Най-важното от урока
Триъгълник: \( S = \frac{\text{основа} \cdot \text{височина}}{2} \). За правоъгълен: \( S = \frac{\text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2}{2} \).
Успоредник: \( S = \text{основа} \cdot \text{височина} \).
Трапец: \( S = \frac{(\text{основа}_1 + \text{основа}_2) \cdot \text{височина}}{2} \).
Ключово умение: Всяка формула може да се използва за намиране на неизвестна страна или височина, ако лицето е известно.
Успоредник: \( S = \text{основа} \cdot \text{височина} \).
Трапец: \( S = \frac{(\text{основа}_1 + \text{основа}_2) \cdot \text{височина}}{2} \).
Ключово умение: Всяка формула може да се използва за намиране на неизвестна страна или височина, ако лицето е известно.
Лицето на триъгълник се намира като се умножи дължината на една от страните му (основа) по дължината на височината към нея и полученият резултат се раздели на 2.
\[ S = \frac{\text{основа} \cdot \text{височина}}{2} = \frac{a \cdot h_a}{2} \]
Ако триъгълник има страна \(a = 3,6 \text{ cm}\) и височина към нея \(h_a = 0,7 \text{ cm}\), лицето му е:
\[ S = \frac{3,6 \cdot 0,7}{2} = \frac{2,52}{2} = 1,26 \text{ cm}^2 \]
Намерете лицето на триъгълник със страна 12 cm и височина към нея 5 cm.
\[ S = \frac{12 \cdot 5}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ cm}^2 \]
Лицето на правоъгълен триъгълник е равно на полупроизведението на двата му катета. (Това е частен случай на общата формула, тъй като единият катет е височина към другия).
\[ S = \frac{\text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2}{2} = \frac{a \cdot b}{2} \]
Правоъгълен триъгълник има катети 8 cm и 6 cm. Лицето му е:
\[ S = \frac{8 \cdot 6}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ cm}^2 \]
Намерете лицето на правоъгълен триъгълник с катети 5 cm и 10 cm.
\[ S = \frac{5 \cdot 10}{2} = \frac{50}{2} = 25 \text{ cm}^2 \]
Лицето на успоредник се намира като се умножи дължината на една от страните му по дължината на височината към нея.
\[ S = \text{основа} \cdot \text{височина} = a \cdot h_a \]
Успоредник има страна 12 cm и височина към нея 7 cm. Лицето му е:
\[ S = 12 \cdot 7 = 84 \text{ cm}^2 \]
Намерете лицето на успоредник със страна 1,5 dm и височина към нея 8 cm.
Първо уеднаквяваме мерните единици: \(1,5 \text{ dm} = 15 \text{ cm}\).
\[ S = 15 \cdot 8 = 120 \text{ cm}^2 \]
Лицето на трапец се намира като се умножи сборът на двете основи по височината и полученият резултат се раздели на 2.
\[ S = \frac{(\text{основа}_1 + \text{основа}_2) \cdot \text{височина}}{2} = \frac{(a+b) \cdot h}{2} \]
Трапец има основи 8 cm и 4 cm, а височината му е 3 cm. Лицето му е:
\[ S = \frac{(8+4) \cdot 3}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 \]
Намерете лицето на трапец с основи 7 cm и 9 cm, и височина 5 cm.
\[ S = \frac{(7+9) \cdot 5}{2} = \frac{16 \cdot 5}{2} = \frac{80}{2} = 40 \text{ cm}^2 \]
Ако знаем лицето на фигура и един от другите елементи във формулата (страна или височина), можем да намерим неизвестния елемент чрез преобразуване на формулата.
Лицето на триъгълник е \(S = 72 \text{ cm}^2\), а височината към страна \(b\) е \(h_b = 9 \text{ cm}\). Намерете страната \(b\).
От \( S = \frac{b \cdot h_b}{2} \) следва: \[ 72 = \frac{b \cdot 9}{2} \] \[ 2 \cdot 72 = b \cdot 9 \] \[ 144 = b \cdot 9 \] \[ b = 144 : 9 = 16 \text{ cm} \]
От \( S = \frac{b \cdot h_b}{2} \) следва: \[ 72 = \frac{b \cdot 9}{2} \] \[ 2 \cdot 72 = b \cdot 9 \] \[ 144 = b \cdot 9 \] \[ b = 144 : 9 = 16 \text{ cm} \]
Лицето на успоредник е 56 cm², а една от страните му е 8 cm. Намерете височината към тази страна.
От формулата \(S = a \cdot h_a\):
\[ 56 = 8 \cdot h_a \]
\[ h_a = 56 : 8 = 7 \text{ cm} \]
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете лицето на правоъгълен трапец с основи 10 cm и 6 cm и височина (бедрото, перпендикулярно на основите) 5 cm.
Прилагаме формулата за лице на трапец:
\[ S = \frac{(10+6) \cdot 5}{2} = \frac{16 \cdot 5}{2} = 40 \text{ cm}^2 \]
Средна: Лицето на триъгълник е 42 cm². Височината към една от страните му е 7 cm. Намерете дължината на тази страна.
Използваме формулата \(S = \frac{a \cdot h_a}{2}\):
\[ 42 = \frac{a \cdot 7}{2} \]
\[ 84 = a \cdot 7 \]
\[ a = 84 : 7 = 12 \text{ cm} \]
Трудна: Лицето на трапец е 80 cm², а височината му е 8 cm. Едната основа е с 4 cm по-дълга от другата. Намерете дължините на двете основи.
Нека по-малката основа е \(b\), тогава по-голямата е \(a = b + 4\). Заместваме във формулата за лице:
\[ S = \frac{(a+b) \cdot h}{2} \]
\[ 80 = \frac{((b+4) + b) \cdot 8}{2} \]
\[ 80 = (2b + 4) \cdot 4 \]
Делим двете страни на 4:
\[ 20 = 2b + 4 \]
\[ 16 = 2b \]
\[ b = 8 \text{ cm} \]
Тогава \(a = b + 4 = 8 + 4 = 12 \text{ cm}\).
Отговор: Основите са 8 cm и 12 cm.
Отговор: Основите са 8 cm и 12 cm.
