Най-важното от урока
Механично движение е промяната на положението на едно тяло спрямо друго (отправно тяло) с течение на времето.
Траектория е линията, която описва движещото се тяло. Бива праволинейна или криволинейна.
Движението и покоят са относителни – зависят от избора на отправно тяло.
Пътник във влак е в покой спрямо влака, но се движи спрямо гарата. Отправното тяло в първия случай е влакът, а във втория – гарата.
Когато кола се движи по прав път, каква е траекторията на точка от гумата спрямо земята и спрямо оста на колелото?
Спрямо земята траекторията е сложна крива линия (циклоида). Спрямо оста на колелото траекторията е окръжност.
Средна скорост (\(v_{ср}\)) е отношението на целия изминат път (\(s\)) към времето (\(t\)), за което е изминат. Използва се при неравномерно движение.
\[ v_{ср} = \frac{s}{t} \]
Моментна скорост (\(v\)) е скоростта на тялото в даден момент. Тя е равна на средната скорост за много малък интервал от време.
\[ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \quad (\text{за много малко } \Delta t) \]
Ускорение (\(a\)) е физична величина, която показва колко бързо се променя скоростта.
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{крайна} - v_{начална}}{t} \] Мерна единица: метър за секунда на квадрат (\(\text{m/s}^2\)).
Автомобил увеличава скоростта си от 10 m/s на 22 m/s за 4 секунди. Ускорението му е:
\[ a = \frac{22 \text{ m/s} - 10 \text{ m/s}}{4 \text{ s}} = \frac{12 \text{ m/s}}{4 \text{ s}} = 3 \text{ m/s}^2 \]
Това означава, че всяка секунда скоростта му нараства с 3 m/s.
Спринтьор достига скорост 9 m/s за 3 s, тръгвайки от покой. Какво е средното му ускорение?
Началната скорост е \(v_{начална} = 0\).
\[ a = \frac{9 \text{ m/s} - 0 \text{ m/s}}{3 \text{ s}} = 3 \text{ m/s}^2 \]
Движение с постоянно ускорение (\(a = \text{const}\)). Бива два вида:
- Равноускорително: скоростта нараства (ускорението е с посока на скоростта).
- Равнозакъснително: скоростта намалява (ускорението е с посока, обратна на скоростта).
Закони за скорост и път:
\[
\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
\textbf{Вид движение} & \textbf{Закон за скоростта} & \textbf{Закон за пътя} \\
\hline
\text{Равноускорително} & v = v_0 + at & s = v_0 t + \frac{at^2}{2} \\
\hline
\text{Равнозакъснително} & v = v_0 - at & s = v_0 t - \frac{at^2}{2} \\
\hline
\end{array}
\]
\(v_0\) е началната скорост. Ако движението започва от покой, \(v_0 = 0\).
Автомобил се движи с \(v_0 = 10 \text{ m/s}\) и ускорява с \(a = 2 \text{ m/s}^2\). След \(t = 5 \text{ s}\) скоростта му ще бъде \(v = 10 + 2 \cdot 5 = 20 \text{ m/s}\), а изминатият път ще е \(s = 10 \cdot 5 + \frac{2 \cdot 5^2}{2} = 50 + 25 = 75 \text{ m}\).
Влак намалява скоростта си от 20 m/s до 0 за 10 s. Какъв път изминава до спирането си (спирачен път)?
Първо намираме ускорението (в случая е отрицателно):
\(0 = 20 - a \cdot 10 \implies 10a = 20 \implies a = 2 \text{ m/s}^2\).
Сега намираме пътя:
\(s = 20 \cdot 10 - \frac{2 \cdot 10^2}{2} = 200 - 100 = 100 \text{ m}\).
Всяко тяло запазва състоянието си на покой или на праволинейно равномерно движение, докато външно въздействие (сила) не го изведе от това състояние.
Инертност е свойството на телата да се съпротивляват на промяна в състоянието им на движение. Масата (\(m\)) е количествена мярка за инертността.
Когато автобус рязко спре, пътниците политат напред. Това е така, защото телата им по инерция се стремят да запазят предишното си състояние на движение.
Защо е по-трудно да бутнеш спрял автомобил, отколкото спряла пазарска количка?
Автомобилът има много по-голяма маса, следователно е по-инертен и се съпротивлява повече на промяната от състояние на покой към движение.
