Най-важното от урока
Цели изрази: Опростявайте чрез формулите за съкратено умножение, напр. \((x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\). Разлагайте чрез групиране или отделяне на точен квадрат.
Уравнения: Решавайте чрез еквивалентни преобразувания. Ако \(A \cdot B = 0\), то \(A=0\) или \(B=0\).
Неравенства: При умножение/деление с отрицателно число, сменяйте посоката на знака (\( -3x < 9 \Rightarrow x > -3 \)).
Геометрия: Познавайте признаците за еднаквост на триъгълници (ССС, ССЪ, ЪСЪ) и свойствата на четириъгълниците (успоредник, ромб, правоъгълник, квадрат).
Многоъгълници: Сборът на ъглите в n-ъгълник е \((n-2) \cdot 180^\circ\).
Уравнения: Решавайте чрез еквивалентни преобразувания. Ако \(A \cdot B = 0\), то \(A=0\) или \(B=0\).
Неравенства: При умножение/деление с отрицателно число, сменяйте посоката на знака (\( -3x < 9 \Rightarrow x > -3 \)).
Геометрия: Познавайте признаците за еднаквост на триъгълници (ССС, ССЪ, ЪСЪ) и свойствата на четириъгълниците (успоредник, ромб, правоъгълник, квадрат).
Многоъгълници: Сборът на ъглите в n-ъгълник е \((n-2) \cdot 180^\circ\).
Преобразуване на израз, което включва разкриване на скоби и извършване на аритметичните действия до получаване на многочлен, в който няма подобни членове. Често се използват формулите за съкратено умножение.
Да се приведе в нормален вид изразът \( (a+b+c)(a+b-c) \).
Разглеждаме \((a+b)\) като един член. Прилагаме формулата за разлика от квадрати \((X+Y)(X-Y) = X^2 - Y^2\): \[ ((a+b)+c)((a+b)-c) = (a+b)^2 - c^2 \] След това прилагаме формулата за квадрат на сбор: \[ a^2 + 2ab + b^2 - c^2 \]
Разглеждаме \((a+b)\) като един член. Прилагаме формулата за разлика от квадрати \((X+Y)(X-Y) = X^2 - Y^2\): \[ ((a+b)+c)((a+b)-c) = (a+b)^2 - c^2 \] След това прилагаме формулата за квадрат на сбор: \[ a^2 + 2ab + b^2 - c^2 \]
Приведете в нормален вид израза \( (x-3)^2 - (x+1)(x-1) \).
\( (x^2 - 6x + 9) - (x^2 - 1) = x^2 - 6x + 9 - x^2 + 1 = 10 - 6x \)
Метод, при който членовете на многочлена се групират по подходящ начин, така че от всяка група да може да се изнесе общ множител, след което се изнася нов общ множител (цяла скоба).
Да се разложи \( 3x^2 - xy - 2y^2 \).
Представяме \( -xy \) като \( -3xy + 2xy \): \[ 3x^2 - 3xy + 2xy - 2y^2 \] Групираме и изнасяме общ множител: \[ (3x^2 - 3xy) + (2xy - 2y^2) = 3x(x-y) + 2y(x-y) \] Изнасяме общия множител \( (x-y) \): \[ (x-y)(3x+2y) \]
Представяме \( -xy \) като \( -3xy + 2xy \): \[ 3x^2 - 3xy + 2xy - 2y^2 \] Групираме и изнасяме общ множител: \[ (3x^2 - 3xy) + (2xy - 2y^2) = 3x(x-y) + 2y(x-y) \] Изнасяме общия множител \( (x-y) \): \[ (x-y)(3x+2y) \]
Разложете на множители \( 2x^2 + 5x + 3 \).
\( 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 2x(x+1) + 3(x+1) = (x+1)(2x+3) \)
Метод, при който изразът се преобразува чрез добавяне и изваждане на член, така че да се получи формула за точен квадрат \((a \pm b)^2\), последвана от формула за разлика на квадрати.
Да се разложи \( x^2+4x+3 \).
