Най-важното от урока
Най-важното за рационални изрази:
1. Дефиниционно множество: Винаги започвай с намиране на стойностите, за които знаменателят е различен от нула. Пример: за \(\frac{1}{x-5}\), ДМ е \(x \ne 5\).
2. Опростяване: Разложи на множители числителя и знаменателя, след което съкрати общите множители.
3. Решаване на уравнения: Намери ДМ, приведи под общ знаменател, реши уравнението за числителя и накрая провери дали решенията са в ДМ.
1. Дефиниционно множество: Винаги започвай с намиране на стойностите, за които знаменателят е различен от нула. Пример: за \(\frac{1}{x-5}\), ДМ е \(x \ne 5\).
2. Опростяване: Разложи на множители числителя и знаменателя, след което съкрати общите множители.
3. Решаване на уравнения: Намери ДМ, приведи под общ знаменател, реши уравнението за числителя и накрая провери дали решенията са в ДМ.
Рационална дроб е израз от вида \(\frac{U}{V}\), където \(U\) и \(V\) са полиноми, а \(V\) съдържа променлива.
Дефиниционно множество (ДМ) на рационален израз е множеството от всички стойности на променливата, за които знаменателят е различен от нула (\(V \ne 0\)).
За рационалната дроб \(\frac{x+5}{x-3}\), знаменателят не може да е нула: \(x-3 \ne 0\).
Следователно, дефиниционното множество е \(x \ne 3\).
Следователно, дефиниционното множество е \(x \ne 3\).
Намерете дефиниционното множество на израза \(\frac{7}{x^2-4}\).
Приравняваме знаменателя на нула: \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) = 0\). Корените са \(x=2\) и \(x=-2\).
Отговор: ДМ е всяко \(x\), такова че \(x \ne 2\) и \(x \ne -2\).
Отговор: ДМ е всяко \(x\), такова че \(x \ne 2\) и \(x \ne -2\).
Стойността на рационалната дроб не се променя, ако числителят и знаменателят се умножат или разделят на един и същ израз, различен от нула.
Разширяване: \(\frac{U}{V} = \frac{U \cdot W}{V \cdot W}\) (за \(V \ne 0, W \ne 0\))
Съкращаване: \(\frac{U \cdot W}{V \cdot W} = \frac{U}{V}\) (за \(V \ne 0, W \ne 0\))
Съкращаване: \(\frac{U \cdot W}{V \cdot W} = \frac{U}{V}\) (за \(V \ne 0, W \ne 0\))
За да съкратим дробта \(\frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}\), първо разлагаме на множители:
\[ \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)} \]
При ДМ (\(x \ne 0, x \ne 3\)), можем да съкратим общия множител \((x-3)\):
\[ \frac{\cancel{(x-3)}(x+3)}{x\cancel{(x-3)}} = \frac{x+3}{x} \]
Съкратете дробта \(\frac{5x-10}{x^2-4}\).
Разлагаме числителя и знаменателя: \(\frac{5(x-2)}{(x-2)(x+2)}\).
Отговор: \(\frac{5}{x+2}\) при ДМ: \(x \ne 2, x \ne -2\).
Отговор: \(\frac{5}{x+2}\) при ДМ: \(x \ne 2, x \ne -2\).
Действията с рационални дроби се извършват по същите правила, както при обикновените дроби.
- Събиране/Изваждане: Привеждат се под общ знаменател: \(\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{AD \pm BC}{BD}\)
- Умножение: Числител се умножава по числител, знаменател по знаменател: \(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}\)
- Деление: Първата дроб се умножава с реципрочната на втората: \(\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}\)
Извършете събирането: \(\frac{3}{x} + \frac{2}{x-1}\)
Общият знаменател е \(x(x-1)\). \[ \frac{3(x-1)}{x(x-1)} + \frac{2x}{x(x-1)} = \frac{3x - 3 + 2x}{x(x-1)} = \frac{5x-3}{x(x-1)} \]
Общият знаменател е \(x(x-1)\). \[ \frac{3(x-1)}{x(x-1)} + \frac{2x}{x(x-1)} = \frac{3x - 3 + 2x}{x(x-1)} = \frac{5x-3}{x(x-1)} \]
Извършете делението: \(\frac{x+2}{x} \div \frac{x^2-4}{3x}\)
\[ \frac{x+2}{x} \cdot \frac{3x}{x^2-4} = \frac{x+2}{x} \cdot \frac{3x}{(x-2)(x+2)} = \frac{\cancel{(x+2)}}{\cancel{x}} \cdot \frac{3\cancel{x}}{(x-2)\cancel{(x+2)}} = \frac{3}{x-2} \]
Уравнение, което съдържа рационални изрази, се нарича дробно уравнение.
