Най-важното от урока
Числова редица: Подредена по правило поредица от числа \(a_1, a_2, ..., a_n, ...\).
Задаване: Най-често с формула за общ член (напр. \(a_n=2n\)) или рекурентно (напр. \(a_1=2, a_n = a_{n-1}+2\)).
Монотонност:
Задаване: Най-често с формула за общ член (напр. \(a_n=2n\)) или рекурентно (напр. \(a_1=2, a_n = a_{n-1}+2\)).
Монотонност:
- Растяща, ако членовете се увеличават (\(a_{n+1} \geq a_n\)).
- Намаляваща, ако членовете намаляват (\(a_{n+1} \leq a_n\)).
Числова редица е множество от числа, подредени по определено правило. Всяко число в редицата се нарича член и има свой номер (индекс) \(n\), който е естествено число (\(1, 2, 3, ...\)). Членовете се означават с \(a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...\).
Редицата може да е крайна (с определен брой членове) или безкрайна (с безброй много членове).
Редицата на нечетните числа е: 1, 3, 5, 7, ...
Тук \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), \(a_3 = 5\) и т.н. Общият член е \(a_n = 2n-1\).
Тук \(a_1 = 1\), \(a_2 = 3\), \(a_3 = 5\) и т.н. Общият член е \(a_n = 2n-1\).
Напишете първите три члена на редицата с общ член \(a_n = n^2 + 1\).
За \(n=1\): \(a_1 = 1^2 + 1 = 2\)
За \(n=2\): \(a_2 = 2^2 + 1 = 5\)
За \(n=3\): \(a_3 = 3^2 + 1 = 9\)
Отговор: 2, 5, 10. (Грешка в изчислението: 3^2 + 1 = 10, не 9)
Коригиран отговор: 2, 5, 10.
За \(n=2\): \(a_2 = 2^2 + 1 = 5\)
За \(n=3\): \(a_3 = 3^2 + 1 = 9\)
Отговор: 2, 5, 10. (Грешка в изчислението: 3^2 + 1 = 10, не 9)
Коригиран отговор: 2, 5, 10.
Има няколко начина да се дефинира правилото на една редица:
- Аналитично (с формула за общ член): Задава се формула за \(a_n\), която зависи от номера \(n\). Това позволява да се намери всеки член директно. Пример: \(a_n = \frac{n}{n+3}\).
- Рекурентно: Задават се един или няколко първи члена и формула, която изразява следващ член чрез предходните. Пример: \(a_1=1, a_n = a_{n-1} + n\).
- Графично: Членовете на редицата могат да се изобразят като точки в координатна система или върху числовата ос.
Дадена е рекурентна редица: \(a_1 = 5\) и \(a_n = 2a_{n-1} - 1\) за \(n > 1\). Намерете третия член (\(a_3\)).
Първо намираме втория член: \(a_2 = 2a_1 - 1 = 2 \cdot 5 - 1 = 9\).
След това намираме третия член: \(a_3 = 2a_2 - 1 = 2 \cdot 9 - 1 = 17\).
Отговор: \(a_3 = 17\).
След това намираме третия член: \(a_3 = 2a_2 - 1 = 2 \cdot 9 - 1 = 17\).
Отговор: \(a_3 = 17\).
Монотонността описва дали членовете на редицата се увеличават или намаляват.
Редицата е монотонно растяща, ако всеки следващ член е по-голям или равен на предходния: \(a_{n+1} \geq a_n\). Ако \(a_{n+1} > a_n\), тя е строго растяща.
Редицата е монотонно намаляваща, ако всеки следващ член е по-малък или равен на предходния: \(a_{n+1} \leq a_n\). Ако \(a_{n+1} < a_n\), тя е строго намаляваща.
Редицата \(2, 4, 6, 8, ...\) е строго растяща.
Редицата \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...\) е строго намаляваща.
Редицата \(-1, 1, -1, 1, ...\) не е монотонна.
Редицата \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...\) е строго намаляваща.
Редицата \(-1, 1, -1, 1, ...\) не е монотонна.
Редицата \(10, 7, 4, 1, ...\) монотонна ли е? Ако да, каква?
Да, редицата е монотонна. Тъй като всеки следващ член е по-малък от предходния (\(7<10, 4<7\)), тя е строго намаляваща.
За да се докаже монотонност на редица, зададена с общ член, се изследва знакът на разликата \(a_{n+1} - a_n\).
Изразете \(a_n\) и \(a_{n+1}\) чрез \(n\).
Намерете и опростете разликата \(D = a_{n+1} - a_n\).
