Най-важното от урока
Медиана и медицентър: Медианата свързва връх със средата на срещуположната страна. Трите медиани се пресичат в медицентъра.
Средна отсечка в триъгълник: Свързва средите на две страни. Тя е успоредна на третата страна и е равна на половината ѝ. Пример: Ако страната е 12 см, средната отсечка е 6 см.
Средна отсечка в трапец: Свързва средите на бедрата. Тя е успоредна на основите и е равна на техния полусбор. Пример: Ако основите са 7 см и 13 см, средната отсечка е \(\frac{7+13}{2} = 10 \text{ см}\).
Средна отсечка в триъгълник: Свързва средите на две страни. Тя е успоредна на третата страна и е равна на половината ѝ. Пример: Ако страната е 12 см, средната отсечка е 6 см.
Средна отсечка в трапец: Свързва средите на бедрата. Тя е успоредна на основите и е равна на техния полусбор. Пример: Ако основите са 7 см и 13 см, средната отсечка е \(\frac{7+13}{2} = 10 \text{ см}\).
Медиана триъгълник е отсечка, която съединява връх на триъгълника с центъра на срещулежащата му страна.
Трите медиани в триъгълник се пресичат в една обща точка, наречена медицентър.
В \(\Delta ABC\), ако \(A_1\) е средата на \(BC\), то \(AA_1\) е медиана. Пресечната точка \(M\) на медианите е медицентърът.
Как се нарича пресечната точка на трите медиани?
Отговор: Медицентър.
Средна отсечка в триъгълник е отсечка, свързваща средите на две от страните му.
Средната отсечка е успоредна на третата страна и равна на половината от нея.
Ако MN е средна отсечка, успоредна на BD, то:
\[ MN \parallel BD \quad \text{и} \quad MN = \frac{BD}{2} \]
В \(\Delta ABC\), ако M и N са среди на AC и BC, а \(AB = 18 \text{ см}\), то \(MN\) е успоредна на AB и \(MN = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}\).
Страната PQ на \(\Delta PQR\) е 24 см. Намерете дължината на средната отсечка, успоредна на PQ.
Отговор: Дължината на средната отсечка е \(\frac{24}{2} = 12 \text{ см}\).
Средна отсечка в трапец е отсечка, свързваща средите на двете бедра.
Средната отсечка е успоредна на основите и е равна на полусбора им.
Ако MN е средна отсечка на трапец ABCD с основи AB и CD, то:
\[ MN \parallel AB \parallel CD \quad \text{и} \quad MN = \frac{AB + CD}{2} \]
Ако в трапец ABCD основите са \(AB = 20 \text{ см}\) и \(CD = 10 \text{ см}\), то \(MN = \frac{20 + 10}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}\).
Намерете дължината на средната отсечка на трапец с основи 9 см и 17 см.
Отговор: \(m = \frac{9 + 17}{2} = \frac{26}{2} = 13 \text{ см}\).
Задачи за упражнение
Лесна: В \(\Delta PQR\) страната \(QR = 14\) см. M и N са среди на PQ и PR. Намерете дължината на MN.
\(MN\) е средна отсечка, успоредна на QR. Дължината ѝ е \(MN = \frac{QR}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см}\).
Средна: Основите на трапец са 11 см и 23 см. Намерете дължината на средната му отсечка.
Дължината на средната отсечка е \(m = \frac{11 + 23}{2} = \frac{34}{2} = 17 \text{ см}\).
Трудна: Средната отсечка на трапец е 20 см, а едната му основа е 15 см. Намерете дължината на другата основа.
Нека основите са \(a\) и \(b\). Използваме формулата \(m = \frac{a+b}{2}\).
Заместваме: \(20 = \frac{15+b}{2}\).
Решаваме за \(b\):
\(20 \cdot 2 = 15 + b\)
\(40 = 15 + b\)
\(b = 40 - 15 = 25 \text{ см}\).
Отговор: Другата основа е 25 см.
Заместваме: \(20 = \frac{15+b}{2}\).
Решаваме за \(b\):
\(20 \cdot 2 = 15 + b\)
\(40 = 15 + b\)
\(b = 40 - 15 = 25 \text{ см}\).
Отговор: Другата основа е 25 см.