Ускорението \(a\), което едно тяло придобива, е правопропорционално на приложената му равнодействаща сила \(F\) и обратнопропорционално на масата му \(m\).
\[ F = ma \]
\(F\) е равнодействащата сила в нютони (N), \(m\) е масата в kg, \(a\) е ускорението в \(\text{m/s}^2\).
Ако сила от 10 N действа на тяло с маса 2 kg, то ще се движи с ускорение:
\[ a = \frac{F}{m} = \frac{10 \text{ N}}{2 \text{ kg}} = 5 \text{ m/s}^2 \]
Каква равнодействаща сила е необходима, за да придаде на автомобил с маса 1200 kg ускорение от \(3 \text{ m/s}^2\)?
\[ F = ma = 1200 \text{ kg} \cdot 3 \text{ m/s}^2 = 3600 \text{ N} \]
Ако едно тяло действа на друго със сила (действие), то второто тяло противодейства на първото с равна по големина и противоположна по посока сила (противодействие).
Силите на действие и противодействие са приложени към различни тела и затова никога не се уравновесяват.
Когато ракета изхвърля газове надолу (действие), газовете избутват ракетата нагоре (противодействие). Това е принципът на реактивното движение.
Когато скачате от лодка към брега, защо лодката се отмества в обратна посока? Кое е действието и кое противодействието?
Действието е силата, с която краката ви избутват лодката назад. Противодействието е силата, с която лодката избутва вас напред към брега.
Сила на тежестта (\(G\)) е гравитационната сила, с която Земята привлича телата. Насочена е вертикално надолу.
\[ G = mg \] където \(g \approx 9,8 \text{ m/s}^2\) е земното ускорение.
Тегло (\(P\)) е силата, с която едно тяло натиска опората си или опъва нишката, на която е окачено. Когато тялото е в покой върху хоризонтална опора, \(P=G\).
Сила на триене (\(F_{тр}\)) възниква при допира на две повърхности и се противопоставя на движението.
\[ F_{тр} = \mu N \] където \(\mu\) е коефициент на триене, а \(N\) е силата на реакция на опората.
Тяло с маса 10 kg лежи на хоризонтална повърхност. Силата му на тежестта е \(G = 10 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 = 98 \text{ N}\). Теглото му също е 98 N. Ако коефициентът на триене е \(\mu=0.2\), силата на триене при плъзгане е \(F_{тр} = 0.2 \cdot 98 \text{ N} = 19.6 \text{ N}\).
Намерете силата на тежестта на човек с маса 70 kg.
Приемаме \(g \approx 10 \text{ m/s}^2\).
\[ G = mg = 70 \text{ kg} \cdot 10 \text{ m/s}^2 = 700 \text{ N} \]
Механична работа (\(A\)) се извършва, когато сила (\(F\)) премества тяло на разстояние (\(s\)).
\[ A = Fs \] Мерна единица: джаул (J).
Мощност (\(P\)) е работата, извършена за единица време.
\[ P = \frac{A}{t} \] Мерна единица: ват (W).
Кинетична енергия (\(E_k\)) е енергията на движение.
\[ E_k = \frac{mv^2}{2} \]
Потенциална енергия (\(E_p\)) е енергията на взаимодействие (например гравитационно).
\[ E_p = mgh \]
Кран повдига товар с маса 200 kg на височина 10 m за 20 s.
Работата е: \(A = G \cdot h = (mgh) = 200 \cdot 10 \cdot 10 = 20000 \text{ J} = 20 \text{ kJ}\).
Мощността е: \(P = \frac{20000 \text{ J}}{20 \text{ s}} = 1000 \text{ W} = 1 \text{ kW}\).
В края на повдигането товарът има потенциална енергия \(E_p = 20 \text{ kJ}\).
Изчислете кинетичната енергия на автомобил с маса 1000 kg, движещ се със скорост 72 km/h.
Първо преобразуваме скоростта в m/s: \(72 \text{ km/h} = \frac{72 \cdot 1000}{3600} \text{ m/s} = 20 \text{ m/s}\).
\[ E_k = \frac{1000 \text{ kg} \cdot (20 \text{ m/s})^2}{2} = \frac{1000 \cdot 400}{2} = 200000 \text{ J} = 200 \text{ kJ} \]
Когато върху едно тяло действа само сила на тежестта (и други консервативни сили), неговата пълна механична енергия (\(E = E_k + E_p\)) се запазва.
