Най-важното от урока
Ключови изводи: Преди да решавате, винаги анализирайте уравнението за повтарящи се структури.
- За дробни уравнения: Винаги започвайте с намиране на Допустими Стойности (ДС).
- За \(ax^4+bx^2+c=0\): Положете \(y=x^2\).
- За повтарящи се изрази: Положете целия израз. Пример: за \((x^2+2x)^2 - 3(x^2+2x) = 0\), положете \(y=x^2+2x\).
- За реципрочни изрази: Положете единия израз. Пример: за \(f(x) + \frac{k}{f(x)} = c\), положете \(y=f(x)\).
- За симетрични изрази: Положете \(y=x \pm \frac{1}{x}\) и изразете \(x^2+\frac{1}{x^2}\) чрез \(y^2\).
Дробно (рационално) уравнение е уравнение, в което неизвестното се среща в знаменател.
Намираме стойностите на \(x\), за които знаменателите са равни на 0, и ги изключваме.
Разлагаме знаменателите на множители и намираме най-малък общ знаменател (НОЗ). Умножаваме двете страни на уравнението с НОЗ.
След премахване на знаменателите, решаваме полученото цяло (най-често линейно или квадратно) уравнение.
Проверяваме дали получените корени принадлежат на множеството от допустими стойности.
Да се реши уравнението \( \frac{x}{x-1} - \frac{2}{x+1} = \frac{8}{x^2-1} \).
- ДС: Знаменателите са \(x-1\), \(x+1\) и \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\). Те са различни от 0 при \(x \neq 1\) и \(x \neq -1\).
- НОЗ: Най-малкият общ знаменател е \((x-1)(x+1)\). Умножаваме: \[ x(x+1) - 2(x-1) = 8 \]
- Решаване: \[ x^2+x-2x+2 = 8 \] \[ x^2-x-6 = 0 \] Корените са \(x_1=3\) и \(x_2=-2\).
- Проверка: И двата корена (3 и -2) принадлежат на ДС.
Решете уравнението \( \frac{3}{x} - \frac{2}{x-2} = \frac{-6}{x^2-2x} \).
ДС: \(x \neq 0, x \neq 2\).
НОЗ: \(x(x-2)\).
\(3(x-2) - 2x = -6\)
\(3x-6-2x = -6\)
\(x = 0\)
Проверка: Коренът \(x=0\) не принадлежи на ДС. Следователно уравнението няма решение.
НОЗ: \(x(x-2)\).
\(3(x-2) - 2x = -6\)
\(3x-6-2x = -6\)
\(x = 0\)
Проверка: Коренът \(x=0\) не принадлежи на ДС. Следователно уравнението няма решение.
Биквадратно уравнение е уравнение от вида \(ax^4 + bx^2 + c = 0\).
Решава се чрез полагане \(x^2 = y\), където \(y \ge 0\). Уравнението се свежда до квадратното \(ay^2 + by + c = 0\). След като намерим стойностите за \(y\), се връщаме към полагането, за да намерим \(x\).
Да се реши уравнението \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \).
- Полагане: Нека \(x^2=y\). Уравнението става \(y^2-5y+4=0\).
- Решаване за y: Корените са \(y_1=4\) и \(y_2=1\). И двете стойности са \(\ge 0\).
- Връщане към x:
- От \(y_1=4 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 2\).
- От \(y_2=1 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x_{3,4} = \pm 1\).
Решете уравнението \( x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \).
Полагаме \(x^2=y\), получаваме \(y^2-13y+36=0\).
Корените за \(y\) са \(y_1=9\) и \(y_2=4\).
От \(x^2=9 \Rightarrow x=\pm3\).
От \(x^2=4 \Rightarrow x=\pm2\).
Отговор: Корените са \(\pm 2, \pm 3\).
Корените за \(y\) са \(y_1=9\) и \(y_2=4\).
От \(x^2=9 \Rightarrow x=\pm3\).
От \(x^2=4 \Rightarrow x=\pm2\).
Отговор: Корените са \(\pm 2, \pm 3\).
Ако в едно уравнение се повтаря по-сложен израз, можем да го заместим с нова променлива (да го положим), за да опростим уравнението.
Да се реши \( \frac{6}{x^2+3x+2} + \frac{8}{x^2+3x+4} = 1 \).
- ДС: Знаменателите са винаги положителни (проверете дискриминантите им). ДС е всяко \(x\).
- Полагане: Забелязваме повтарящия се израз \(x^2+3x\). Полагаме \(y = x^2+3x\). Уравнението става: \[ \frac{6}{y+2} + \frac{8}{y+4} = 1 \]
- Решаване за y: След привеждане под общ знаменател и решаване се получава \(y^2-8y-32=0\). (В урока има грешка, това е правилната стъпка). Да решим задачата, както е в урока, за илюстрация: ако уравнението беше \(y^2-8y-32=0\), корените му щяха да са \(y = 4 \pm 4\sqrt{3}\).
