Най-важното от урока
Трептения: Периодично движение около равновесно положение, причинено от връщаща сила (\(F=kx\)). Характеризира се с период \(T\) и честота \(\nu = 1/T\).
Енергия: При хармонично трептене енергията се преобразува между кинетична и потенциална.
Резонанс: Рязко увеличаване на амплитудата, когато честотата на външната сила съвпадне със собствената честота на системата.
Вълни: Разпространение на трептения, което пренася енергия. Ключова формула: \(u = \lambda\nu\).
Звук: Надлъжна механична вълна с честота между 20 Hz и 20 000 Hz. Ултразвукът (напр. в ехографията) и инфразвукът са извън този обхват.
Енергия: При хармонично трептене енергията се преобразува между кинетична и потенциална.
Резонанс: Рязко увеличаване на амплитудата, когато честотата на външната сила съвпадне със собствената честота на системата.
Вълни: Разпространение на трептения, което пренася енергия. Ключова формула: \(u = \lambda\nu\).
Звук: Надлъжна механична вълна с честота между 20 Hz и 20 000 Hz. Ултразвукът (напр. в ехографията) и инфразвукът са извън този обхват.
Хармоничното трептене е периодично движение, което се извършва под действие на сила, правопропорционална на отклонението от равновесното положение и насочена към него (връщаща сила). Графиката на отклонението \(x\) от времето \(t\) е синусоида.
Основни характеристики:
- Амплитуда (A): Максималното отклонение от равновесното положение.
- Период (T): Времето за извършване на едно пълно трептене.
- Честота (\(\nu\)): Броят трептения за една секунда.
\[ \nu = \frac{1}{T} \]
Където \(\nu\) е честотата в херци (Hz), а \(T\) е периодът в секунди (s).
Пружинно махало се отклонява максимално на 5 cm от равновесното си положение и извършва едно пълно трептене за 2 секунди.
Амплитудата му е \(A = 5\) cm, периодът е \(T = 2\) s, а честотата е \(\nu = 1/2 = 0.5\) Hz.
Амплитудата му е \(A = 5\) cm, периодът е \(T = 2\) s, а честотата е \(\nu = 1/2 = 0.5\) Hz.
Едно махало извършва 20 пълни трептения за 10 секунди. Намерете периода и честотата на трептене.
Времето за едно трептене (период) е \(T = \frac{10 \text{ s}}{20} = 0.5 \text{ s}\).
Честотата е \(\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.5 \text{ s}} = 2 \text{ Hz}\).
Честотата е \(\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.5 \text{ s}} = 2 \text{ Hz}\).
Хармоничното трептене се дължи на връщаща сила, която е пропорционална на отклонението \(x\) (Закон на Хук): \(F = kx\). Коефициентът \(k\) се нарича коефициент на еластичност.
При трептенето има непрекъснато преобразуване между кинетична енергия (\(E_k = \frac{mv^2}{2}\)) и потенциална енергия (\(W = \frac{kx^2}{2}\)).
- В крайните положения (\(x = \pm A\)) скоростта е нула и цялата енергия е потенциална.
- В равновесното положение (\(x=0\)) скоростта е максимална и цялата енергия е кинетична.
\[ E = E_k + W = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \text{const} \]
Пълната механична енергия \(E\) на системата се запазва, ако няма триене.
Тяло с маса 2 kg е прикрепено към пружина с коефициент на еластичност \(k = 50\) N/m. Каква е пълната механична енергия на системата, ако амплитудата на трептене е \(A = 0.1\) m?
В крайното положение (\(x=A\)) цялата енергия е потенциална:
\[ E = W_{max} = \frac{kA^2}{2} = \frac{50 \text{ N/m} \cdot (0.1 \text{ m})^2}{2} = \frac{50 \cdot 0.01}{2} = 0.25 \text{ J} \]
Пружинно махало: система от тяло с маса \(m\), окачено на пружина с коефициент на еластичност \(k\).
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]
Периодът зависи от масата и от пружината, но не и от амплитудата.
Математично махало: точково тяло, окачено на безмасова неразтеглива нишка с дължина \(l\).
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \]
Периодът зависи от дължината и земното ускорение \(g\), но не и от масата или амплитудата (при малки ъгли).
Как ще се промени периодът на математично махало, ако дължината на нишката се увеличи 4 пъти?
Периодът е пропорционален на \(\sqrt{l}\). Ако \(l\) се увеличи 4 пъти, \(\sqrt{4l} = 2\sqrt{l}\), следователно периодът \(T\) ще се увеличи 2 пъти.
Собствени трептения: трептения, извършвани от системата след първоначално отклонение. В реални условия те са затихващи поради триенето, което превръща механичната енергия във вътрешна и амплитудата намалява.
Принудени трептения: незатихващи трептения, поддържани от външна периодична сила. Тяхната честота е равна на честотата на външната сила.
Резонанс: Явление, при което амплитудата на принудените трептения рязко нараства, когато честотата на външната сила се доближи до собствената честота на трептящата система (\(\nu \approx \nu_0\)).