Това означава, че кинетичната и потенциалната енергия могат да се превръщат една в друга, но сумата им остава постоянна. Силите на триене намаляват механичната енергия.
\[ E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh = \text{const} \]
Топка, пусната от височина 5 m (\(v_0=0\)), достига земята (\(h=0\)). Според закона:
\(E_{начална} = mgh = m \cdot 10 \cdot 5 = 50m\).
\(E_{крайна} = \frac{mv^2}{2}\).
Тъй като \(E_{начална} = E_{крайна}\), то \(50m = \frac{mv^2}{2} \implies v^2 = 100 \implies v = 10 \text{ m/s}\).
От каква височина трябва да падне тяло, за да достигне скорост 20 m/s точно преди удара в земята (пренебрегнете съпротивлението на въздуха)?
Прилагаме закона: \(mgh = \frac{mv^2}{2}\). Съкращаваме \(m\).
\[ gh = \frac{v^2}{2} \implies h = \frac{v^2}{2g} = \frac{(20 \text{ m/s})^2}{2 \cdot 10 \text{ m/s}^2} = \frac{400}{20} = 20 \text{ m} \]
Налягането (\(p\)) е равно на силата на натиск (\(F\)), приложена перпендикулярно върху единица площ (\(S\)).
\[ p = \frac{F}{S} \] Мерна единица: паскал (Pa). \(1 \text{ Pa} = 1 \text{ N/m}^2\).
Закон на Паскал: Налягането, приложено върху затворена течност или газ, се предава без изменение във всички точки и по всички посоки.
Хидравличната преса използва закона на Паскал. Малка сила \(F_1\), приложена върху малко бутало с площ \(S_1\), създава налягане \(p = F_1/S_1\). Това налягане се предава и действа върху голямо бутало с площ \(S_2\), създавайки много по-голяма сила \(F_2 = p \cdot S_2\).
Сила от 50 N е приложена върху малкото бутало на хидравлична преса с площ \(S_1 = 10 \text{ cm}^2\). Каква сила ще повдигне голямото бутало, ако площта му е \(S_2 = 200 \text{ cm}^2\)?
От \(\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}\) следва \(F_2 = F_1 \frac{S_2}{S_1}\).
\[ F_2 = 50 \text{ N} \cdot \frac{200 \text{ cm}^2}{10 \text{ cm}^2} = 50 \text{ N} \cdot 20 = 1000 \text{ N} \]
Хидростатично налягане (\(p_c\)) е налягането, дължащо се на теглото на стълб течност.
\[ p_c = \rho g h \] \(\rho\) е плътността на течността, \(h\) е дълбочината.
Закон на Архимед: На всяко тяло, потопено в течност или газ, действа изтласкваща сила (\(F_A\)), насочена вертикално нагоре и равна на теглото на изместената от тялото течност.
\[ F_A = \rho_{течност} g V_{потопен} \] \(V_{потопен}\) е обемът на потопената част от тялото.
Условия за плаване:
- Ако \(G > F_A\) (или \(\rho_{тяло} > \rho_{течност}\)), тялото потъва.
- Ако \(G < F_A\) (или \(\rho_{тяло} < \rho_{течност}\)), тялото изплува.
- Ако \(G = F_A\) (или \(\rho_{тяло} = \rho_{течност}\)), тялото плава в равновесие.
Налягането на дълбочина 10 m под вода (\(\rho = 1000 \text{ kg/m}^3\)) е \(p_c = 1000 \cdot 10 \cdot 10 = 100000 \text{ Pa} \approx 1 \text{ atm}\).
Тяло с обем \(V = 0.1 \text{ m}^3\) е изцяло потопено във вода. Каква е изтласкващата сила, която му действа?
\[ F_A = \rho_{вода} g V = 1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0.1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ N} \]
Вътрешна енергия (U) е сумата от кинетичната енергия на хаотичното движение на градивните частици на едно тяло и потенциалната енергия на тяхното взаимодействие. Мерната ѝ единица е джаул (J).
Температурата (T) е физична величина, която е мярка за средната кинетична енергия на градивните частици. По-високата температура означава по-интензивно топлинно движение.
