Най-важното от урока
Механична енергия: Сбор от кинетична (\(\frac{mv^2}{2}\)) и потенциална (\(mgh\)) енергия.
Запазване на механична енергия: В отсъствие на триене, пълната механична енергия е постоянна (\(E_k + E_p = \text{const}\)). Пример: при свободно падане \(E_p\) се превръща в \(E_k\).
Всеобщ закон за енергията: Енергията не изчезва, а само се превръща от един вид в друг. Пример: триенето превръща механична енергия в топлина.
Запазване на механична енергия: В отсъствие на триене, пълната механична енергия е постоянна (\(E_k + E_p = \text{const}\)). Пример: при свободно падане \(E_p\) се превръща в \(E_k\).
Всеобщ закон за енергията: Енергията не изчезва, а само се превръща от един вид в друг. Пример: триенето превръща механична енергия в топлина.
Сумата от кинетичната енергия \(E_k\) (енергия на движението) и потенциалната енергия \(E_p\) (енергия на височината) на едно тяло се нарича пълна механична енергия \(E\).
\[ E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh \]
\(m\) - маса, \(v\) - скорост, \(g\) - земно ускорение, \(h\) - височина.
Летяща нависоко птица има едновременно кинетична енергия (защото се движи) и потенциална енергия (защото е на височина). Нейната механична енергия е сборът от двете.
Изчислете механичната енергия на тяло с маса 2 kg, което се движи със скорост 3 m/s на височина 5 m. (Приемете \(g \approx 10 \text{ m/s}^2\)).
\(E_k = \frac{2 \cdot 3^2}{2} = 9 \text{ J}\)
\(E_p = 2 \cdot 10 \cdot 5 = 100 \text{ J}\)
\(E = E_k + E_p = 9 + 100 = 109 \text{ J}\)
\(E_p = 2 \cdot 10 \cdot 5 = 100 \text{ J}\)
\(E = E_k + E_p = 9 + 100 = 109 \text{ J}\)
Под действието на силата на тежестта кинетичната и потенциалната енергия могат да се превръщат една в друга.
Какъв вид енергия има едно махало в най-високата точка от своята траектория, където за миг спира?
Отговор: В най-високата точка скоростта е нула, следователно кинетичната енергия е нула. Цялата механична енергия е под формата на потенциална енергия.
Когато върху едно тяло действа само силата на тежестта (т.е. пренебрегваме триене и съпротивление на въздуха), неговата пълна механична енергия се запазва (остава постоянна).
\[ E = E_k + E_p = \text{const} \]
Това означава, че енергията в начален момент е равна на енергията във всеки следващ момент:
\[ \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \frac{mv_2^2}{2} + mgh_2 \]
Топка е пусната от височина \(h\). Каква ще бъде нейната скорост \(v\) в най-ниската точка (при \(h=0\))?
Начална енергия (само потенциална): \(E_1 = mgh\).
Крайна енергия (само кинетична): \(E_2 = \frac{mv^2}{2}\).
Съгласно закона: \(E_1 = E_2 \Rightarrow mgh = \frac{mv^2}{2}\).
След съкращаване на \(m\) получаваме \(v = \sqrt{2gh}\).
Крайна енергия (само кинетична): \(E_2 = \frac{mv^2}{2}\).
Съгласно закона: \(E_1 = E_2 \Rightarrow mgh = \frac{mv^2}{2}\).
След съкращаване на \(m\) получаваме \(v = \sqrt{2gh}\).
Енергията не се създава и не изчезва. Тя може само да се предава от едно тяло на друго или да се превръща от един вид в друг (механична, топлинна, светлинна, химична и др.).
Когато трием ръцете си, те се затоплят. Какъв вид енергия се превръща в топлина?
Отговор: Механичната енергия от движението на ръцете се превръща в топлинна енергия поради триенето.
Задачи за упражнение
Лесна: Скачач на бънджи с маса 60 kg стои на ръба на мост, висок 40 m над водата. Каква е неговата потенциална енергия спрямо водата? (Приемете \(g = 10 \text{ m/s}^2\)).
\(E_p = mgh = 60 \text{ kg} \cdot 10 \text{ m/s}^2 \cdot 40 \text{ m} = 24000 \text{ J}\) или \(24 \text{ kJ}\).
Средна: Ябълка пада от клон, висок 2 m. Пресметнете скоростта ѝ точно преди да удари земята, като пренебрегнете съпротивлението на въздуха. (Приемете \(g = 10 \text{ m/s}^2\)).
Използваме закона за запазване на енергията: началната потенциална енергия се превръща в крайна кинетична енергия.
\(mgh = \frac{mv^2}{2}\)
\(v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ m/s}^2 \cdot 2 \text{ m}} = \sqrt{40} \approx 6.32 \text{ m/s}\).
\(mgh = \frac{mv^2}{2}\)
\(v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ m/s}^2 \cdot 2 \text{ m}} = \sqrt{40} \approx 6.32 \text{ m/s}\).
Трудна: Скейтбордист с маса 50 kg се спуска по рампа, започвайки от покой от височина 3 m. В най-ниската точка на рампата скоростта му е 7 m/s. Запазва ли се механичната енергия? Ако не, колко енергия е "изгубена" поради триене? (Приемете \(g = 10 \text{ m/s}^2\)).
1. Изчисляваме началната механична енергия (само потенциална):
\(E_1 = mgh = 50 \cdot 10 \cdot 3 = 1500 \text{ J}\).
2. Изчисляваме крайната механична енергия в най-ниската точка (само кинетична):
\(E_2 = \frac{mv^2}{2} = \frac{50 \cdot 7^2}{2} = \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225 \text{ J}\).
3. Сравняваме двете енергии:
\(E_1 > E_2\), следователно механичната енергия не се запазва.
4. Загубената енергия (превърната в топлина поради триене) е:
\(\Delta E = E_1 - E_2 = 1500 \text{ J} - 1225 \text{ J} = 275 \text{ J}\).
\(E_1 = mgh = 50 \cdot 10 \cdot 3 = 1500 \text{ J}\).
2. Изчисляваме крайната механична енергия в най-ниската точка (само кинетична):
\(E_2 = \frac{mv^2}{2} = \frac{50 \cdot 7^2}{2} = \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225 \text{ J}\).
3. Сравняваме двете енергии:
\(E_1 > E_2\), следователно механичната енергия не се запазва.
4. Загубената енергия (превърната в топлина поради триене) е:
\(\Delta E = E_1 - E_2 = 1500 \text{ J} - 1225 \text{ J} = 275 \text{ J}\).
