Най-важното от урока
Отражение: Светлината се отразява от повърхност, като ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение (\(\alpha_1 = \alpha_1'\)).
Пречупване: Светлината променя посоката си при преминаване между среди с различен показател на пречупване \(n\). Закон на Снелиус: \( n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2 \).
Пълно вътрешно отражение: Настъпва при преминаване от по-плътна към по-рядка среда (\(n_1 > n_2\)), когато ъгълът на падане е по-голям или равен на граничния ъгъл \(\alpha_{гр}\), за който \( \sin \alpha_{гр} = n_2/n_1 \).
Пречупване: Светлината променя посоката си при преминаване между среди с различен показател на пречупване \(n\). Закон на Снелиус: \( n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2 \).
Пълно вътрешно отражение: Настъпва при преминаване от по-плътна към по-рядка среда (\(n_1 > n_2\)), когато ъгълът на падане е по-голям или равен на граничния ъгъл \(\alpha_{гр}\), за който \( \sin \alpha_{гр} = n_2/n_1 \).
Когато светлинен лъч достигне границата между две среди, част от него се връща обратно в първата среда. Това явление се нарича отражение.
Ъгълът на падане \( \alpha_1 \) е равен на ъгъла на отражение \( \alpha_1' \). Двата ъгъла се измерват спрямо перпендикуляр (нормала) към граничната повърхност.
\[ \alpha_1 = \alpha_1' \]
Ако светлинен лъч пада върху огледало под ъгъл 30° спрямо нормалата, той ще се отрази също под ъгъл 30° спрямо нормалата.
Светлинен лъч пада върху гладка повърхност под ъгъл 60° спрямо нормалата. Намерете ъгъла на отражение.
Според закона за отражението, ъгълът на отражение е равен на ъгъла на падане.
Отговор: \( \alpha_1' = 60^\circ \).
Отговор: \( \alpha_1' = 60^\circ \).
Когато светлинен лъч преминава от една прозрачна среда в друга (например от въздух във вода), той променя посоката си на разпространение. Това явление се нарича пречупване.
Връзката между ъгъла на падане \( \alpha_1 \) и ъгъла на пречупване \( \alpha_2 \) се описва със закона на Снелиус. Всяка среда се характеризира с показател (коефициент) на пречупване \( n \).
\[ n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2 \]
Където \(n_1\) и \(n_2\) са показателите на пречупване на първата и втората среда.
Лъч светлина преминава от въздух (\(n_1 \approx 1\)) във вода (\(n_2 \approx 1.33\)). Тъй като \(n_2 > n_1\), лъчът се пречупва като се приближава към нормалата (\(\alpha_2 < \alpha_1\)).
Светлинен лъч преминава от въздух (\(n_1=1\)) в стъкло (\(n_2=1.5\)) под ъгъл на падане \(\alpha_1 = 30^\circ\). Намерете ъгъла на пречупване \(\alpha_2\).
Прилагаме закона на Снелиус: \( n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2 \).
\( 1 \cdot \sin 30^\circ = 1.5 \cdot \sin \alpha_2 \)
\( 1 \cdot 0.5 = 1.5 \cdot \sin \alpha_2 \)
\( \sin \alpha_2 = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \)
\( \alpha_2 = \arcsin(1/3) \approx 19.47^\circ \)
Отговор: Ъгълът на пречупване е приблизително \(19.5^\circ\).
\( 1 \cdot \sin 30^\circ = 1.5 \cdot \sin \alpha_2 \)
\( 1 \cdot 0.5 = 1.5 \cdot \sin \alpha_2 \)
\( \sin \alpha_2 = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \)
\( \alpha_2 = \arcsin(1/3) \approx 19.47^\circ \)
Отговор: Ъгълът на пречупване е приблизително \(19.5^\circ\).
Това явление се наблюдава, когато светлината се разпространява от оптично по-плътна към оптично по-рядка среда (т.е. \(n_1 > n_2\)).
При ъгъл на падане, по-голям или равен на определена стойност, наречена граничен ъгъл (\(\alpha_{гр}\)), светлината не се пречупва, а се отразява изцяло обратно в първата среда.
\[ \sin \alpha_{гр} = \frac{n_2}{n_1} \]
Пълно вътрешно отражение настъпва при \(\alpha_1 \ge \alpha_{гр}\).
За границата вода (\(n_1 = 1.33\)) - въздух (\(n_2 = 1\)), граничният ъгъл е \( \sin \alpha_{гр} = \frac{1}{1.33} \approx 0.75 \), откъдето \( \alpha_{гр} \approx 48.8^\circ \). Ако подводен лъч светлина падне към повърхността под ъгъл \(50^\circ\), той ще се отрази обратно във водата.
Намерете граничния ъгъл за светлина, преминаваща от диамант (\(n_1=2.42\)) към въздух (\(n_2=1\)).
Използваме формулата: \( \sin \alpha_{гр} = \frac{n_2}{n_1} \).
\( \sin \alpha_{гр} = \frac{1}{2.42} \approx 0.413 \)
\( \alpha_{гр} = \arcsin(0.413) \approx 24.4^\circ \)
Отговор: Граничният ъгъл е около \(24.4^\circ\).
