а) Ако дължината на окръжност е \( 4\pi \mathrm{~cm} \), то лицето на кръга, заграден от тази окръжност, е \( 4\pi \mathrm{~cm}^{2} \).
Дадено:
Дължина на окръжност \( C = 4\pi \mathrm{~cm} \)
Търсим:
Лице на кръга \( S \)
Формула за дължина на окръжност: \( C = 2 \pi r \)
\( 2 \pi r = 4\pi \)
\[ \frac{\cancel{2\pi} r}{\cancel{2\pi}} = \frac{\cancel{4\pi}^2}{\cancel{2\pi}} \]
\( r = 2 \mathrm{~cm} \)
Формула за лице на кръг: \( S = \pi r^2 \)
\( S = \pi (2)^2 \)
\( S = 4\pi \mathrm{~cm}^2 \)
Твърдението е вярно.
б) Ако страната на правилен осмоъгълник е равна на страната на правилен шестоъгълник с обиколка \( 54 \mathrm{~cm} \), то обиколката на осмоъгълника е \( 72 \mathrm{~cm} \).
Дадено:
Обиколка на правилен шестоъгълник \( P_6 = 54 \mathrm{~cm} \)
Страна на правилен осмоъгълник \( a_8 \) е равна на страна на правилен шестоъгълник \( a_6 \)
Търсим:
Обиколка на правилен осмоъгълник \( P_8 \)
Формула за обиколка на правилен многоъгълник: \( P = n \cdot a \)
За шестоъгълник: \( P_6 = 6 \cdot a_6 \)
\( 54 = 6 \cdot a_6 \)
\( a_6 = \frac{54}{6} = 9 \mathrm{~cm} \)
\( a_8 = a_6 = 9 \mathrm{~cm} \)
За осмоъгълник: \( P_8 = 8 \cdot a_8 \)
\( P_8 = 8 \cdot 9 = 72 \mathrm{~cm} \)
Твърдението е вярно.
в) Ако броят на ръбовете на права призма е \( 12 \), то броят на околните й стени \( 4 \).
Дадено:
Брой ръбове на права призма = 12
Търсим:
Брой околни стени на призмата
Нека основата на призмата е n-ъгълник.
Брой ръбове = \( 3n \)
\( 3n = 12 \)
\( n = \frac{12}{3} = 4 \)
Броят на околните стени е равен на броя на страните на основата, т.е. \( n \).
Брой околни стени = 4.
Твърдението е вярно.
г) Ако околните стени на пирамида са равнобедрени триъгълници, пирамидата е правилна.
Твърдението е невярно. За да е правилна пирамида, основата трябва да е правилен многоъгълник и върхът да се проектира в центъра на основата. Ако основата не е правилен многоъгълник, но околните ръбове са равни (което води до равнобедрени околни стени), пирамидата не е правилна.
д) При пълното завъртане на правоъгълен триъгълник около един от катетите му се получава прав кръгов цилиндър.
Твърдението е невярно. При завъртане на правоъгълен триъгълник около един от катетите му се получава прав кръгов конус. Прав кръгов цилиндър се получава при завъртане на правоъгълник около една от страните му.
е) Ако лицето на повърхнината на сфера е \( 16 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), то радиусът й е \( 2 \mathrm{~cm} \).
Дадено:
Лице на повърхнина на сфера \( S = 16 \pi \mathrm{~cm}^{2} \)
Търсим:
Радиус на сферата \( r \)
Формула за лице на повърхнина на сфера: \( S = 4 \pi r^2 \)
\( 4 \pi r^2 = 16 \pi \)
\[ \frac{\cancel{4 \pi} r^2}{\cancel{4 \pi}} = \frac{\cancel{16}^{4} \cancel{\pi}}{\cancel{4 \pi}} \]
\( r^2 = 4 \)
\( r^2 = 2^2 \)
\( r = 2 \mathrm{~cm} \)
Твърдението е вярно.
Подробно решение
а) Ако дължината на окръжност е \( 4\pi \mathrm{~cm} \), то лицето на кръга, заграден от тази окръжност, е \( 4\pi \mathrm{~cm}^{2} \).
Нека дължината на окръжността е \( C \), а радиусът на кръга е \( r \). Лицето на кръга е \( S \).
Знаем формулата за дължина на окръжност: \( C = 2 \pi r \).
В задачата е дадено, че \( C = 4\pi \mathrm{~cm} \).
Можем да намерим радиуса, като приравним двете формули:
\( 2 \pi r = 4\pi \)
За да намерим \( r \), трябва да разделим двете страни на равенството на \( 2\pi \):
\( \frac{\cancel{2\pi} r}{\cancel{2\pi}} = \frac{\cancel{4\pi}^2}{\cancel{2\pi}} \)
\( r = 2 \mathrm{~cm} \)
Сега можем да намерим лицето на кръга, като използваме формулата за лице на кръг: \( S = \pi r^2 \).
Заместваме намерената стойност за \( r \):
\( S = \pi (2 \mathrm{~cm})^2 \)
\( S = \pi \cdot 4 \mathrm{~cm}^2 \)
\( S = 4\pi \mathrm{~cm}^2 \)
Полученото лице е \( 4\pi \mathrm{~cm}^2 \). Твърдението е вярно.
Отговор: Да.
б) Ако страната на правилен осмоъгълник е равна на страната на правилен шестоъгълник с обиколка \( 54 \mathrm{~cm} \), то обиколката на осмоъгълника е \( 72 \mathrm{~cm} \).
