Най-важното от урока
Аритметична прогресия: редица, в която разликата между два съседни члена е константа (напр. 3, 7, 11, 15...).
Разлика (d): \(d = a_2 - a_1\). За 3, 7, 11... \(d = 7-3 = 4\).
Формула за n-ти член: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). С нея намираме всеки член, например 100-тният член на прогресията 3, 7, 11... е \(a_{100} = 3 + (99)\cdot 4 = 3 + 396 = 399\).
Основна задача: Намиране на \(a_1\) и \(d\) чрез система уравнения, ако са дадени два члена.
Разлика (d): \(d = a_2 - a_1\). За 3, 7, 11... \(d = 7-3 = 4\).
Формула за n-ти член: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). С нея намираме всеки член, например 100-тният член на прогресията 3, 7, 11... е \(a_{100} = 3 + (99)\cdot 4 = 3 + 396 = 399\).
Основна задача: Намиране на \(a_1\) и \(d\) чрез система уравнения, ако са дадени два члена.
Аритметична прогресия е числова редица, в която всеки следващ член се получава, като към предходния се прибавя едно и също число, наречено разлика.
Редицата \(5, 8, 11, 14, \dots\) е аритметична прогресия. Първият член е \(a_1 = 5\). Всеки следващ член се получава, като към предишния се добави числото 3.
Дадена е редицата \(20, 15, 10, 5, 0\). Аритметична прогресия ли е тя?
Да. Всеки следващ член се получава, като от предходния се извади 5 (или се прибави -5).
Разликата \(d\) е постоянното число, което се добавя към всеки член, за да се получи следващият. Намира се, като от кой да е член се извади предходният: \(d = a_n - a_{n-1}\).
- Ако \(d > 0\), прогресията е растяща.
- Ако \(d < 0\), прогресията е намаляваща.
- Ако \(d = 0\), прогресията е константна (всички членове са равни).
За прогресията \(1, 4, 7, 10, \dots\) разликата е \(d = 4 - 1 = 3\). Тъй като \(d > 0\), прогресията е растяща.
Намерете разликата на прогресията \(-1, -3, -5, -7, \dots\) и определете вида ѝ.
\(d = a_2 - a_1 = -3 - (-1) = -2\).
Тъй като \(d < 0\), прогресията е намаляваща.
Тъй като \(d < 0\), прогресията е намаляваща.
Тази формула позволява да се намери стойността на всеки член на прогресията (\(a_n\)), ако са известни първият член (\(a_1\)), разликата (\(d\)) и номерът на търсения член (\(n\)).
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
Където:
\(a_n\) е n-тият член (който търсим).
\(a_1\) е първият член.
\(n\) е номерът на члена.
\(d\) е разликата на прогресията.
\(a_n\) е n-тият член (който търсим).
\(a_1\) е първият член.
\(n\) е номерът на члена.
\(d\) е разликата на прогресията.
За да намерим 10-ия член на прогресията с \(a_1 = 3\) и \(d = 2\), заместваме във формулата:
\[ a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 2 = 3 + 9 \cdot 2 = 3 + 18 = 21 \]
Намерете \(a_{15}\) за аритметична прогресия, ако \(a_1 = 100\) и \(d = -5\).
\(a_{15} = a_1 + (15-1)d = 100 + 14 \cdot (-5) = 100 - 70 = 30\).
Ако са известни два члена на прогресията, може да се състави система от две уравнения с две неизвестни (\(a_1\) и \(d\)), за да се намерят първият член и разликата.
Да намерим \(a_1\) и \(d\), ако \(a_4 = 12\) и \(a_9 = 27\).
