават с 2 и произведението им е 24. Това са 6 и 4.
Следователно височината \(h=6\) см, а широчината е \(b=6-2=4\) см.
Размерите са: \(a=10\) см, \(b=4\) см, \(c=6\) см.
Лицето на пълната повърхнина е \( S_1 = 2(ab+bc+ac) \):
\( S_1 = 2(10 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 10 \cdot 6) = 2(40 + 24 + 60) = 2 \cdot 124 = 248 \) см\(^2\).