Нека страната на правилния шестоъгълник е \( a_6 \) и обиколката му е \( P_6 \).
Правилният шестоъгълник има 6 равни страни.
Обиколката на правилен многоъгълник се намира по формулата \( P = n \cdot a \), където \( n \) е броят на страните, а \( a \) е дължината на една страна.
За шестоъгълника имаме: \( P_6 = 6 \cdot a_6 \).
Дадено е, че \( P_6 = 54 \mathrm{~cm} \).
Заместваме във формулата:
\( 54 = 6 \cdot a_6 \)
За да намерим \( a_6 \), трябва да разделим 54 на 6:
\( a_6 = \frac{54}{6} = 9 \mathrm{~cm} \)
В задачата е казано, че страната на правилния осмоъгълник е равна на страната на правилния шестоъгълник. Нека страната на правилния осмоъгълник е \( a_8 \). Тогава \( a_8 = a_6 = 9 \mathrm{~cm} \).
Правилният осмоъгълник има 8 равни страни.
Обиколката на правилния осмоъгълник \( P_8 \) е:
\( P_8 = 8 \cdot a_8 \)
Заместваме намерената стойност за \( a_8 \):
\( P_8 = 8 \cdot 9 \mathrm{~cm} = 72 \mathrm{~cm} \)
Получената обиколка на осмоъгълника е \( 72 \mathrm{~cm} \). Твърдението е вярно.
Отговор: Да.
в) Ако броят на ръбовете на права призма е \( 12 \), то броят на околните й стени \( 4 \).
Нека разгледаме права призма. Броят на ръбовете на една права призма е свързан с броя на върховете на основата.
Ако основата е n-ъгълник, броят на ръбовете на призмата е \( 3n \). Това е така, защото имаме n ръба на долната основа, n ръба на горната основа и n околни ръба.
В задачата е дадено, че броят на ръбовете е 12.
\( 3n = 12 \)
За да намерим \( n \), разделяме 12 на 3:
\( n = \frac{12}{3} = 4 \)
Това означава, че основата на призмата е четириъгълник.
Броят на околните стени на призма е равен на броя на страните на основата, т.е. на \( n \).
Следователно, броят на околните стени е 4.
Твърдението е вярно.
Отговор: Да.
г) Ако околните стени на пирамида са равнобедрени триъгълници, пирамидата е правилна.
Права пирамида е пирамида, чийто връх се проектира в центъра на основата. Правилна пирамида е права пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник.
За да бъдат околните стени на пирамида равнобедрени триъгълници, всички околни ръбове трябва да са равни. Това е така при права пирамида.
Но за да е правилна пирамидата, основата трябва да е правилен многоъгълник (например равностранен триъгълник, квадрат, правилен петоъгълник и т.н.). Ако основата не е правилен многоъгълник, въпреки че околните стени са равнобедрени триъгълници, пирамидата не е правилна.
Например, ако основата е правоъгълник, а върхът се проектира в пресечната точка на диагоналите на правоъгълника, околните стени ще бъдат равнобедрени триъгълници, но пирамидата няма да е правилна, защото основата не е правилен многоъгълник.
Твърдението е невярно.
Отговор: Не.
д) При пълното завъртане на правоъгълен триъгълник около един от катетите му се получава прав кръгов цилиндър.
При пълното завъртане на правоъгълен триъгълник около един от катетите му се получава прав кръгов конус. Катетът, около който се върти, става височина на конуса, а другият катет става радиус на основата на конуса. Хипотенузата образува образуващата на конуса.
Прав кръгов цилиндър се получава при завъртане на правоъгълник около една от страните му.
Твърдението е невярно.
Отговор: Не.
За да отговорим на въпроса дали твърдението е вярно, трябва да изчислим радиуса на сферата, като използваме даденото лице на повърхнината и формулата за лице на повърхнина на сфера.
1. Припомняне на формулата за лице на повърхнина на сфера
Формулата за лице на повърхнина \( S \) на сфера с радиус \( r \) е:
\( S = 4 \pi r^2 \)
2. Приравняване на формулата към даденото лице на повърхнината
В задачата е дадено, че лицето на повърхнината е \( 16 \pi \mathrm{cm}^2 \). Приравняваме формулата към тази стойност:
\( 4 \pi r^2 = 16 \pi \)
3. Намиране на радиуса \( r \)
За да намерим радиуса \( r \), трябва да решим уравнението за \( r \). Първо, можем да разделим двете страни на уравнението на \( 4 \pi \):
\( \frac{4 \pi r^2}{4 \pi} = \frac{16 \pi}{4 \pi} \)
\( r^2 = \frac{\cancel{16}^4 \cancel{\pi}}{\cancel{4}^1 \cancel{\pi}} \)
\( r^2 = 4 \)
Търсим число, което умножено само на себе си дава 4. Знаем, че \( 2 \cdot 2 = 4 \), което може да се запише като \( 2^2 = 4 \).
Следователно:
\( r^2 = 2^2 \)
Оттук получаваме, че радиусът \( r \) е:
\( r = 2 \mathrm{~cm} \)
4. Сравняване на изчисления радиус с дадения в твърдението
Изчислихме, че радиусът на сферата е \( 2 \mathrm{~cm} \). В твърдението също е посочено, че радиусът е \( 2 \mathrm{~cm} \).
5. Отговор на твърдението
Тъй като изчисления радиус съвпада с дадения в твърдението, твърдението е вярно.
Отговор: Да
Докладване за грешка
Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:
