Урок 28

Дадено: \( \sin(\alpha_1) = \frac{4}{5} \) \( \sin(\alpha_2) = \frac{12}{13} \) \( n_2 = 1,3 \) Търсим: \( n_1 \) - показател на пречупване на стъклото Закон на Снелиус: \[ n_1 \sin(\alpha_1) = n_2 \sin(\alpha_2) \] \[ n_1 \cdot \frac{4}{5} = 1,3 \cdot \frac{12}{13} \] \[ n_1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{13}{10} \cdot \frac{12}{13} \] \[ n_1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{\cancel{13}}{\cancel{10}^5} \cdot \frac{\cancel{12}^6}{\cancel{13}} \] \[ n_1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{6}{5} \] \[ n_1 = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{4} \] \[ n_1 = \frac{\cancel{6}^3}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}_2} \] \[ n_1 = \frac{3}{2} = 1,5 \]

Определяне на синусите на ъглите

От фигурата виждаме два правоъгълни триъгълника. За да определим синусите на ъглите \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\), ни трябват дължините на хипотенузите \(h_1\) и \(h_2\).

Изчисляване на \(h_1\)

В първия правоъгълен триъгълник имаме катети 3 cm и 4 cm. Според Питагоровата теорема: \(h_1^2 = 3^2 + 4^2\) \(h_1^2 = 9 + 16\) \(h_1^2 = 25\) \(h_1 = \sqrt{25} = 5\) cm

Изчисляване на \(h_2\)

Във втория правоъгълен триъгълник имаме катети 5 cm и 12 cm. Според Питагоровата теорема: \(h_2^2 = 5^2 + 12^2\) \(h_2^2 = 25 + 144\) \(h_2^2 = 169\) \(h_2 = \sqrt{169} = 13\) cm Сега можем да изчислим синусите на ъглите: \(\sin(\alpha_1) = \frac{4}{5} = 0,8 \) \(\sin(\alpha_2) = \frac{12}{13} \approx 0,923\)

Закон на Снелиус

Законът на Снелиус гласи: \(n_1 \sin(\alpha_1) = n_2 \sin(\alpha_2)\)

Определяне на \(n_1\)

Знаем, че \(n_2 = 1,3\). Заместваме в закона на Снелиус: \(n_1 \cdot \frac{4}{5} = 1,3 \cdot \frac{12}{13}\) \(n_1 \cdot \frac{4}{\cancel{5}_1} = 1,\cancel{3}_1 \cdot \frac{\cancel{12}^1}{\cancel{13}_1} \) \(n_1 \cdot 4 = 12\) \(n_1 = \frac{12}{4}\) \(n_1 = \frac{\cancel{12}^3}{\cancel{4}_1} = 3 \) Следователно, показателят на пречупване на стъклото е \(n_1 = 1,5\).