Най-важното от урока
Хипотеза на Дьо Бройл: Всяка движеща се частица има и вълнови свойства.
Дължина на вълната: Изчислява се по формулата \(\lambda = \frac{h}{mv}\), където \(p=mv\) е импулсът на частицата.
Ключова зависимост: Колкото по-малка е масата на частицата, толкова по-голяма е дължината на вълната ѝ и толкова по-ясно изразени са вълновите ѝ свойства.
Доказателство: Опитът на Дейвисън и Джърмър, при който се наблюдава дифракция на електрони, потвърждава вълновата им природа.
Дължина на вълната: Изчислява се по формулата \(\lambda = \frac{h}{mv}\), където \(p=mv\) е импулсът на частицата.
Ключова зависимост: Колкото по-малка е масата на частицата, толкова по-голяма е дължината на вълната ѝ и толкова по-ясно изразени са вълновите ѝ свойства.
Доказателство: Опитът на Дейвисън и Джърмър, при който се наблюдава дифракция на електрони, потвърждава вълновата им природа.
Френският физик Луи дьо Бройл предполага, че всяка движеща се частица (електрон, протон, атом и др.) притежава и вълнови свойства. Този принцип е известен като корпускулярно-вълнов дуализъм – материята проявява свойства както на частица, така и на вълна.
Вълновите свойства са значими само за микрочастици (с много малка маса). При макроскопични обекти (като прашинка или топка) дължината на вълната е толкова малка, че е практически ненаблюдаема.
Защо при фотоефекта светлината се разглежда като поток от частици (фотони), а при дифракция – като вълна?
Отговор: Това илюстрира корпускулярно-вълновия дуализъм. При взаимодействие с материя (фотоeфект) светлината проявява свойства на частица, а при разпространението си (дифракция, интерференция) – свойства на вълна.
На всяка частица с маса \(m\), движеща се със скорост \(v\), съответства вълна с дължина \(\lambda\), наречена дължина на вълната на Дьо Бройл.
\[ \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} \]
където \(h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}\) е константата на Планк, а \(p=mv\) е импулсът на частицата.
Да се изчисли дължината на вълната на Дьо Бройл за електрон (\(m_e = 9,11 \cdot 10^{-31}\) kg), движещ се със скорост \(v = 2 \cdot 10^6\) m/s.
\[ \lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{(9,11 \cdot 10^{-31} \text{ kg}) \cdot (2 \cdot 10^6 \text{ m/s})} \approx 3,64 \cdot 10^{-10} \text{ m} = 0,364 \text{ nm} \]
Протон и електрон се движат с еднаква скорост. Коя частица има по-голяма дължина на вълната на Дьо Бройл?
Отговор: Електронът. Дължината на вълната \(\lambda\) е обратнопропорционална на масата (\(\lambda \propto 1/m\)). Тъй като електронът има много по-малка маса от протона, неговата дължина на вълната на Дьо Бройл ще бъде по-голяма.
През 1927 г. Дейвисън и Джърмър доказват експериментално хипотезата на Дьо Бройл, като наблюдават дифракция на електрони при разсейването им от кристална решетка.
Дифракционната картина, получена от електрони, е аналогична на тази от рентгенови лъчи със същата дължина на вълната. Това е убедително доказателство за вълновата природа на електроните и другите частици.
Кое вълново явление е в основата на експеримента на Дейвисън и Джърмър?
Отговор: Дифракция – характерно вълново явление, при което вълните се отклоняват при преминаване през препятствия или отвори, съизмерими с тяхната дължина.
Дължината на вълната на Дьо Бройл може да се изрази чрез кинетичната енергия на частицата \(E_k = \frac{mv^2}{2}\) или чрез ускоряващото напрежение \(U\) за заредени частици (като електрони).
За частица с кинетична енергия \(E_k\):
\[ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}} \]
За електрон, ускорен с напрежение \(U\):
\[ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eU}} \]
където \(e = 1,6 \cdot 10^{-19}\) C е елементарният електричен заряд.
Използвани са електрони, ускорени от напрежение \(U = 67\) V. Дължината на вълната им е:
\[ \lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2(9,11 \cdot 10^{-31})(1,6 \cdot 10^{-19})(67)}} \approx 1,5 \cdot 10^{-10} \text{ m} = 0,15 \text{ nm} \]
Как ще се промени дължината на вълната на Дьо Бройл на един електрон, ако кинетичната му енергия се увеличи 4 пъти?
Отговор: Ще намалее 2 пъти. Дължината на вълната е обратнопропорционална на корен квадратен от енергията (\(\lambda \propto 1/\sqrt{E_k}\)). Ако \(E_k\) се увеличи 4 пъти, \(\sqrt{E_k}\) ще се увеличи 2 пъти, следователно \(\lambda\) ще намалее 2 пъти.
Задачи за упражнение
Лесна: Изчислете дължината на вълната на Дьо Бройл на неутрон (\(m_n \approx 1,67 \cdot 10^{-27}\) kg), който се движи със скорост \(v = 400\) m/s.
Използваме формулата \(\lambda = \frac{h}{mv}\).
\[ \lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{(1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (400 \text{ m/s})} \approx 9,9 \cdot 10^{-10} \text{ m} \approx 1 \text{ nm} \]
Средна: Частица алфа (хелиево ядро, \(m_\alpha \approx 6,64 \cdot 10^{-27}\) kg) има кинетична енергия \(E_k = 8 \cdot 10^{-13}\) J. Намерете дължината на вълната ѝ на Дьо Бройл.
Използваме формулата \(\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}\).
\[ \lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot (6,64 \cdot 10^{-27}) \cdot (8 \cdot 10^{-13})}} \approx 6,4 \cdot 10^{-15} \text{ m} \]
Трудна: С какво ускоряващо напрежение \(U\) трябва да бъде ускорен един протон (\(m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-27}\) kg, \(q_p = e\)), за да има дължина на вълната на Дьо Бройл \(\lambda = 0,01\) nm?
Използваме формулата \(\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_p eU}}\) и я решаваме спрямо \(U\).
Повдигаме на квадрат: \(\lambda^2 = \frac{h^2}{2m_p eU}\).
Изразяваме \(U\): \(U = \frac{h^2}{2m_p e \lambda^2}\).
Заместваме с числовите стойности (\(\lambda = 0,01 \text{ nm} = 10^{-11} \text{ m}\)): \[ U = \frac{(6,63 \cdot 10^{-34})^2}{2 \cdot (1,67 \cdot 10^{-27}) \cdot (1,6 \cdot 10^{-19}) \cdot (10^{-11})^2} \approx 8,2 \text{ V} \]
Повдигаме на квадрат: \(\lambda^2 = \frac{h^2}{2m_p eU}\).
Изразяваме \(U\): \(U = \frac{h^2}{2m_p e \lambda^2}\).
Заместваме с числовите стойности (\(\lambda = 0,01 \text{ nm} = 10^{-11} \text{ m}\)): \[ U = \frac{(6,63 \cdot 10^{-34})^2}{2 \cdot (1,67 \cdot 10^{-27}) \cdot (1,6 \cdot 10^{-19}) \cdot (10^{-11})^2} \approx 8,2 \text{ V} \]
