Най-важното от урока
Решаване: Опростявайте неравенствата, като прилагате познатите алгебрични правила (разкриване на скоби, прехвърляне).
Ключово правило: Винаги обръщайте знака на неравенството, когато умножавате или делите с отрицателно число. Пример: \( -5x > 10 \implies x < -2 \).
Дроби: За да се освободите от знаменателите, умножете цялото неравенство по най-малкия общ знаменател.
Текстови задачи: Преведете условието на езика на математиката (\( x \) вярно решени задачи; цена \( \geq 35 \)), решете неравенството и се върнете към контекста на задачата.
Ключово правило: Винаги обръщайте знака на неравенството, когато умножавате или делите с отрицателно число. Пример: \( -5x > 10 \implies x < -2 \).
Дроби: За да се освободите от знаменателите, умножете цялото неравенство по най-малкия общ знаменател.
Текстови задачи: Преведете условието на езика на математиката (\( x \) вярно решени задачи; цена \( \geq 35 \)), решете неравенството и се върнете към контекста на задачата.
Целта е да се опрости неравенството до един от основните видове (\(x > a\), \(x < a\), \(x \geq a\) или \(x \leq a\)) чрез алгебрични преобразувания като разкриване на скоби, прехвърляне на членове и извършване на аритметични операции.
При умножаване или деление на двете страни на неравенството с отрицателно число, посоката на знака на неравенството се обръща.
Преобразуване на неравенството \( 2(x+5) < 3(x+4) \):
\[ 2x + 10 < 3x + 12 \]
Прехвърляме членовете, съдържащи \(x\), вляво, а свободните членове вдясно:
\[ 2x - 3x < 12 - 10 \]
\[ -x < 2 \]
Умножаваме по (-1) и обръщаме знака:
\[ x > -2 \]
Задача: Решете неравенството \(5 - 2x \geq 11\).
\[ -2x \geq 11 - 5 \]
\[ -2x \geq 6 \]
Делим на -2 и обръщаме знака:
\[ x \leq -3 \]
Две неравенства се наричат еквивалентни, ако имат едни и същи решения. За да проверим дали са еквивалентни, решаваме всяко от тях и сравняваме получените интервали.
Неравенството \( (x-2)^2 - x(x-6) < -8 \) се опростява до \( x < -6 \).
Неравенството \( 2x - 5 > 3x + 1 \) се опростява до \( -x > 6 \), което е \( x < -6 \).
Тъй като и двете имат решение \( x < -6 \), те са еквивалентни.
Неравенството \( 2x - 5 > 3x + 1 \) се опростява до \( -x > 6 \), което е \( x < -6 \).
Тъй като и двете имат решение \( x < -6 \), те са еквивалентни.
Задача: Еквивалентни ли са неравенствата \( 3(x-1) > 6 \) и \( x > 3 \)?
Решаваме първото неравенство:
\[ 3x - 3 > 6 \]
\[ 3x > 9 \]
\[ x > 3 \]
Решението съвпада с второто неравенство. Следователно, те са еквивалентни.
След като решим неравенството, често се налага да намерим конкретни числа от получения интервал (цели, естествени, отрицателни) или да извършим действия с тях (да намерим сбор, произведение и др.).
Дадено е решението \( x \leq 3.5 \).
- Естествените числа в този интервал са 1, 2, 3.
- Целите числа, не по-малки от -2, са -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Задача: Намерете сбора на всички цели отрицателни числа, които са решения на неравенството \( x \geq -4 \).
Целите отрицателни числа, които са по-големи или равни на -4, са -4, -3, -2, -1.
Техният сбор е \( (-4) + (-3) + (-2) + (-1) = -10 \).
Техният сбор е \( (-4) + (-3) + (-2) + (-1) = -10 \).
Ключовото умение е да се преведе текстовото условие на езика на математиката, като се следват стъпките:
Въвеждане на неизвестно. Означаваме търсената величина с \(x\) и определяме нейните възможни стойности (дефиниционно множество).
Съставяне на модел. Изразяваме величините от задачата чрез \(x\) и съставяме неравенство, което отговаря на условието.
Решаване на неравенството. Намираме интервала за \(x\).
Анализ на решението. Интерпретираме математическия резултат в контекста на задачата, за да дадем смислен отговор.
Задача: Участник в състезание решава 12 задачи. Получава 4 т. за вярна задача и губи 2 т. за грешна. Колко задачи най-малко трябва да реши вярно, за да има не по-малко от 35 точки?
Решение: 1. \(x\) е броят вярно решени задачи (\(x\) е цяло число от 0 до 12). 2. Точките са: \( 4x - 2(12-x) \). Условието е \( \geq 35 \). 3. Решаваме \( 4x - 2(12-x) \geq 35 \implies 6x \geq 59 \implies x \geq 9 \frac{5}{6} \). 4. Тъй като \(x\) е цяло число, най-малката стойност е 10. Отговор: Най-малко 10 задачи.
Решение: 1. \(x\) е броят вярно решени задачи (\(x\) е цяло число от 0 до 12). 2. Точките са: \( 4x - 2(12-x) \). Условието е \( \geq 35 \). 3. Решаваме \( 4x - 2(12-x) \geq 35 \implies 6x \geq 59 \implies x \geq 9 \frac{5}{6} \). 4. Тъй като \(x\) е цяло число, най-малката стойност е 10. Отговор: Най-малко 10 задачи.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете най-голямото цяло число, което е решение на неравенството \( 2(x - 3) < 4 \).
\[ 2x - 6 < 4 \]
\[ 2x < 10 \]
\[ x < 5 \]
Най-голямото цяло число, по-малко от 5, е 4.
Средна: Намерете произведението на естествените числа, които са решения на неравенството \( (x-2)(x+2) - x(x-1) \leq 5 \).
\[ x^2 - 4 - (x^2 - x) \leq 5 \]
\[ x^2 - 4 - x^2 + x \leq 5 \]
\[ x - 4 \leq 5 \]
\[ x \leq 9 \]
Естествените числа, които са решения, са 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Тяхното произведение е \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 362880\).
Тяхното произведение е \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 362880\).
Трудна: Намерете най-малкото цяло число, което е решение на неравенството \( \frac{x-1}{4} - \frac{2x-3}{2} \leq \frac{1}{4} \).
Най-малкият общ знаменател е 4. Умножаваме двете страни по 4:
\[ (x-1) - 2(2x-3) \leq 1 \]
\[ x - 1 - 4x + 6 \leq 1 \]
\[ -3x + 5 \leq 1 \]
\[ -3x \leq -4 \]
Делим на -3 и обръщаме знака:
\[ x \geq \frac{4}{3} \]
Тъй като \( x \geq 1\frac{1}{3} \), най-малкото цяло число, което удовлетворява условието, е 2.
