Най-важното от урока
Привеждане в нормален вид: Използвай формули за съкратено умножение и събирай подобните едночлени. Пример: \( (x+2)^2 - 4 = (x^2+4x+4)-4 = x^2+4x \).
Разлагане на множители: Търси общ множител, формула или групирай. Пример: \( x^3-4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2) \).
Решаване на уравнения: Опрости, изолирай \(x\). Ако има \(x^2\) или по-висока степен, прехвърли всичко от едната страна, разложи и приравни всеки множител на нула. Пример: \( x^2=9x \implies x^2-9x=0 \implies x(x-9)=0 \implies x=0, x=9 \).
Решаване на неравенства: Работи като с уравнения, но обръщай знака при умножение/деление с отрицателно число. Пример: \( 5-x > 7 \implies -x > 2 \implies x < -2 \).
Разлагане на множители: Търси общ множител, формула или групирай. Пример: \( x^3-4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2) \).
Решаване на уравнения: Опрости, изолирай \(x\). Ако има \(x^2\) или по-висока степен, прехвърли всичко от едната страна, разложи и приравни всеки множител на нула. Пример: \( x^2=9x \implies x^2-9x=0 \implies x(x-9)=0 \implies x=0, x=9 \).
Решаване на неравенства: Работи като с уравнения, но обръщай знака при умножение/деление с отрицателно число. Пример: \( 5-x > 7 \implies -x > 2 \implies x < -2 \).
Привеждането на израз в нормален вид означава да се извършат всички възможни действия (разкриване на скоби, прилагане на формули за съкратено умножение, събиране и изваждане на подобни едночлени), докато се получи максимално опростен многочлен.
Стъпки:
- Приложете формули за съкратено умножение (напр. \((a \pm b)^2\), \((a \pm b)^3\), \((a-b)(a+b)\)) и/или разкрийте скобите.
- Групирайте и съберете подобните едночлени (тези с еднаква буквена част).
Да се приведе в нормален вид изразът \( A = (2x + 3)^2 - (2x - 1)(2x + 5) \).
\( A = (4x^2 + 12x + 9) - (4x^2 + 10x - 2x - 5) \)
\( A = 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 - 8x + 5 \)
\( A = (4x^2 - 4x^2) + (12x - 8x) + (9 + 5) \)
\( A = 4x + 14 \)
\( A = (4x^2 + 12x + 9) - (4x^2 + 10x - 2x - 5) \)
\( A = 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 - 8x + 5 \)
\( A = (4x^2 - 4x^2) + (12x - 8x) + (9 + 5) \)
\( A = 4x + 14 \)
Приведете израза \( C = (x - 2)^2 - x(x+3) \) в нормален вид.
\( C = (x^2 - 4x + 4) - (x^2+3x) \)
\( C = x^2 - 4x + 4 - x^2 - 3x \)
\( C = -7x + 4 \)
\( C = x^2 - 4x + 4 - x^2 - 3x \)
\( C = -7x + 4 \)
Разлагането на многочлен на множители е представянето му като произведение на по-прости изрази (множители).
Основни методи:
- Изнасяне на общ множител: \(ax + ay = a(x+y)\)
- Формули за съкратено умножение: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), \(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\) и др.
- Групиране: Членовете се групират по двойки (или повече), така че от всяка група да може да се изнесе общ множител, след което се появява нов общ множител за целия израз.
Да се разложи на множители \( x^3 - 3x^2 - 4x + 12 \).
Групираме първите два и последните два члена:
\( (x^3 - 3x^2) + (-4x + 12) \)
Изнасяме общ множител от всяка група:
\( x^2(x - 3) - 4(x - 3) \)
Изнасяме новия общ множител \((x-3)\):
\( (x - 3)(x^2 - 4) \)
Прилагаме формулата \(a^2 - b^2\) за втория множител:
\( (x - 3)(x - 2)(x + 2) \)
Групираме първите два и последните два члена:
\( (x^3 - 3x^2) + (-4x + 12) \)
Изнасяме общ множител от всяка група:
\( x^2(x - 3) - 4(x - 3) \)
Изнасяме новия общ множител \((x-3)\):
\( (x - 3)(x^2 - 4) \)
Прилагаме формулата \(a^2 - b^2\) за втория множител:
\( (x - 3)(x - 2)(x + 2) \)
Разложете на множители израза \( 5a - 5b + ab - b^2 \).
Групираме: \( (5a - 5b) + (ab - b^2) \)
Изнасяме общ множител: \( 5(a - b) + b(a - b) \)
Изнасяме общия множител \((a-b)\): \( (a - b)(5 + b) \)
Изнасяме общ множител: \( 5(a - b) + b(a - b) \)
Изнасяме общия множител \((a-b)\): \( (a - b)(5 + b) \)
Линейно е уравнение, което може да се сведе до вида \(ax=b\), където \(a\) и \(b\) са числа.
Стъпки за решаване:
- Разкрийте скобите и приведете двете страни на уравнението в нормален вид.
- Прехвърлете всички членове, съдържащи неизвестното \(x\), от едната страна на равенството, а свободните членове – от другата (при прехвърляне знакът се сменя).
- Намерете \(x\) като разделите свободния член на коефициента пред \(x\).
Ако се получи \(0 \cdot x = 0\), всяко число е решение. Ако се получи \(0 \cdot x = b\) (където \(b \neq 0\)), уравнението няма решение.
Да се реши уравнението \( (x + 3)^2 = (x - 3)(x + 1) - 4 \).
