Най-важното от урока
Решаване на уравнения:
1. Разкрийте скобите и опростете двете страни.
2. Прехвърлете всички членове с \(x\) от едната страна, а свободните членове - от другата.
3. Намерете \(x\). Пример: \(3x-1=x+5 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3\).
Решаване на неравенства:
Следвайте същите стъпки, но ако делите или умножавате с отрицателно число, обърнете знака на неравенството. Пример: \(-4x > 12 \Rightarrow x < -3\).
Специални случаи:
Ако се стигне до \(0x=b\) или \(0x > b\), проверете дали полученото числово (не)равенство е вярно или не.
1. Разкрийте скобите и опростете двете страни.
2. Прехвърлете всички членове с \(x\) от едната страна, а свободните членове - от другата.
3. Намерете \(x\). Пример: \(3x-1=x+5 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3\).
Решаване на неравенства:
Следвайте същите стъпки, но ако делите или умножавате с отрицателно число, обърнете знака на неравенството. Пример: \(-4x > 12 \Rightarrow x < -3\).
Специални случаи:
Ако се стигне до \(0x=b\) или \(0x > b\), проверете дали полученото числово (не)равенство е вярно или не.
Уравнение от вида \(ax+b=0\), където \(x\) е неизвестно. Целта е чрез еквивалентни преобразувания (прехвърляне на събираеми, разкриване на скоби) да се изолира \(x\) от едната страна на равенството.
Да се реши уравнението \(5x - 4 = 2x + 11\).
\(5x - 2x = 11 + 4\)
\(3x = 15\)
\(x = \frac{15}{3} \Rightarrow x=5\)
Решете уравнението \(4(x+1) = 3x + 9\).
\(4x + 4 = 3x + 9\)
\(4x - 3x = 9 - 4\)
Отговор: \(x = 5\)
\(4x - 3x = 9 - 4\)
Отговор: \(x = 5\)
Неравенство от вида \(ax+b>0\), \(ax+b<0\), \(ax+b \ge 0\) или \(ax+b \le 0\). Решава се аналогично на уравненията, но с едно важно правило.
При умножаване или делене на двете страни на неравенството с отрицателно число, знакът на неравенството се обръща.
Да се реши неравенството \(2x - 1 \ge 5x + 8\).
\(2x - 5x \ge 8 + 1\)
\(-3x \ge 9\)
\(x \le \frac{9}{-3} \Rightarrow x \le -3\)
Решението е интервалът \(x \in (-\infty; -3]\).
Решете неравенството \(10 - 3x < 4\).
\(-3x < 4 - 10\)
\(-3x < -6\) (делим на -3 и обръщаме знака)
Отговор: \(x > 2\) или \(x \in (2; +\infty)\)
\(-3x < -6\) (делим на -3 и обръщаме знака)
Отговор: \(x > 2\) или \(x \in (2; +\infty)\)
Ако едно уравнение може да се представи във вида \(A \cdot B = 0\), то неговите решения се намират от уравненията \(A=0\) и \(B=0\).
Да се реши уравнението \(x^2 - 5x = 0\).
\(x(x-5) = 0\)
\(x=0\) или \(x-5=0\)
Корените са \(x_1=0\) и \(x_2=5\).
Решете уравнението \((x+1)(x-4)=0\).
Приравняваме всеки от множителите на нула:
\(x+1=0 \Rightarrow x_1 = -1\)
\(x-4=0 \Rightarrow x_2 = 4\)
Отговор: Корените са -1 и 4.
\(x+1=0 \Rightarrow x_1 = -1\)
\(x-4=0 \Rightarrow x_2 = 4\)
Отговор: Корените са -1 и 4.
Ако при преобразуванията коефициентът пред \(x\) стане 0, уравнението/неравенството се свежда до числово (не)равенство.
- Ако то е вярно (напр. \(0=0\) или \(0>-5\)), всяко число е решение.
- Ако то е невярно (напр. \(0=5\) или \(0>5\)), няма решение.
Решете \(2(x+3) = 2x + 6\).
\[ 2x+6 = 2x+6 \]
\[ 2x-2x = 6-6 \]
\[ 0x = 0 \]
Получи се \(0=0\), което е вярно. Следователно, всяко число е решение.
Има ли решение уравнението \(3x-7 = 3(x+1)\)?
\(3x-7 = 3x+3\)
\(3x-3x = 3+7\)
\(0x = 10 \Rightarrow 0=10\)
Това е невярно. Отговор: Уравнението няма решение.
\(3x-3x = 3+7\)
\(0x = 10 \Rightarrow 0=10\)
Това е невярно. Отговор: Уравнението няма решение.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(7x - 5 = 2x + 10\).
\(7x - 2x = 10 + 5\)
\(5x = 15\)
\(x = 3\)
\(5x = 15\)
\(x = 3\)
Средна: Решете неравенството \((x-2)^2 - x(x-6) < 10\).
Разкриваме скобите:
\((x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 6x) < 10\)
\(x^2 - 4x + 4 - x^2 + 6x < 10\)
\(2x + 4 < 10\)
\(2x < 6\)
\(x < 3\) или \(x \in (-\infty; 3)\)
\((x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 6x) < 10\)
\(x^2 - 4x + 4 - x^2 + 6x < 10\)
\(2x + 4 < 10\)
\(2x < 6\)
\(x < 3\) или \(x \in (-\infty; 3)\)
Трудна: Намерете за кои цели стойности на \(x\) е изпълнено неравенството \(x(x+2) \ge (x-1)(x+1)\).
Опростяваме неравенството:
\(x^2 + 2x \ge x^2 - 1^2\)
\(x^2 + 2x \ge x^2 - 1\)
\(2x \ge -1\)
\(x \ge -0.5\)
Търсят се целите стойности на \(x\), които са по-големи или равни на -0.5. Това са числата 0, 1, 2, 3, ...
\(x^2 + 2x \ge x^2 - 1^2\)
\(x^2 + 2x \ge x^2 - 1\)
\(2x \ge -1\)
\(x \ge -0.5\)
Търсят се целите стойности на \(x\), които са по-големи или равни на -0.5. Това са числата 0, 1, 2, 3, ...