Определете знака на разликата \(D\):
- Ако \(D > 0\) за всяко \(n\), редицата е строго растяща.
- Ако \(D < 0\) за всяко \(n\), редицата е строго намаляваща.
Да докажем, че \(a_n = \frac{2}{3n+5}\) е строго намаляваща.
1. \(a_{n+1} = \frac{2}{3(n+1)+5} = \frac{2}{3n+8}\)
2. \(a_{n+1} - a_n = \frac{2}{3n+8} - \frac{2}{3n+5} = \frac{2(3n+5) - 2(3n+8)}{(3n+8)(3n+5)} = \frac{6n+10 - 6n-16}{(3n+8)(3n+5)} = \frac{-6}{(3n+8)(3n+5)}\)
3. Тъй като числителят е отрицателен (-6), а знаменателят е положителен за всяко естествено \(n\), то разликата е отрицателна. Следователно редицата е строго намаляваща.
1. \(a_{n+1} = \frac{2}{3(n+1)+5} = \frac{2}{3n+8}\)
2. \(a_{n+1} - a_n = \frac{2}{3n+8} - \frac{2}{3n+5} = \frac{2(3n+5) - 2(3n+8)}{(3n+8)(3n+5)} = \frac{6n+10 - 6n-16}{(3n+8)(3n+5)} = \frac{-6}{(3n+8)(3n+5)}\)
3. Тъй като числителят е отрицателен (-6), а знаменателят е положителен за всяко естествено \(n\), то разликата е отрицателна. Следователно редицата е строго намаляваща.
Докажете, че редицата с общ член \(a_n = 5n - 1\) е строго растяща.
1. \(a_{n+1} = 5(n+1) - 1 = 5n + 5 - 1 = 5n + 4\)
2. \(a_{n+1} - a_n = (5n + 4) - (5n - 1) = 5n + 4 - 5n + 1 = 5\)
3. Тъй като разликата е \(5\), което е \(> 0\), редицата е строго растяща.
2. \(a_{n+1} - a_n = (5n + 4) - (5n - 1) = 5n + 4 - 5n + 1 = 5\)
3. Тъй като разликата е \(5\), което е \(> 0\), редицата е строго растяща.
Задачи за упражнение
Лесна: Напишете първите четири члена на редицата с общ член \(a_n = 1 + (-1)^n\).
\(a_1 = 1 + (-1)^1 = 1 - 1 = 0\)
\(a_2 = 1 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2\)
\(a_3 = 1 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0\)
\(a_4 = 1 + (-1)^4 = 1 + 1 = 2\)
Отговор: 0, 2, 0, 2
\(a_2 = 1 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2\)
\(a_3 = 1 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0\)
\(a_4 = 1 + (-1)^4 = 1 + 1 = 2\)
Отговор: 0, 2, 0, 2
Средна: Намерете общия член \(a_n\) на редицата \( \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, ... \).
Забелязваме, че числителят винаги е с 1 по-голям от знаменателя. Знаменателят е равен на номера на члена \(n\).
За \(n=1\), имаме \(\frac{1+1}{1} = \frac{2}{1}\).
За \(n=2\), имаме \(\frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}\).
Отговор: \(a_n = \frac{n+1}{n}\).
За \(n=1\), имаме \(\frac{1+1}{1} = \frac{2}{1}\).
За \(n=2\), имаме \(\frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}\).
Отговор: \(a_n = \frac{n+1}{n}\).
Трудна: Докажете, че редицата с общ член \(a_n = \frac{n}{n+1}\) е строго растяща.
Изследваме знака на разликата \(a_{n+1} - a_n\).
1. Намираме \(a_{n+1}\): \(a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2}\).
2. Изчисляваме разликата: \[ a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)(n+1) - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} \] \[ = \frac{(n^2+2n+1) - (n^2+2n)}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)} \] 3. За всяко естествено число \(n\), изразът \((n+2)(n+1)\) е положителен. Следователно \(\frac{1}{(n+2)(n+1)} > 0\).
Тъй като \(a_{n+1} - a_n > 0\), редицата е строго растяща.
1. Намираме \(a_{n+1}\): \(a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2}\).
2. Изчисляваме разликата: \[ a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)(n+1) - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} \] \[ = \frac{(n^2+2n+1) - (n^2+2n)}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)} \] 3. За всяко естествено число \(n\), изразът \((n+2)(n+1)\) е положителен. Следователно \(\frac{1}{(n+2)(n+1)} > 0\).
Тъй като \(a_{n+1} - a_n > 0\), редицата е строго растяща.