За да получим точен квадрат от \(x^2+4x\), добавяме и изваждаме 4: \[ (x^2 + 4x + 4) - 4 + 3 = (x+2)^2 - 1 \] Прилагаме разлика на квадрати: \[ (x+2)^2 - 1^2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3) \]
За да получим точен квадрат от \(x^2+4x\), добавяме и изваждаме 4: \[ (x^2 + 4x + 4) - 4 + 3 = (x+2)^2 - 1 \] Прилагаме разлика на квадрати: \[ (x+2)^2 - 1^2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3) \]
Разложете \( x^2 - 6x + 5 \) чрез отделяне на точен квадрат.
\( (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4 = (x-3)^2 - 2^2 = (x-3-2)(x-3+2) = (x-5)(x-1) \)
Ако едно уравнение е от вида \( A \cdot B = 0 \), то неговите решения се намират, като решим поотделно уравненията \( A = 0 \) и \( B = 0 \).
Да се реши уравнението \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).
Разлагаме лявата страна на множители: \( (x-3)(x-1) = 0 \).
Решенията са корените на двете уравнения:
1) \( x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3 \)
2) \( x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1 \)
Разлагаме лявата страна на множители: \( (x-3)(x-1) = 0 \).
Решенията са корените на двете уравнения:
1) \( x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3 \)
2) \( x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1 \)
Решете уравнението \( (2x-1)(x+4) = 0 \).
От \( 2x-1 = 0 \) следва \( x_1 = \frac{1}{2} \). От \( x+4=0 \) следва \( x_2 = -4 \).
Уравнение от вида \( |ax+b| = c \), където \(c > 0\), се свежда до решаването на две линейни уравнения: \( ax+b = c \) и \( ax+b = -c \).
Да се реши \( |2x+1| = 4 \).
Разглеждаме два случая:
1) \( 2x+1=4 \Rightarrow 2x=3 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2} \)
2) \( 2x+1=-4 \Rightarrow 2x=-5 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{2} \)
Разглеждаме два случая:
1) \( 2x+1=4 \Rightarrow 2x=3 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2} \)
2) \( 2x+1=-4 \Rightarrow 2x=-5 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{2} \)
Решете уравнението \( |3x-2| = 7 \).
1) \( 3x-2 = 7 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x_1 = 3 \)
2) \( 3x-2 = -7 \Rightarrow 3x=-5 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{3} \)
2) \( 3x-2 = -7 \Rightarrow 3x=-5 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{3} \)
Неравенствата се решават чрез еквивалентни преобразувания, подобни на тези при уравненията.
При умножаване или делене на двете страни на неравенството с отрицателно число, посоката на неравенството се обръща!
Да се реши \( 9 - 4x > 3 \).
\[ -4x > 3 - 9 \]
\[ -4x > -6 \]
Делим на -4 и обръщаме знака:
\[ x < \frac{-6}{-4} \Rightarrow x < \frac{3}{2} \]
Решението е интервалът \( (-\infty, \frac{3}{2}) \).
Решете неравенството \( 5 - 2x \ge 11 \).
\( -2x \ge 11 - 5 \Rightarrow -2x \ge 6 \). Делим на -2 и обръщаме знака: \( x \le -3 \).
I признак (ССЪ): Два триъгълника са еднакви, ако две страни и ъгъл между тях от единия са съответно равни на две страни и ъгъл между тях от другия.
II признак (ЪСЪ): Два триъгълника са еднакви, ако страна и два прилежащи ъгъла от единия са съответно равни на страна и два прилежащи ъгъла от другия.
III признак (ССС): Два триъгълника са еднакви, ако трите страни на единия са съответно равни на трите страни на другия.
IV признак (ССЪгъл срещу по-голямата страна): Два триъгълника са еднакви, ако две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях от единия са съответно равни на две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях от другия. (За правоъгълни триъгълници: по катет и хипотенуза).
В \(\triangle ABC\) и \(\triangle PQR\) имаме \(AB=PQ\), \(BC=QR\) и \(AC=PR\). Какъв признак можем да използваме, за да докажем, че са еднакви?
Можем да използваме III признак (ССС), тъй като и трите страни на единия триъгълник са съответно равни на трите страни на другия.
Успоредник: Четириъгълник с две двойки успоредни страни. Срещуположните страни и ъгли са равни. Диагоналите взаимно се разполовяват.
