Най-важното от урока
Медиана и медицентър: Медианата свързва връх със средата на срещуположната страна. Трите медиани се пресичат в медицентъра.
Средна отсечка в триъгълник: Свързва средите на две страни. Тя е успоредна на третата страна и е равна на половината ѝ. Пример: Ако страната е 12 см, средната отсечка е 6 см.
Средна отсечка в трапец: Свързва средите на бедрата. Тя е успоредна на основите и е равна на техния полусбор. Пример: Ако основите са 7 см и 13 см, средната отсечка е \(\frac{7+13}{2} = 10 \text{ см}\).
Средна отсечка в триъгълник: Свързва средите на две страни. Тя е успоредна на третата страна и е равна на половината ѝ. Пример: Ако страната е 12 см, средната отсечка е 6 см.
Средна отсечка в трапец: Свързва средите на бедрата. Тя е успоредна на основите и е равна на техния полусбор. Пример: Ако основите са 7 см и 13 см, средната отсечка е \(\frac{7+13}{2} = 10 \text{ см}\).
Медиана в триъгълник е отсечка, която свързва връх със средата на срещуположната страна.
Трите медиани в един триъгълник винаги се пресичат в една точка, наречена медицентър.
В \(\Delta ABC\), ако \(A_1\) е средата на страната \(BC\), то отсечката \(AA_1\) е медиана. Точката \(M\), в която се пресичат трите медиани (\(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\)), е медицентърът на триъгълника.
Как се нарича точката, в която се пресичат трите медиани на един триъгълник?
Отговор: Медицентър.
Средна отсечка в триъгълник е отсечка, която свързва средите на две от страните му.
Средната отсечка в триъгълник е успоредна на третата страна и е равна на половината от нейната дължина.
Ако MN е средна отсечка, успоредна на страната BD, то:
\[ MN \parallel BD \quad \text{и} \quad MN = \frac{BD}{2} \]
В \(\Delta ABC\), ако M и N са среди съответно на AC и BC, а страната \(AB = 18 \text{ см}\), то средната отсечка \(MN\) е успоредна на AB и има дължина \(MN = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}\).
Страната PQ на \(\Delta PQR\) е 24 см. Намерете дължината на средната отсечка, която е успоредна на PQ.
Отговор: Дължината на средната отсечка е половината от дължината на третата страна: \(\frac{24}{2} = 12 \text{ см}\).
Средна отсечка в трапец е отсечка, която свързва средите на двете бедра на трапеца.
Средната отсечка в трапец е успоредна на основите и е равна на полусбора от техните дължини.
Ако MN е средна отсечка на трапец ABCD с основи AB и CD, то:
\[ MN \parallel AB \parallel CD \quad \text{и} \quad MN = \frac{AB + CD}{2} \]
Ако в трапец ABCD основите са \(AB = 20 \text{ см}\) и \(CD = 10 \text{ см}\), то средната отсечка MN има дължина \(MN = \frac{20 + 10}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}\).
Намерете дължината на средната отсечка на трапец с основи 9 см и 17 см.
Отговор: \(m = \frac{9 + 17}{2} = \frac{26}{2} = 13 \text{ см}\).
Задачи за упражнение
Лесна: В \(\Delta PQR\) страната \(QR = 14\) см. Точките M и N са среди съответно на страните PQ и PR. Намерете дължината на отсечката MN.
Отсечката MN е средна отсечка, успоредна на QR. Следователно нейната дължина е \(MN = \frac{QR}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см}\).
Средна: Основите на трапец са 11 см и 23 см. Намерете дължината на средната му отсечка.
Дължината на средната отсечка е \(m = \frac{11 + 23}{2} = \frac{34}{2} = 17 \text{ см}\).
Трудна: Средната отсечка на трапец е с дължина 20 см, а едната му основа е 15 см. Намерете дължината на другата основа.
Нека основите са \(a\) и \(b\). Използваме формулата \(m = \frac{a+b}{2}\).
Заместваме с дадените стойности: \(20 = \frac{15+b}{2}\).
Решаваме уравнението за \(b\):
\(20 \cdot 2 = 15 + b\)
\(40 = 15 + b\)
\(b = 40 - 15 = 25 \text{ см}\).
Отговор: Дължината на другата основа е 25 см.
Заместваме с дадените стойности: \(20 = \frac{15+b}{2}\).
Решаваме уравнението за \(b\):
\(20 \cdot 2 = 15 + b\)
\(40 = 15 + b\)
\(b = 40 - 15 = 25 \text{ см}\).
Отговор: Дължината на другата основа е 25 см.