Използваме формулата \(a_n = a_1 + (n-1)d\) за всеки от дадените членове:
\[ \begin{cases} a_4 = a_1 + 3d = 12 \\ a_9 = a_1 + 8d = 27 \end{cases} \]
Изваждаме първото уравнение от второто:
\[ (a_1 + 8d) - (a_1 + 3d) = 27 - 12 \]
\[ 5d = 15 \Rightarrow d=3 \]
Заместваме \(d=3\) в първото уравнение:
\[ a_1 + 3(3) = 12 \Rightarrow a_1 + 9 = 12 \Rightarrow a_1 = 3 \]
Намерете разликата \(d\) на аритметична прогресия, за която \(a_5 = 9\) и \(a_11 = 21\).
Системата е:
\[ \begin{cases} a_1 + 4d = 9 \\ a_1 + 10d = 21 \end{cases} \]
Изваждаме първото от второто уравнение:
\[ 6d = 12 \Rightarrow d = 2 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете 21-вия член на аритметичната прогресия \(-8, -5, -2, \dots\)
Първо намираме \(a_1\) и \(d\). От редицата виждаме, че \(a_1 = -8\).
Разликата е \(d = -5 - (-8) = 3\).
Прилагаме формулата за \(n=21\): \[ a_{21} = a_1 + (21-1)d = -8 + 20 \cdot 3 = -8 + 60 = 52 \] Отговор: \(a_{21} = 52\).
Разликата е \(d = -5 - (-8) = 3\).
Прилагаме формулата за \(n=21\): \[ a_{21} = a_1 + (21-1)d = -8 + 20 \cdot 3 = -8 + 60 = 52 \] Отговор: \(a_{21} = 52\).
Средна: За аритметична прогресия е дадено, че \(a_8 = 30\) и \(d = 4\). Намерете първия член \(a_1\).
Използваме формулата за \(n=8\):
\[ a_8 = a_1 + (8-1)d \]
Заместваме с дадените стойности:
\[ 30 = a_1 + 7 \cdot 4 \]
\[ 30 = a_1 + 28 \]
\[ a_1 = 30 - 28 = 2 \]
Отговор: \(a_1 = 2\).
Трудна: В аритметична прогресия \(a_5 + a_8 = 40\) и \(a_{12} = 38\). Намерете \(a_1\) и \(d\).
Изразяваме всички членове чрез \(a_1\) и \(d\):
\(a_5 = a_1 + 4d\)
\(a_8 = a_1 + 7d\)
\(a_{12} = a_1 + 11d\)
Заместваме в дадените условия и получаваме система: \[ \begin{cases} (a_1 + 4d) + (a_1 + 7d) = 40 \\ a_1 + 11d = 38 \end{cases} \] Опростяваме първото уравнение: \[ \begin{cases} 2a_1 + 11d = 40 \\ a_1 + 11d = 38 \end{cases} \] Изваждаме второто уравнение от първото: \[ (2a_1 + 11d) - (a_1 + 11d) = 40 - 38 \] \[ a_1 = 2 \] Заместваме \(a_1=2\) във второто уравнение: \[ 2 + 11d = 38 \Rightarrow 11d = 36 \Rightarrow d = \frac{36}{11} \] Отговор: \(a_1 = 2\) и \(d = \frac{36}{11}\).
\(a_5 = a_1 + 4d\)
\(a_8 = a_1 + 7d\)
\(a_{12} = a_1 + 11d\)
Заместваме в дадените условия и получаваме система: \[ \begin{cases} (a_1 + 4d) + (a_1 + 7d) = 40 \\ a_1 + 11d = 38 \end{cases} \] Опростяваме първото уравнение: \[ \begin{cases} 2a_1 + 11d = 40 \\ a_1 + 11d = 38 \end{cases} \] Изваждаме второто уравнение от първото: \[ (2a_1 + 11d) - (a_1 + 11d) = 40 - 38 \] \[ a_1 = 2 \] Заместваме \(a_1=2\) във второто уравнение: \[ 2 + 11d = 38 \Rightarrow 11d = 36 \Rightarrow d = \frac{36}{11} \] Отговор: \(a_1 = 2\) и \(d = \frac{36}{11}\).