Връзка между температура по Целзий (\(t\)) и абсолютна температура по Келвин (\(T\)):
\[ T(\text{K}) = t(^{\circ}\text{C}) + 273,15 \]
В повечето задачи се използва закръглената стойност \(T = t + 273\).
Стайна температура от \(20^{\circ}\text{C}\) се равнява на \(T = 20 + 273 = 293 \text{ K}\).
Температурата на кипене на азота е \( -196^{\circ}\text{C}\). Колко е тази температура в келвини?
\( T = t + 273 = -196 + 273 = 77 \text{ K} \)
Топлообмен е процес на предаване на енергия от по-топло към по-студено тяло. Предадената енергия се нарича количество топлина (Q).
Специфичен топлинен капацитет (c) е количеството топлина, необходимо за повишаване на температурата на 1 kg от дадено вещество с \(1^{\circ}\text{C}\) (или 1 K). Единица: \( \text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K}) \).
\[ Q = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1) = c \cdot m \cdot \Delta t \]
Където \(m\) е масата, а \(\Delta t\) е промяната в температурата.
Уравнение на топлинния баланс: При топлообмен в изолирана система, погълнатото количество топлина е равно на отдаденото.
\[ Q_{погълнато} = Q_{отдадено} \]
За да загреем 2 kg вода (\(c = 4200 \text{ J}/(\text{kg}\cdot\text{K})\)) от \(10^{\circ}\text{C}\) до \(50^{\circ}\text{C}\), е необходимо количество топлина:
\( Q = 4200 \cdot 2 \cdot (50 - 10) = 336000 \text{ J} = 336 \text{ kJ} \).
Желязна част с маса 0,5 kg се охлажда от \(120^{\circ}\text{C}\) до \(20^{\circ}\text{C}\). Колко топлина отдава тя? (\(c_{желязо} = 450 \text{ J}/(\text{kg}\cdot\text{K})\))
\( Q_{отдадено} = c \cdot m \cdot (t_1 - t_2) = 450 \cdot 0,5 \cdot (120 - 20) = 22500 \text{ J} = 22,5 \text{ kJ} \).
Топене е преход от твърдо в течно състояние. Изпарение е преход от течно в газообразно състояние. Тези процеси протичат при постоянна температура и изискват поглъщане на топлина.
По време на фазов преход (топене, кипене) температурата на веществото не се променя!
Количество топлина при топене: \( Q = \lambda \cdot m \)
Количество топлина при изпарение: \( Q = r \cdot m \)
\(\lambda\) - специфична топлина на топене, \(r\) - специфична топлина на изпарение.
Количество топлина при изпарение: \( Q = r \cdot m \)
\(\lambda\) - специфична топлина на топене, \(r\) - специфична топлина на изпарение.
За да се разтопят 2 kg лед при \(0^{\circ}\text{C}\), е необходима топлина \(Q = \lambda m\). За водата \(\lambda = 3,33 \cdot 10^5 \text{ J/kg}\).
\( Q = (3,33 \cdot 10^5 \text{ J/kg}) \cdot (2 \text{ kg}) = 6,66 \cdot 10^5 \text{ J} = 666 \text{ kJ} \).
\( Q = (3,33 \cdot 10^5 \text{ J/kg}) \cdot (2 \text{ kg}) = 6,66 \cdot 10^5 \text{ J} = 666 \text{ kJ} \).
Колко топлина е необходима, за да се изпарят напълно 100 g (0,1 kg) вода, която вече е нагрята до температура на кипене \(100^{\circ}\text{C}\)? (\(r_{вода} = 2,3 \cdot 10^6 \text{ J/kg}\))
\( Q = r \cdot m = (2,3 \cdot 10^6 \text{ J/kg}) \cdot (0,1 \text{ kg}) = 2,3 \cdot 10^5 \text{ J} = 230 \text{ kJ} \).
Вътрешната енергия на една система може да се измени по два начина: чрез топлообмен \(Q\) и чрез извършване на работа \(A\).
Първият принцип на термодинамиката е закон за запазване на енергията при топлинни процеси.
\[ \Delta U = Q + A \]
Където: \(\Delta U\) е изменението на вътрешната енергия, \(Q\) е полученото количество топлина, \(A\) е работата, извършена върху системата.