Ромб: Успоредник с равни страни. Диагоналите му са взаимно перпендикулярни и са ъглополовящи на ъглите.
Правоъгълник: Успоредник с прави ъгли. Диагоналите му са равни.
Квадрат: Успоредник, който е едновременно ромб и правоъгълник. Има всички техни свойства.
Успоредник с равни диагонали е...
Правоъгълник.
За всеки три точки A, B и C е в сила \(AC \le AB + BC\). Равенство се достига само когато точка B лежи на отсечката AC. За всеки триъгълник сборът на кои да е две страни е по-голям от третата.
Може ли да съществува триъгълник със страни 3, 5 и 9?
Проверяваме неравенствата:
\(3+5 > 9 \Rightarrow 8 > 9\). Това е невярно.
Следователно такъв триъгълник не може да съществува.
Проверяваме неравенствата:
\(3+5 > 9 \Rightarrow 8 > 9\). Това е невярно.
Следователно такъв триъгълник не може да съществува.
Може ли да съществува триъгълник със страни 7, 10 и 15?
Проверяваме само най-голямата страна: \(7+10 > 15 \Rightarrow 17 > 15\). Вярно е. Да, такъв триъгълник може да съществува.
Сборът от вътрешните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е \( (n-2) \cdot 180^\circ \).
където n е броят на върховете (и страните).
Броят на диагоналите в изпъкнал n-ъгълник е \( \frac{n(n-3)}{2} \).
Сборът на ъглите в изпъкнал седмоъгълник (\(n=7\)) е:
\[ (7-2) \cdot 180^\circ = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ \]
Броят на диагоналите му е:
\[ \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14 \]
Намерете сбора на ъглите и броя на диагоналите на изпъкнал петоъгълник.
Сбор на ъглите: \( (5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ \).
Брой диагонали: \( \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 \).
Брой диагонали: \( \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 \).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \( (x-5)(x+2) = x^2 + 6 \).
\( x^2 + 2x - 5x - 10 = x^2 + 6 \)
\( x^2 - 3x - 10 = x^2 + 6 \)
\( -3x = 16 \)
\( x = -\frac{16}{3} \)
\( x^2 - 3x - 10 = x^2 + 6 \)
\( -3x = 16 \)
\( x = -\frac{16}{3} \)
Средна: Периметърът на правоъгълник е 24 см. Едната му страна е с 2 см по-дълга от другата. Намерете страните и лицето му.
Нека едната страна е \(a\), а другата е \(b=a+2\).
Периметърът \(P = 2(a+b) = 2(a + a+2) = 2(2a+2) = 4a+4\).
\( 4a+4 = 24 \Rightarrow 4a=20 \Rightarrow a=5 \) см.
Другата страна е \(b = 5+2 = 7\) см.
Лицето \(S = a \cdot b = 5 \cdot 7 = 35\) см².
Периметърът \(P = 2(a+b) = 2(a + a+2) = 2(2a+2) = 4a+4\).
\( 4a+4 = 24 \Rightarrow 4a=20 \Rightarrow a=5 \) см.
Другата страна е \(b = 5+2 = 7\) см.
Лицето \(S = a \cdot b = 5 \cdot 7 = 35\) см².
Трудна: Разложете на множители израза \(x^4 + 4\), като използвате метода за отделяне на точен квадрат.
За да получим точен квадрат, добавяме и изваждаме \(4x^2\):
\( x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 \)
Групираме първите три члена в точен квадрат:
\( (x^2+2)^2 - (2x)^2 \)
Прилагаме формулата за разлика на квадрати \(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\):
\( (x^2+2 - 2x)(x^2+2 + 2x) \)
Подреждаме членовете:
\( (x^2-2x+2)(x^2+2x+2) \)
\( x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 \)
Групираме първите три члена в точен квадрат:
\( (x^2+2)^2 - (2x)^2 \)
Прилагаме формулата за разлика на квадрати \(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\):
\( (x^2+2 - 2x)(x^2+2 + 2x) \)
Подреждаме членовете:
\( (x^2-2x+2)(x^2+2x+2) \)