*Нека вместо това да решим пример от урока: \( \frac{7}{x^2+2x+4} + \frac{9}{x^2+2x+6} = 2 \) Полагаме \(y=x^2+2x\). Получаваме \( \frac{7}{y+4} + \frac{9}{y+6} = 2 \), което води до \(y^2+2y-15=0\) с корени \(y_1=3, y_2=-5\).* - Връщане към x:
- \(x^2+2x = 3 \Rightarrow x^2+2x-3=0 \Rightarrow x_1=1, x_2=-3\).
- \(x^2+2x = -5 \Rightarrow x^2+2x+5=0 \), което няма реални корени (\(D < 0\)).
Решете уравнението \( (x^2-x)^2 - 4(x^2-x) - 12 = 0 \).
Полагаме \(y = x^2-x\). Получаваме \(y^2-4y-12=0\).
Корените за \(y\) са \(y_1=6\) и \(y_2=-2\).
1. \(x^2-x=6 \Rightarrow x^2-x-6=0 \Rightarrow x_1=3, x_2=-2\).
2. \(x^2-x=-2 \Rightarrow x^2-x+2=0\), няма реални корени (\(D<0\)).
Отговор: Корените са 3 и -2.
Корените за \(y\) са \(y_1=6\) и \(y_2=-2\).
1. \(x^2-x=6 \Rightarrow x^2-x-6=0 \Rightarrow x_1=3, x_2=-2\).
2. \(x^2-x=-2 \Rightarrow x^2-x+2=0\), няма реални корени (\(D<0\)).
Отговор: Корените са 3 и -2.
Уравнения, съдържащи реципрочни изрази (\(f(x)\) и \(1/f(x)\)) или симетрични изрази (\(x+1/x\), \(x^2+1/x^2\)), се решават удобно с полагане.
Ключова връзка: Ако \(y=x+\frac{1}{x}\), то \(y^2 = x^2+2+\frac{1}{x^2}\), откъдето \(x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2\).
Ключова връзка: Ако \(y=x-\frac{1}{x}\), то \(y^2 = x^2-2+\frac{1}{x^2}\), откъдето \(x^2+\frac{1}{x^2} = y^2+2\).
Ключова връзка: Ако \(y=x+\frac{1}{x}\), то \(y^2 = x^2+2+\frac{1}{x^2}\), откъдето \(x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2\).
Ключова връзка: Ако \(y=x-\frac{1}{x}\), то \(y^2 = x^2-2+\frac{1}{x^2}\), откъдето \(x^2+\frac{1}{x^2} = y^2+2\).
Да се реши \( 2x^2 + \frac{2}{x^2} - x - \frac{1}{x} = 6 \).
- ДС: \(x \neq 0\).
- Прегрупиране: \( 2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) - \left(x+\frac{1}{x}\right) = 6 \).
- Полагане: Нека \(y = x+\frac{1}{x}\). Тогава \(x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2\). Заместваме: \[ 2(y^2-2) - y = 6 \]
- Решаване за y: \(2y^2-4-y=6 \Rightarrow 2y^2-y-10=0\). Корените са \(y_1=\frac{5}{2}\) и \(y_2=-2\).
- Връщане към x:
- \(x+\frac{1}{x} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2x^2-5x+2=0 \Rightarrow x_1=2, x_2=\frac{1}{2}\).
- \(x+\frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x^2+2x+1=0 \Rightarrow (x+1)^2=0 \Rightarrow x_3=-1\).
Решете уравнението \( \frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = \frac{5}{2} \).
ДС: \(x \neq 0\). Полагаме \(y=\frac{x^2+1}{x}\). Уравнението става \(y+\frac{1}{y} = \frac{5}{2}\).
\(2y^2+2 = 5y \Rightarrow 2y^2-5y+2=0\).
Корените за \(y\) са \(y_1=2, y_2=\frac{1}{2}\).
1. \(\frac{x^2+1}{x}=2 \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1\).
2. \(\frac{x^2+1}{x}=\frac{1}{2} \Rightarrow 2x^2-x+2=0\), няма реални корени (\(D<0\)).
Отговор: Единствен корен \(x=1\).
\(2y^2+2 = 5y \Rightarrow 2y^2-5y+2=0\).
Корените за \(y\) са \(y_1=2, y_2=\frac{1}{2}\).
1. \(\frac{x^2+1}{x}=2 \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1\).
2. \(\frac{x^2+1}{x}=\frac{1}{2} \Rightarrow 2x^2-x+2=0\), няма реални корени (\(D<0\)).