\( x^2 + 6x + 9 = x^2 + x - 3x - 3 - 4 \)
\( x^2 + 6x + 9 = x^2 - 2x - 7 \)
\( 6x + 2x = -7 - 9 \)
\( 8x = -16 \)
\( x = -2 \)
\( x^2 + 6x + 9 = x^2 + x - 3x - 3 - 4 \)
\( x^2 + 6x + 9 = x^2 - 2x - 7 \)
\( 6x + 2x = -7 - 9 \)
\( 8x = -16 \)
\( x = -2 \)
Решете уравнението \( 5(x - 2) = 2x + 5 \).
\( 5x - 10 = 2x + 5 \)
\( 5x - 2x = 5 + 10 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = 5 \)
\( 5x - 2x = 5 + 10 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = 5 \)
Уравнения от по-висока степен (квадратни, кубични и т.н.) често се решават, като се сведат до вида "произведение = 0".
Ако произведението на няколко множителя е равно на нула, то поне един от тях е равен на нула. \(A \cdot B \cdot C = 0 \iff A=0\) или \(B=0\) или \(C=0\).
Стъпки:
Стъпки:
- Прехвърлете всичко от едната страна на уравнението, така че от другата да остане 0.
- Разложете получения израз на множители.
- Приравнете всеки от множителите на нула и решете получените по-прости уравнения.
Да се реши уравнението \( x^2 + 5x = 0 \).
Разлагаме на множители: \( x(x + 5) = 0 \).
Приравняваме всеки множител на нула:
\( x_1 = 0 \) или \( x + 5 = 0 \implies x_2 = -5 \).
Корените са 0 и -5.
Разлагаме на множители: \( x(x + 5) = 0 \).
Приравняваме всеки множител на нула:
\( x_1 = 0 \) или \( x + 5 = 0 \implies x_2 = -5 \).
Корените са 0 и -5.
Решете уравнението \( x^2 - 49 = 0 \).
Разлагаме по формулата \(a^2 - b^2\): \( (x - 7)(x + 7) = 0 \).
\( x - 7 = 0 \implies x_1 = 7 \)
\( x + 7 = 0 \implies x_2 = -7 \)
Корените са 7 и -7.
\( x - 7 = 0 \implies x_1 = 7 \)
\( x + 7 = 0 \implies x_2 = -7 \)
Корените са 7 и -7.
Решаването на линейни неравенства следва почти същите стъпки като решаването на линейни уравнения.
Ключово правило: При умножаване или деление на двете страни на неравенството с отрицателно число, знакът на неравенството се обръща.
Да се реши неравенството \( x(x - 2) < x(x + 4) - 4 \).
\( x^2 - 2x < x^2 + 4x - 4 \)
\( -2x < 4x - 4 \)
\( -2x - 4x < -4 \)
\( -6x < -4 \)
Делим на -6 и обръщаме знака:
\( x > \frac{-4}{-6} \implies x > \frac{2}{3} \). Решението е \( x \in \left( \frac{2}{3}; +\infty \right) \).
\( x^2 - 2x < x^2 + 4x - 4 \)
\( -2x < 4x - 4 \)
\( -2x - 4x < -4 \)
\( -6x < -4 \)
Делим на -6 и обръщаме знака:
\( x > \frac{-4}{-6} \implies x > \frac{2}{3} \). Решението е \( x \in \left( \frac{2}{3}; +\infty \right) \).
Решете неравенството \( 10 - 4x \ge 2 \).
\( -4x \ge 2 - 10 \)
\( -4x \ge -8 \)
Делим на -4 и обръщаме знака:
\( x \le \frac{-8}{-4} \)
\( x \le 2 \). Решението е \( x \in (-\infty; 2] \).
\( -4x \ge -8 \)
Делим на -4 и обръщаме знака:
\( x \le \frac{-8}{-4} \)
\( x \le 2 \). Решението е \( x \in (-\infty; 2] \).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \( (x+2)(x-2) = x(x-1) \).
\( x^2 - 4 = x^2 - x \)
\( -4 = -x \)
\( x = 4 \)
\( -4 = -x \)
\( x = 4 \)
Средна: Разложете на множители квадратния тричлен \( 3x^2 - 7x + 4 \). (Упътване: Представете \( -7x \) като \( -3x - 4x \)).
\( 3x^2 - 3x - 4x + 4 \)
\( 3x(x - 1) - 4(x - 1) \)
\( (x - 1)(3x - 4) \)
\( 3x(x - 1) - 4(x - 1) \)
\( (x - 1)(3x - 4) \)
Трудна: Решете уравнението \( (x+1)^3 - 1 = 3x(x+4) \).
Прилагаме формулата за куб на сбор:
\( (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 1 = 3x^2 + 12x \)
\( x^3 + 3x^2 + 3x = 3x^2 + 12x \)
Прехвърляме всичко отляво:
\( x^3 + 3x^2 - 3x^2 + 3x - 12x = 0 \)
\( x^3 - 9x = 0 \)
Разлагаме на множители:
\( x(x^2 - 9) = 0 \)
\( x(x-3)(x+3) = 0 \)
Решенията са: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 3 \), \( x_3 = -3 \).
\( (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 1 = 3x^2 + 12x \)
\( x^3 + 3x^2 + 3x = 3x^2 + 12x \)
Прехвърляме всичко отляво:
\( x^3 + 3x^2 - 3x^2 + 3x - 12x = 0 \)
\( x^3 - 9x = 0 \)
Разлагаме на множители:
\( x(x^2 - 9) = 0 \)
\( x(x-3)(x+3) = 0 \)
Решенията са: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 3 \), \( x_3 = -3 \).