\( \sin \alpha_{гр} = \frac{1}{2.42} \approx 0.413 \)
\( \alpha_{гр} = \arcsin(0.413) \approx 24.4^\circ \)
Отговор: Граничният ъгъл е около \(24.4^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: Светлинен лъч пада от въздух (\(n=1\)) във вода (\(n=1.33\)) под ъгъл \(45^\circ\) спрямо нормалата. Намерете ъгъла на пречупване.
Прилагаме закона на Снелиус: \( n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2 \).
\( 1 \cdot \sin 45^\circ = 1.33 \cdot \sin \alpha_2 \)
\( \sin \alpha_2 = \frac{\sin 45^\circ}{1.33} \approx \frac{0.707}{1.33} \approx 0.532 \)
\( \alpha_2 = \arcsin(0.532) \approx 32.1^\circ \)
Отговор: Ъгълът на пречупване е приблизително \(32.1^\circ\).
\( 1 \cdot \sin 45^\circ = 1.33 \cdot \sin \alpha_2 \)
\( \sin \alpha_2 = \frac{\sin 45^\circ}{1.33} \approx \frac{0.707}{1.33} \approx 0.532 \)
\( \alpha_2 = \arcsin(0.532) \approx 32.1^\circ \)
Отговор: Ъгълът на пречупване е приблизително \(32.1^\circ\).
Средна: Светлинен лъч пада от въздух (\(n_1 = 1\)) в течност под ъгъл на падане \(\alpha_1 = 30^\circ\). След като навлезе в течността, лъчът изминава път, при който се премества 3 метра надолу (вертикално) и 3 метра настрани (хоризонтално). Намерете показателя на пречупване \(n_2\) на течността.
1. Намираме \(\sin \alpha_2\) от геометрията на задачата. От правоъгълния триъгълник в течността имаме:
\(\tan \alpha_2 = \frac{\text{срещуположен катет}}{\text{прилежащ катет}} = \frac{3}{3} = 1\). Следователно \(\alpha_2 = 45^\circ\).
Тогава \(\sin \alpha_2 = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
2. Прилагаме закона на Снелиус:
\( n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2 \)
\( 1 \cdot \sin 30^\circ = n_2 \cdot \sin 45^\circ \)
\( 1 \cdot \frac{1}{2} = n_2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( n_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)
Забележка: В оригиналния текст има грешка. От фигурата е видно, че \(\sin \alpha_2 = \frac{3}{\sqrt{3^2+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), което води до \(n_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Това е физически невъзможно за течност спрямо въздух. Тук представяме математическото решение според условието, но в реалността \(n_2\) трябва да е > 1.
\(\tan \alpha_2 = \frac{\text{срещуположен катет}}{\text{прилежащ катет}} = \frac{3}{3} = 1\). Следователно \(\alpha_2 = 45^\circ\).
Тогава \(\sin \alpha_2 = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
2. Прилагаме закона на Снелиус:
\( n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2 \)
\( 1 \cdot \sin 30^\circ = n_2 \cdot \sin 45^\circ \)
\( 1 \cdot \frac{1}{2} = n_2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( n_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)
Забележка: В оригиналния текст има грешка. От фигурата е видно, че \(\sin \alpha_2 = \frac{3}{\sqrt{3^2+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), което води до \(n_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Това е физически невъзможно за течност спрямо въздух. Тук представяме математическото решение според условието, но в реалността \(n_2\) трябва да е > 1.
Трудна: Стъклена призма с основа равнобедрен правоъгълен триъгълник е поставена във въздух (\(n_2 = 1\)). Успореден сноп светлина пада перпендикулярно на единия катет на призмата. Какъв трябва да е минималният показател на пречупване \(n_1\) на стъклото, за да настъпи пълно вътрешно отражение от хипотенузата (задната стена)?
1. Определяме ъгъла на падане върху хипотенузата. Тъй като лъчът влиза перпендикулярно на катета, той не се пречупва. Триъгълникът е равнобедрен правоъгълен, следователно ъглите при основата (хипотенузата) са по \(45^\circ\). Геометрично се установява, че ъгълът на падане върху хипотенузата е \(\alpha_1 = 45^\circ\).
2. За да настъпи пълно вътрешно отражение, трябва \( \alpha_1 \ge \alpha_{гр} \), или \( \sin \alpha_1 \ge \sin \alpha_{гр} \).
3. Използваме формулата за граничния ъгъл: \( \sin \alpha_{гр} = \frac{n_2}{n_1} \).
4. Заместваме в неравенството:
\( \sin 45^\circ \ge \frac{1}{n_1} \)
\( \frac{\sqrt{2}}{2} \ge \frac{1}{n_1} \)
\( n_1 \ge \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.41 \)
Отговор: Минималният показател на пречупване на стъклото трябва да е \( n_1 \ge \sqrt{2} \approx 1.41 \).
2. За да настъпи пълно вътрешно отражение, трябва \( \alpha_1 \ge \alpha_{гр} \), или \( \sin \alpha_1 \ge \sin \alpha_{гр} \).
3. Използваме формулата за граничния ъгъл: \( \sin \alpha_{гр} = \frac{n_2}{n_1} \).
4. Заместваме в неравенството:
\( \sin 45^\circ \ge \frac{1}{n_1} \)
\( \frac{\sqrt{2}}{2} \ge \frac{1}{n_1} \)
\( n_1 \ge \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.41 \)
Отговор: Минималният показател на пречупване на стъклото трябва да е \( n_1 \ge \sqrt{2} \approx 1.41 \).