Люлката е пример за принудени трептения. За да поддържаме люлеенето (да компенсираме затихването), трябва да я подбутваме периодично. Ако я бутаме в ритъм, съвпадащ със собствената ѝ честота на люлеене, с малко усилие постигаме голяма амплитуда – това е резонанс.
Защо войниците трябва да преминават през мост "не в крак"?
За да се избегне резонанс. Ако честотата на маршируването им случайно съвпадне със собствената честота на трептене на моста, амплитудата на трептенията на моста може да нарасне дотолкова, че да го разруши.
Механична вълна е процес на разпространение на трептения в материална среда. Вълните пренасят енергия, но не и вещество.
Основни характеристики: скорост (\(u\)), дължина на вълната (\(\lambda\)), честота (\(\nu\)) и амплитуда (\(A\)).
\[ u = \lambda \cdot \nu \]
Скоростта на вълната е равна на произведението от дължината на вълната и честотата.
Вълна по водна повърхност се разпространява с честота 2 Hz. Разстоянието между два съседни гребена е 1.5 m.
Дължината на вълната е \(\lambda = 1.5\) m. Скоростта на вълната е \(u = 1.5 \text{ m} \cdot 2 \text{ Hz} = 3 \text{ m/s}\).
Дължината на вълната е \(\lambda = 1.5\) m. Скоростта на вълната е \(u = 1.5 \text{ m} \cdot 2 \text{ Hz} = 3 \text{ m/s}\).
Радиостанция излъчва на честота 100 MHz (\(100 \cdot 10^6\) Hz). Ако скоростта на радиовълните е \(3 \cdot 10^8\) m/s, каква е тяхната дължина на вълната?
От формулата \(u = \lambda \nu\) изразяваме \(\lambda = \frac{u}{\nu}\).
\[ \lambda = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{100 \cdot 10^6 \text{ Hz}} = \frac{3 \cdot 10^8}{1 \cdot 10^8} \text{ m} = 3 \text{ m} \]
Напречни вълни: частиците на средата трептят перпендикулярно на посоката на разпространение на вълната (напр. вълни по струна). Разпространяват се само в твърди тела.
Надлъжни вълни: частиците на средата трептят успоредно на посоката на разпространение (напр. звук). Разпространяват се в твърди тела, течности и газове.
Звук: надлъжна механична вълна, която човешкото ухо може да възприеме (честоти от 20 Hz до 20 000 Hz).
- Под 20 Hz - инфразвук.
- Над 20 000 Hz - ултразвук.
Характеристики на звука:
- Обективни: честота, интензитет, ниво на интензитета (dB).
- Субективни: височина (свързана с честотата), сила (свързана с интензитета), тембър (определя се от обертоновете).
Светкавица се вижда почти мигновено, а гръмотевицата се чува след 5 секунди. Ако скоростта на звука във въздуха е около 340 m/s, на какво разстояние е паднала светкавицата?
Разстоянието е \(s = u \cdot t = 340 \text{ m/s} \cdot 5 \text{ s} = 1700 \text{ m}\), или 1.7 km.
Задачи за упражнение
Лесна: Пружинно махало трепти с честота 4 Hz. Какъв е периодът му на трептене?
Периодът е \(T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{4 \text{ Hz}} = 0.25 \text{ s}\).
Средна: Дължината на математично махало е 24.5 cm. Определете периода му на трептене. Приемете земното ускорение \(g \approx 9.8 \text{ m/s}^2\).
Първо преобразуваме дължината в метри: \(l = 24.5 \text{ cm} = 0.245 \text{ m}\).
Използваме формулата за период на математично махало: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.245 \text{ m}}{9.8 \text{ m/s}^2}} = 2\pi\sqrt{0.025 \text{ s}^2} = 2\pi \cdot 0.158 \text{ s} \approx 0.99 \text{ s} \approx 1 \text{ s} \]
Използваме формулата за период на математично махало: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.245 \text{ m}}{9.8 \text{ m/s}^2}} = 2\pi\sqrt{0.025 \text{ s}^2} = 2\pi \cdot 0.158 \text{ s} \approx 0.99 \text{ s} \approx 1 \text{ s} \]
Трудна: Прилеп използва ехолокация, за да открие насекомо. Той излъчва ултразвуков импулс и регистрира ехото след 0.02 s. На какво разстояние е насекомото от прилепа, ако скоростта на звука във въздуха е 340 m/s?
За време \(t = 0.02\) s звукът изминава пътя от прилепа до насекомото и обратно. Следователно пътят в едната посока се изминава за време \(t/2 = 0.01\) s.
Разстоянието до насекомото е: \[ s = u \cdot \frac{t}{2} = 340 \text{ m/s} \cdot 0.01 \text{ s} = 3.4 \text{ m} \]
Разстоянието до насекомото е: \[ s = u \cdot \frac{t}{2} = 340 \text{ m/s} \cdot 0.01 \text{ s} = 3.4 \text{ m} \]
