Най-важното от урока
Ключови изводи: За да решиш уравнение от вида \(|ax+b|=c\), първо определи знака на \(c\).
- Ако \(c\) е положително (\(|x+1|=7\)), има две решения (\(x+1=7\) или \(x+1=-7\)).
- Ако \(c\) е нула (\(|x+1|=0\)), има едно решение (\(x+1=0\)).
- Ако \(c\) е отрицателно (\(|x+1|=-7\)), няма решение.
Модулът на едно число представлява неговата стойност без оглед на знака и винаги е неотрицателно число (по-голямо или равно на нула).
- Модул на положително число е самото число: \(|3| = 3\).
- Модул на отрицателно число е противоположното му положително число: \(|-3| = 3\).
- Модул на нула е нула: \(|0| = 0\).
Уравнението \(|x|=5\) означава "Кои числа имат модул 5?". Това са числата 5 и -5.
Следователно, \(x=5\) или \(x=-5\).
Следователно, \(x=5\) или \(x=-5\).
Намерете стойността на \(|-12|\).
Отговор: \(|-12|=12\).
Решението на модулното уравнение \(|ax+b|=c\) зависи от знака на числото \(c\).
Ако \(c > 0\) (c е положително число)
Уравнението се разпада на две обикновени линейни уравнения:
\[ ax+b=c \quad \text{или} \quad ax+b=-c \]
В този случай уравнението има два различни корена.
Ако \(c = 0\)
Уравнението има вида \(|ax+b|=0\), което е еквивалентно на:
\[ ax+b=0 \]
В този случай уравнението има един корен.
Ако \(c < 0\) (c е отрицателно число)
Уравнението няма решение, защото модулът на всяко число е винаги по-голям или равен на нула и не може да бъде отрицателно число.
Решете уравнението \(|2x-1|=5\).
Тъй като \(c=5 > 0\), имаме два случая:
1) \(2x-1=5 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3\)
2) \(2x-1=-5 \Rightarrow 2x=-4 \Rightarrow x=-2\)
Корените са \(x_1=3\) и \(x_2=-2\).
Тъй като \(c=5 > 0\), имаме два случая:
1) \(2x-1=5 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3\)
2) \(2x-1=-5 \Rightarrow 2x=-4 \Rightarrow x=-2\)
Корените са \(x_1=3\) и \(x_2=-2\).
Решете уравнението \(|x+4|=9\).
Тъй като \(9 > 0\), имаме:
\(x+4=9 \Rightarrow x=5\)
\(x+4=-9 \Rightarrow x=-13\)
Отговор: \(x_1=5, x_2=-13\).
\(x+4=9 \Rightarrow x=5\)
\(x+4=-9 \Rightarrow x=-13\)
Отговор: \(x_1=5, x_2=-13\).
Често модулното уравнение не е в основен вид. Целта е чрез преобразувания да го сведем до вида \(|ax+b|=c\).
Изолирайте израза, съдържащ модул, от едната страна на равенството.
Решете полученото уравнение \(|ax+b|=c\) според правилата за стойността на \(c\).
Решете уравнението \(3|x-2|-1=8\).
Стъпка 1: Изолираме модула. \[ 3|x-2| = 8+1 \] \[ 3|x-2| = 9 \] \[ |x-2| = \frac{9}{3} \] \[ |x-2| = 3 \]
Стъпка 2: Решаваме полученото уравнение.
Тъй като \(c=3>0\), имаме два корена:
\(x-2=3 \Rightarrow x=5\)
\(x-2=-3 \Rightarrow x=-1\)
Решенията са \(x_1=5\) и \(x_2=-1\).
Стъпка 1: Изолираме модула. \[ 3|x-2| = 8+1 \] \[ 3|x-2| = 9 \] \[ |x-2| = \frac{9}{3} \] \[ |x-2| = 3 \]
Стъпка 2: Решаваме полученото уравнение.
Тъй като \(c=3>0\), имаме два корена:
\(x-2=3 \Rightarrow x=5\)
\(x-2=-3 \Rightarrow x=-1\)
Решенията са \(x_1=5\) и \(x_2=-1\).
Решете уравнението \(5 - |2x+1| = 2\).
Първо изолираме модула:
\[ -|2x+1| = 2 - 5 \]
\[ -|2x+1| = -3 \quad |\cdot(-1) \]
\[ |2x+1| = 3 \]
Сега решаваме:
\(2x+1=3 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1\)
\(2x+1=-3 \Rightarrow 2x=-4 \Rightarrow x=-2\)
Отговор: \(x_1=1, x_2=-2\).
\(2x+1=3 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1\)
\(2x+1=-3 \Rightarrow 2x=-4 \Rightarrow x=-2\)
Отговор: \(x_1=1, x_2=-2\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(|x-6|=1\).
Тъй като \(1 > 0\), имаме два случая:
\(x-6=1 \Rightarrow x=7\)
\(x-6=-1 \Rightarrow x=5\)
Отговор: \(x_1=7, x_2=5\).
\(x-6=1 \Rightarrow x=7\)
\(x-6=-1 \Rightarrow x=5\)
Отговор: \(x_1=7, x_2=5\).
Средна: Решете уравнението \(4|x+2|-5=7\).
Първо свеждаме уравнението до основен вид:
\[ 4|x+2| = 7+5 \]
\[ 4|x+2| = 12 \]
\[ |x+2| = 3 \]
Сега решаваме:
\(x+2=3 \Rightarrow x=1\)
\(x+2=-3 \Rightarrow x=-5\)
Отговор: \(x_1=1, x_2=-5\).
\(x+2=3 \Rightarrow x=1\)
\(x+2=-3 \Rightarrow x=-5\)
Отговор: \(x_1=1, x_2=-5\).
Трудна: За коя стойност на числото \(k\) уравнението \(|2x-3|=k-5\) ще има само един корен?
Уравнение от вида \(|ax+b|=c\) има само един корен, когато дясната страна \(c\) е равна на 0.
В нашия случай \(c = k-5\).
Следователно, трябва да решим уравнението: \[ k-5 = 0 \] \[ k=5 \] Отговор: При \(k=5\) уравнението има един корен.
В нашия случай \(c = k-5\).
Следователно, трябва да решим уравнението: \[ k-5 = 0 \] \[ k=5 \] Отговор: При \(k=5\) уравнението има един корен.