Алтернативен запис: \( \Delta U = Q - A' \), където \(A'\) е работата, извършена от системата.
Алтернативен запис: \( \Delta U = Q - A' \), където \(A'\) е работата, извършена от системата.
Знаци:
- \(Q > 0\): системата поглъща топлина.
- \(Q < 0\): системата отдава топлина.
- \(A > 0\): външни сили извършват работа върху системата (свиване).
- \(A < 0\): системата извършва работа срещу външни сили (разширяване).
Газ получава 500 J топлина и едновременно с това се разширява, извършвайки работа 200 J (\(A' = 200 \text{ J}\)). С колко се изменя вътрешната му енергия?
Използваме \( \Delta U = Q - A' \).
\( \Delta U = 500 \text{ J} - 200 \text{ J} = 300 \text{ J} \). Вътрешната енергия се е увеличила с 300 J.
\( \Delta U = 500 \text{ J} - 200 \text{ J} = 300 \text{ J} \). Вътрешната енергия се е увеличила с 300 J.
Идеален газ е модел на газ, чиито частици са с пренебрежим обем и не си взаимодействат от разстояние. Вътрешната му енергия зависи само от температурата.
Налягането е правопропорционално на абсолютната температура. Работа не се извършва (\(A = 0\)).
Закон на Гей-Люсак: \( \frac{p}{T} = \text{const} \implies \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \)
Закон на Гей-Люсак: \( \frac{p}{T} = \text{const} \implies \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \)
Обемът е правопропорционален на абсолютната температура. Газът извършва работа \( A' = p \Delta V \).
Закон на Шарл: \( \frac{V}{T} = \text{const} \implies \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \)
Закон на Шарл: \( \frac{V}{T} = \text{const} \implies \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \)
Налягането е обратнопропорционално на обема. Вътрешната енергия не се променя (\(\Delta U = 0\)).
Закон на Бойл-Мариот: \( pV = \text{const} \implies p_1 V_1 = p_2 V_2 \)
Закон на Бойл-Мариот: \( pV = \text{const} \implies p_1 V_1 = p_2 V_2 \)
Процес без топлообмен с околната среда. При адиабатно разширяване газът се охлажда, а при свиване се нагрява. \(\Delta U = A\).
В затворен съд газ има налягане \(2 \cdot 10^5 \text{ Pa}\) при температура \(300 \text{ K}\). Какво ще бъде налягането, ако газът се нагрее до \(450 \text{ K}\)?
Процесът е изохорен (\(V = \text{const}\)).
\( \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \implies p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1} \)
\( p_2 = (2 \cdot 10^5 \text{ Pa}) \frac{450 \text{ K}}{300 \text{ K}} = 3 \cdot 10^5 \text{ Pa} \)
\( \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \implies p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1} \)
\( p_2 = (2 \cdot 10^5 \text{ Pa}) \frac{450 \text{ K}}{300 \text{ K}} = 3 \cdot 10^5 \text{ Pa} \)
Топлинна машина е устройство, което преобразува част от вътрешната енергия (топлина) в механична работа. Работи циклично между нагревател и охладител.
Коефициент на полезно действие (КПД, \(\eta\)) показва каква част от получената от нагревателя топлина \(Q_1\) се превръща в полезна работа \(A'\).
\[ \eta = \frac{A'}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \]
Където \(Q_2\) е топлината, отдадена на охладителя.
Двигател с вътрешно горене получава 1000 J топлина от изгарянето на гориво и отдава 700 J на околната среда (охладителя). Полезната работа е \(A' = Q_1 - Q_2 = 1000 - 700 = 300 \text{ J}\).
КПД е \(\eta = \frac{300 \text{ J}}{1000 \text{ J}} = 0,3\) или \(30\%\).
КПД на топлинна машина е 25%. Ако за един цикъл тя извършва работа 500 J, колко топлина е получила от нагревателя?
От \(\eta = \frac{A'}{Q_1}\) следва \(Q_1 = \frac{A'}{\eta}\).
\(Q_1 = \frac{500 \text{ J}}{0,25} = 2000 \text{ J} = 2 \text{ kJ}\).
\(Q_1 = \frac{500 \text{ J}}{0,25} = 2000 \text{ J} = 2 \text{ kJ}\).
