88. Четириъгълник, Описан Около Окръжност. Упражнение

Стъпка 1: Начертаване на скица и анализ на дадените данни

Начертайте равнобедрен трапец \(ABCD\) с по-голяма основа \(AB\) и по-малка основа \(CD\). Върховете са разположени в стандартен ред: \(A\) долу вляво, \(B\) долу вдясно, \(C\) горе вдясно, \(D\) горе вляво. Бедрата \(AD\) и \(BC\) са равни. Вътре в трапеца начертайте окръжност, вписана така, че да се допира до всичките четири страни. От върха \(D\) постройте височина \(DH\) към основата \(AB\), така че \(H\) лежи на \(AB\). Означете с квадратче правия ъгъл \(\angle DHA\). Обозначете тъпия ъгъл \(\angle ADC = 150^\circ\) и острия ъгъл \(\angle DAB = 30^\circ\). Етикетирайте дължината на бедрото \(AD = 10\) cm и височината \(DH = 5\) cm. Диаметърът на вписаната окръжност е равен на височината на трапеца. Нека запишем какво е дадено и какво търсим: * Дадено: Равнобедрен трапец \(ABCD\), в който е вписана окръжност. Средна отсечка \(m = 10\) cm. Един от ъглите е \(150^\circ\) (това е тъпият ъгъл, тъй като в трапец острите ъгли са по-малки от \(90^\circ\), а сумата на ъглите при бедрото е \(180^\circ\)). * Търсим: Диаметъра \(d\) на вписаната окръжност. Знаем, че за вписана окръжност в трапец, диаметърът на окръжността е равен на височината на трапеца (\(d = h\)). Следователно задачата се свежда до намиране на височината на трапеца.

Стъпка 2: Намиране на сбора на основите

Използваме формулата за средна отсечка \(m\) на трапец, която е равна на полусбора на двете основи: \[ m = \frac{AB + CD}{2} \] Заместваме с даденото \(m = 10\) cm: \[ 10 = \frac{AB + CD}{2} \] Умножаваме двете страни по 2, за да намерим сбора на основите: \[ AB + CD = 2 \cdot 10 = 20 \text{ cm} \]

Стъпка 3: Намиране на дължината на бедрото

Тъй като в трапеца е вписана окръжност, е в сила свойството на описан четириъгълник: сборът на срещуположните страни е равен. \[ AB + CD = AD + BC \] Тъй като трапецът е равнобедрен, бедрата са равни (\(AD = BC\)). Заместваме сбора на основите с получената стойност от Стъпка 2: \[ 20 = AD + AD \] \[ 20 = 2 \cdot AD \] \[ AD = \frac{\cancel{20}^{10}}{\cancel{2}_1} = 10 \text{ cm} \] Намерихме, че бедрото на трапеца е \(10\) cm.

Стъпка 4: Намиране на височината и диаметъра

Първо намираме острия ъгъл при основата. Тъй като сборът на ъглите, прилежащи към едно бедро в трапец, е \(180^\circ\): \[ \angle DAB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \] Сега разглеждаме правоъгълния триъгълник \(\triangle AHD\) (с прав ъгъл при върха \(H\)). В този триъгълник: * Хипотенузата е \(AD = 10\) cm. * Катетът \(DH\) лежи срещу ъгъл \(30^\circ\). Съгласно свойството на правоъгълен триъгълник с ъгъл \(30^\circ\), катетът срещу този ъгъл е равен на половината от хипотенузата: \[ DH = \frac{1}{2} \cdot AD \] \[ h = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ cm} \] Тъй като височината на трапеца е равна на диаметъра на вписаната окръжност (\(d = h\)): \[ d = 5 \text{ cm} \]

\(AB+CD = 2 \cdot 10 = 20\) cm (от средната отсечка) \(AD+BC = AB+CD = 20\) cm (свойство на описан четириъгълник) \(2 \cdot AD = 20 \Rightarrow AD = 10\) cm \(\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\) \(h = AD \cdot \frac{1}{2} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\) cm (катет срещу \(30^\circ\)) \(d = h = 5\) cm