Определете дефиниционното множество (ДМ), като намерите стойностите, за които знаменателите стават нула.
Приведете всички дроби под общ знаменател и решете уравнението, което се получава от числителите.
Проверете дали получените корени принадлежат на дефиниционното множество. Корени, които не са в ДМ, се наричат "чужди" и не са решения.
Решете уравнението \(\frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{x-2}\).
Стъпка 1 (ДМ): \(x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2\).
Стъпка 2 (Решаване): Тъй като знаменателите са равни, приравняваме числителите: \(x^2 = 4\). Корените са \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -2\).
Стъпка 3 (Проверка): Коренът \(x_1=2\) не принадлежи на ДМ. Коренът \(x_2=-2\) принадлежи на ДМ.
Следователно, единственото решение е \(x=-2\).
Стъпка 1 (ДМ): \(x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2\).
Стъпка 2 (Решаване): Тъй като знаменателите са равни, приравняваме числителите: \(x^2 = 4\). Корените са \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -2\).
Стъпка 3 (Проверка): Коренът \(x_1=2\) не принадлежи на ДМ. Коренът \(x_2=-2\) принадлежи на ДМ.
Следователно, единственото решение е \(x=-2\).
Решете уравнението \(\frac{3}{x} + 1 = \frac{4}{x}\).
ДМ: \(x \ne 0\).
Прехвърляме \(\frac{3}{x}\) вдясно: \(1 = \frac{4}{x} - \frac{3}{x} \Rightarrow 1 = \frac{1}{x}\).
Оттук \(x=1\). Този корен е в ДМ.
Отговор: \(x=1\).
Прехвърляме \(\frac{3}{x}\) вдясно: \(1 = \frac{4}{x} - \frac{3}{x} \Rightarrow 1 = \frac{1}{x}\).
Оттук \(x=1\). Този корен е в ДМ.
Отговор: \(x=1\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете дефиниционното множество (ДМ) на израза \(\frac{2x+1}{x(x-5)}\).
Знаменателят \(x(x-5)\) е равен на 0, ако \(x=0\) или \(x-5=0\).
Отговор: ДМ е \(x \ne 0\) и \(x \ne 5\).
Отговор: ДМ е \(x \ne 0\) и \(x \ne 5\).
Средна: Опростете рационалната дроб \(\frac{x^2 - 25}{x^2+10x+25}\).
Разлагаме числителя и знаменателя, използвайки формулите за съкратено умножение:
\[ \frac{(x-5)(x+5)}{(x+5)^2} = \frac{(x-5)(x+5)}{(x+5)(x+5)} \]
Съкращаваме общия множител \((x+5)\) при ДМ (\(x \ne -5\)).
Отговор: \(\frac{x-5}{x+5}\).
Отговор: \(\frac{x-5}{x+5}\).
Трудна: Решете уравнението \(\frac{x}{x+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x^2-1}\).
Знаменателят \(x^2-1\) се разлага като \((x-1)(x+1)\).
ДМ: \(x \ne 1\) и \(x \ne -1\).
Привеждаме под общ знаменател \((x-1)(x+1)\): \[ \frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{(x-1)(x+1)} \] Решаваме уравнението за числителите: \[ x(x-1) + 2(x+1) = 2 \] \[ x^2 - x + 2x + 2 = 2 \] \[ x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0 \] Корените са \(x_1=0\) и \(x_2=-1\).
Проверяваме с ДМ: \(x=0\) е решение. \(x=-1\) не е в ДМ.
Отговор: \(x=0\).
ДМ: \(x \ne 1\) и \(x \ne -1\).
Привеждаме под общ знаменател \((x-1)(x+1)\): \[ \frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{(x-1)(x+1)} \] Решаваме уравнението за числителите: \[ x(x-1) + 2(x+1) = 2 \] \[ x^2 - x + 2x + 2 = 2 \] \[ x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0 \] Корените са \(x_1=0\) и \(x_2=-1\).
Проверяваме с ДМ: \(x=0\) е решение. \(x=-1\) не е в ДМ.
Отговор: \(x=0\).
