Най-важното от урока
Хармонично трептене: Движение, чиято графика на отклонение спрямо време е синусоида.
Амплитуда (\(A\)): Максималното отклонение от равновесното положение (височината на "вълната").
Период (\(T\)): Времето за един пълен цикъл (например от връх до връх на вълната).
Честота (\(\nu\)): Броят цикли за 1 секунда, измерва се в Херци (Hz).
Ключова връзка: \(\nu = 1/T\). Пример: Ако периодът е \(T = 0.2 \text{ s}\), честотата е \(\nu = 1/0.2 = 5 \text{ Hz}\).
Амплитуда (\(A\)): Максималното отклонение от равновесното положение (височината на "вълната").
Период (\(T\)): Времето за един пълен цикъл (например от връх до връх на вълната).
Честота (\(\nu\)): Броят цикли за 1 секунда, измерва се в Херци (Hz).
Ключова връзка: \(\nu = 1/T\). Пример: Ако периодът е \(T = 0.2 \text{ s}\), честотата е \(\nu = 1/0.2 = 5 \text{ Hz}\).
Амплитуда (\(A\)): Максималното отклонение от равновесното положение.
Период (\(T\)): Времето, за което се извършва едно пълно трептене (един пълен цикъл).
Честота (\(\nu\)): Броят на пълните трептения, извършени за една секунда.
Мерната единица за честота е Херц (Hz). \(1 \text{ Hz}\) означава едно трептене за една секунда.
Ако едно махало се люлее от единия до другия край и обратно за 2 секунди, неговият период е \(T = 2 \text{ s}\).
Махалото на стенен часовник извършва 30 пълни люлеенета за 60 секунди. Какъв е периодът му?
Периодът е времето за едно люлеене.
\[ T = \frac{\text{общо време}}{\text{брой люлеенета}} = \frac{60 \text{ s}}{30} = 2 \text{ s} \]
Периодът и честотата са обратнопропорционални величини. Колкото по-голям е периодът (по-бавно трептене), толкова по-малка е честотата, и обратно.
\[ \nu = \frac{1}{T} \quad \text{или} \quad T = \frac{1}{\nu} \]
Където \(\nu\) е честотата, а \(T\) е периодът.
Ако периодът на трептене е \(T = 0.5 \text{ s}\), честотата е:
\[ \nu = \frac{1}{0.5 \text{ s}} = 2 \text{ Hz} \]
Това означава, че за една секунда се извършват две пълни трептения.
Струна на китара трепти с честота 440 Hz. Намерете периода на трептене.
\[ T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{440 \text{ Hz}} \approx 0.0023 \text{ s} \]
Хармонично трептене е такова трептене, при което зависимостта на отклонението \(x\) от времето \(t\) се описва със синусоидална крива.
Ключови моменти от графиката:
- \(t=0\): Тялото е в равновесно положение (\(x=0\)).
- \(t=T/4\): Тялото достига максимално отклонение (амплитуда \(A\)).
- \(t=T/2\): Тялото отново е в равновесното положение.
- \(t=3T/4\): Тялото достига максимално отклонение в обратна посока (\(-A\)).
- \(t=T\): Тялото завършва един пълен цикъл и се връща в изходна позиция.
Тяло извършва хармонично трептене с период \(T = 4 \text{ s}\). Къде ще се намира то спрямо равновесното положение в момент \(t = 1 \text{ s}\)?
Моментът \(t = 1 \text{ s}\) отговаря на \(T/4\), тъй като \(4 \text{ s} / 4 = 1 \text{ s}\). В този момент тялото се намира на максимално отклонение, равно на амплитудата \(A\).
Задачи за упражнение
Лесна: От показаната графика на хармонично трептене определете:
а) амплитудата \(A\)
б) периода \(T\)
а) амплитудата \(A\)
б) периода \(T\)
а) Максималното отклонение, което се вижда от графиката, е \(A = 4 \text{ cm}\).
б) Графиката показва, че тялото стига от равновесно положение до максимално отклонение и обратно до равновесно положение за \(t = 1 \text{ s}\). Това е половин период. Следователно целият период е \(T = 2 \cdot 1 \text{ s} = 2 \text{ s}\).
б) Графиката показва, че тялото стига от равновесно положение до максимално отклонение и обратно до равновесно положение за \(t = 1 \text{ s}\). Това е половин период. Следователно целият период е \(T = 2 \cdot 1 \text{ s} = 2 \text{ s}\).
Средна: Сърцето на човек в покой извършва 75 удара за 1 минута. Намерете периода и честотата на сърдечните пулсации.
Времето е \(t = 1 \text{ min} = 60 \text{ s}\). Броят трептения (удари) е \(n = 75\).
Честотата е броят удари за секунда: \[ \nu = \frac{n}{t} = \frac{75}{60 \text{ s}} = 1.25 \text{ Hz} \] Периодът е времето за един удар: \[ T = \frac{t}{n} = \frac{60 \text{ s}}{75} = 0.8 \text{ s} \] Проверка: \(T = 1/\nu = 1/1.25 = 0.8 \text{ s}\).
Честотата е броят удари за секунда: \[ \nu = \frac{n}{t} = \frac{75}{60 \text{ s}} = 1.25 \text{ Hz} \] Периодът е времето за един удар: \[ T = \frac{t}{n} = \frac{60 \text{ s}}{75} = 0.8 \text{ s} \] Проверка: \(T = 1/\nu = 1/1.25 = 0.8 \text{ s}\).
Трудна: Точка от струна на цигулка извършва хармонично трептене с амплитуда \(A = 0.5 \text{ mm}\). Какъв път изминава тази точка за време, равно на един период?
За един пълен период точката се движи по следния начин:
- От равновесно положение до максимално отклонение \(+A\) (път \(A\)).
- Обратно до равновесно положение (път \(A\)).
- От равновесно положение до максимално отклонение \(-A\) (път \(A\)).
- Обратно до равновесно положение (път \(A\)).