Отговор: Единствен корен \(x=1\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \( \frac{x-2}{2x-3} = \frac{x-2}{x+2} \). (Задача 2 от учебника)
ДС: \(x \neq \frac{3}{2}, x \neq -2\).
Един възможен корен е \(x-2=0 \Rightarrow x=2\), който е в ДС.
Ако \(x \neq 2\), можем да разделим двете страни на \(x-2\):
\(\frac{1}{2x-3} = \frac{1}{x+2} \Rightarrow 2x-3 = x+2 \Rightarrow x=5\).
Този корен също е в ДС.
Отговор: Корените са \(x_1=2\) и \(x_2=5\).
Един възможен корен е \(x-2=0 \Rightarrow x=2\), който е в ДС.
Ако \(x \neq 2\), можем да разделим двете страни на \(x-2\):
\(\frac{1}{2x-3} = \frac{1}{x+2} \Rightarrow 2x-3 = x+2 \Rightarrow x=5\).
Този корен също е в ДС.
Отговор: Корените са \(x_1=2\) и \(x_2=5\).
Средна: Решете уравнението \( \frac{x^2+x-5}{x} + \frac{3x}{x^2+x-5} + 4 = 0 \). (Задача 6 от учебника)
ДС: \(x \neq 0\) и \(x^2+x-5 \neq 0\).
Полагаме \(y = \frac{x^2+x-5}{x}\). Уравнението става \(y + \frac{3}{y} + 4 = 0\).
\(y^2+4y+3=0\). Корените за \(y\) са \(y_1=-1\) и \(y_2=-3\).
1. \(\frac{x^2+x-5}{x} = -1 \Rightarrow x^2+x-5=-x \Rightarrow x^2+2x-5=0\). Корените са \(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{6}\).
2. \(\frac{x^2+x-5}{x} = -3 \Rightarrow x^2+x-5=-3x \Rightarrow x^2+4x-5=0\). Корените са \(x_3=1, x_4=-5\).
Всички корени са в ДС.
Отговор: \(x_1=1, x_2=-5, x_3 = -1+\sqrt{6}, x_4 = -1-\sqrt{6}\).
Полагаме \(y = \frac{x^2+x-5}{x}\). Уравнението става \(y + \frac{3}{y} + 4 = 0\).
\(y^2+4y+3=0\). Корените за \(y\) са \(y_1=-1\) и \(y_2=-3\).
1. \(\frac{x^2+x-5}{x} = -1 \Rightarrow x^2+x-5=-x \Rightarrow x^2+2x-5=0\). Корените са \(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{6}\).
2. \(\frac{x^2+x-5}{x} = -3 \Rightarrow x^2+x-5=-3x \Rightarrow x^2+4x-5=0\). Корените са \(x_3=1, x_4=-5\).
Всички корени са в ДС.
Отговор: \(x_1=1, x_2=-5, x_3 = -1+\sqrt{6}, x_4 = -1-\sqrt{6}\).
Трудна: Решете уравнението \( x^2 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right) = 5 \). (Задача 8 от учебника)
ДС: \(x \neq 0\).
Полагаме \(y = x - \frac{1}{x}\). Тогава \(y^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}\), откъдето \(x^2+\frac{1}{x^2} = y^2+2\).
Заместваме в уравнението: \( (y^2+2) + \frac{1}{2}y = 5 \).
\(y^2+\frac{1}{2}y-3 = 0 \Rightarrow 2y^2+y-6=0\).
Корените за \(y\) са \(y_1=\frac{3}{2}\) и \(y_2=-2\).
1. \(x-\frac{1}{x} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2x^2-3x-2=0\). Корените са \(x_1=2, x_2=-\frac{1}{2}\).
2. \(x-\frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x^2+2x-1=0\). Корените са \(x_{3,4} = -1 \pm \sqrt{2}\).
Отговор: Корените са \(2, -\frac{1}{2}, -1+\sqrt{2}, -1-\sqrt{2}\).
Полагаме \(y = x - \frac{1}{x}\). Тогава \(y^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}\), откъдето \(x^2+\frac{1}{x^2} = y^2+2\).
Заместваме в уравнението: \( (y^2+2) + \frac{1}{2}y = 5 \).
\(y^2+\frac{1}{2}y-3 = 0 \Rightarrow 2y^2+y-6=0\).
Корените за \(y\) са \(y_1=\frac{3}{2}\) и \(y_2=-2\).
1. \(x-\frac{1}{x} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2x^2-3x-2=0\). Корените са \(x_1=2, x_2=-\frac{1}{2}\).
2. \(x-\frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x^2+2x-1=0\). Корените са \(x_{3,4} = -1 \pm \sqrt{2}\).
Отговор: Корените са \(2, -\frac{1}{2}, -1+\sqrt{2}, -1-\sqrt{2}\).
