Най-важното от урока
Опростяване: Разкрийте скобите и извършете действията, като използвате формулите за съкратено умножение. Пример: \(x(x+2)-x^2 = x^2+2x-x^2=2x\).
Разлагане на множители: Представете многочлена като произведение. Основни методи:
Разлагане на множители: Представете многочлена като произведение. Основни методи:
- Изнасяне на общ множител: \(5x^2 - 10x = 5x(x-2)\).
- Чрез формули: \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\).
- Чрез групиране: \(x^2+3x+2 = x^2+x+2x+2 = x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2)\).
- Чрез отделяне на точен квадрат: \(x^2+2x-3 = (x^2+2x+1)-1-3 = (x+1)^2-4=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)\).
Тъждество е равенство, което е вярно за всички допустими стойности на променливите в него. Формулите за съкратено умножение са основни тъждества.
Квадрат на сбор/разлика:
\[ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \]
Разлика от квадрати:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Сбор/разлика от кубове:
\[ a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) \]
Квадрат на сбор от три числа:
\[ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]
Това е процес на преобразуване на израз чрез разкриване на скоби, прилагане на формули и извършване на аритметични действия до получаване на многочлен в стандартен (нормален) вид.
Привеждане на израза \( (a+b+c)(a+b-c) \) в нормален вид:
Нека \( (a+b) = A \). Изразът става \( (A+c)(A-c) \).
Прилагаме формулата за разлика от квадрати: \( A^2 - c^2 \).
Заместваме \(A\) обратно с \((a+b)\): \[ (a+b)^2 - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2 \]
Нека \( (a+b) = A \). Изразът става \( (A+c)(A-c) \).
Прилагаме формулата за разлика от квадрати: \( A^2 - c^2 \).
Заместваме \(A\) обратно с \((a+b)\): \[ (a+b)^2 - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2 \]
Приведете в нормален вид израза \( (x-3)(x+3) - (x-1)^2 \).
Прилагаме формулите за разлика от квадрати и квадрат на разлика:
\[ (x^2 - 3^2) - (x^2 - 2x + 1) = x^2 - 9 - x^2 + 2x - 1 = 2x - 10 \]
Това е метод, при който член от многочлена се представя като сбор или разлика на други два, така че да е възможно да се групират събираеми и да се изнесе общ множител.
Представете подходящ член като сбор/разлика на два други члена.
Групирайте членовете по двойки.
Извадете общ множител от всяка група.
Извадете общия множител (който е в скобите).
Разлагане на \( 2x^2+3x+1 \):
Представяме \(3x\) като \(2x+x\): \( 2x^2 + 2x + x + 1 \)
Групираме: \( (2x^2 + 2x) + (x + 1) \)
Изнасяме общ множител: \( 2x(x+1) + 1(x+1) \)
Изнасяме \( (x+1) \): \( (x+1)(2x+1) \)
Представяме \(3x\) като \(2x+x\): \( 2x^2 + 2x + x + 1 \)
Групираме: \( (2x^2 + 2x) + (x + 1) \)
Изнасяме общ множител: \( 2x(x+1) + 1(x+1) \)
Изнасяме \( (x+1) \): \( (x+1)(2x+1) \)
Разложете на множители \( 3x^2-xy-2y^2 \).
Представяме \(-xy\) като \(-3xy+2xy\):
\[ 3x^2 - 3xy + 2xy - 2y^2 = 3x(x-y) + 2y(x-y) = (x-y)(3x+2y) \]
Целта е изразът да се преобразува до вида \(A^2 - B^2\) чрез добавяне и изваждане на един и същ едночлен, така че да се получи формула за точен квадрат \((a \pm b)^2\).
Разлагане на \( x^2+4x+3 \):
За да получим точен квадрат от \(x^2+4x\), ни трябва \(+4\). Добавяме и изваждаме 4: \[ x^2+4x+3 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 3 \]
Групираме първите три члена: \[ (x+2)^2 - 1 \]
Прилагаме формулата за разлика от квадрати \(A^2 - B^2\): \[ (x+2)^2 - 1^2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3) \]
За да получим точен квадрат от \(x^2+4x\), ни трябва \(+4\). Добавяме и изваждаме 4: \[ x^2+4x+3 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 3 \]
Групираме първите три члена: \[ (x+2)^2 - 1 \]
Прилагаме формулата за разлика от квадрати \(A^2 - B^2\): \[ (x+2)^2 - 1^2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3) \]
Разложете на множители \( x^2-6x+8 \) чрез отделяне на точен квадрат.
Добавяме и изваждаме \((\frac{6}{2})^2 = 3^2 = 9\):
\[ (x^2 - 6x + 9) - 9 + 8 = (x-3)^2 - 1 = (x-3-1)(x-3+1) = (x-4)(x-2) \]
Някои изрази могат да бъдат разложени чрез многократно прилагане на една или няколко формули за съкратено умножение, най-често "разлика от квадрати".
Разлагане на \( x^8 - y^8 \):
\[ x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4) \]
Разлагаме \( x^4-y^4 \):
\[ = ((x^2)^2 - (y^2)^2)(x^4 + y^4) = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) \]
Разлагаме \( x^2-y^2 \):
\[ = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) \]
Разложете на множители \( a^4-1 \).
\[ a^4 - 1 = (a^2)^2 - 1^2 = (a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a-1)(a+1)(a^2+1) \]
Задачи за упражнение
Лесна: Опростете израза \( (3x-2)(3x+2) \).
Прилагаме формулата за разлика от квадрати \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\):
\[ (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4 \]
Средна: Разложете на множители многочлена \( x^2 + 7x + 10 \).
Използваме метода на групиране. Представяме \(7x\) като \(2x+5x\):
\[ x^2 + 2x + 5x + 10 = x(x+2) + 5(x+2) = (x+2)(x+5) \]
Алтернативно решение (отделяне на точен квадрат):
\[ (x^2 + 7x + (\frac{7}{2})^2) - (\frac{7}{2})^2 + 10 = (x+\frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} + \frac{40}{4} \]
\[ (x+\frac{7}{2})^2 - \frac{9}{4} = (x+\frac{7}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (x+\frac{7}{2}-\frac{3}{2})(x+\frac{7}{2}+\frac{3}{2}) = (x+\frac{4}{2})(x+\frac{10}{2}) = (x+2)(x+5) \]
Трудна: Опростете израза \( (a-1)(a^2+a+1) - a(a-2)(a+2) \).
Прилагаме формулите за разлика от кубове и разлика от квадрати:
Първата част е \( (a-1)(a^2+a+1) = a^3 - 1^3 = a^3 - 1 \).
Втората част е \( a(a-2)(a+2) = a(a^2-4) = a^3 - 4a \).
Заместваме в оригиналния израз: \[ (a^3 - 1) - (a^3 - 4a) = a^3 - 1 - a^3 + 4a = 4a - 1 \]
Първата част е \( (a-1)(a^2+a+1) = a^3 - 1^3 = a^3 - 1 \).
Втората част е \( a(a-2)(a+2) = a(a^2-4) = a^3 - 4a \).
Заместваме в оригиналния израз: \[ (a^3 - 1) - (a^3 - 4a) = a^3 - 1 - a^3 + 4a = 4a - 1 \]
