Най-важното от урока
Ключови формули за права призма:
За правоъгълен паралелепипед: Диагоналът се намира с формулата \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}\).
- Околна повърхнина: \(S = P \cdot h\) (периметър на основа по височина).
- Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2B\) (околна повърхнина плюс двете лица на основата).
- Обем: \(V = B \cdot h\) (лице на основа по височина).
За правоъгълен паралелепипед: Диагоналът се намира с формулата \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}\).
Права призма е многостен с две успоредни и еднакви основи (n-ъгълници) и околни стени, които са правоъгълници, перпендикулярни на основите.
- Основи: Двата еднакви многоъгълника.
- Околни стени: Правоъгълниците, които свързват основите.
- Околни ръбове: Страните на околните стени, които свързват върхове от двете основи. Тяхната дължина е равна на височината на призмата.
- Височина (h): Разстоянието между двете основи.
Ако основата на права призма е правилен многоъгълник, призмата се нарича правилна.
Права призма има за основа шестоъгълник. Колко върха, околни стени и ръба има призмата?
- Върхове: 6 на долната основа + 6 на горната = 12 върха.
- Околни стени: 6 (колкото са страните на основата).
- Ръбове: 6 на долната основа + 6 на горната + 6 околни = 18 ръба.
За да намерим повърхнината и обема на права призма, използваме периметъра (\(P\)) и лицето (\(B\)) на нейната основа, както и височината (\(h\)).
\[ S = P \cdot h \]
\(S\) - Лице на околна повърхнина
\[ S_1 = S + 2B \]
\(S_1\) - Лице на пълна повърхнина
\[ V = B \cdot h \]
\(V\) - Обем
Правилна четириъгълна призма има основен ръб \(a = 6\) cm и обем \(V = 432\) cm\(^3\). Да намерим височината и пълната повърхнина.
- Лице на основата (квадрат): \(B = a^2 = 6^2 = 36\) cm\(^2\).
- Височина: От \(V = B \cdot h \implies 432 = 36 \cdot h \implies h = 12\) cm.
- Периметър на основата: \(P = 4a = 4 \cdot 6 = 24\) cm.
- Околна повърхнина: \(S = P \cdot h = 24 \cdot 12 = 288\) cm\(^2\).
- Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2B = 288 + 2 \cdot 36 = 360\) cm\(^2\).
Намерете обема на права триъгълна призма с височина \(h=10\) cm, чиято основа е правоъгълен триъгълник с катети \(a=3\) cm и \(b=4\) cm.
1. Намираме лицето на основата: \(B = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\) cm\(^2\).
2. Намираме обема: \(V = B \cdot h = 6 \cdot 10 = 60\) cm\(^3\).
2. Намираме обема: \(V = B \cdot h = 6 \cdot 10 = 60\) cm\(^3\).
Правоъгълен паралелепипед е права призма, чиято основа е правоъгълник. Всичките му шест стени са правоъгълници.
Куб е правоъгълен паралелепипед, на който всички стени са квадрати (т.е. всички ръбове са равни).
\[ d^2 = a^2 + b^2 + h^2 \]
Формула за квадрата на диагонала (\(d\)) на правоъгълен паралелепипед с размери \(a\), \(b\) и височина \(h\).
Даден е правоъгълен паралелепипед с ръбове \(a=2\) cm, \(b=3\) cm и \(h=6\) cm. Дължината на диагонала му е:
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ cm} \]
Намерете диагонала на куб с ръб \(a = 4\) cm.
При куба \(a=b=h\).
\[ d = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{3 \cdot 16} = 4\sqrt{3} \text{ cm} \]
Задачи за упражнение
Лесна: Правилна четириъгълна призма има основен ръб 5 cm и височина 12 cm. Намерете обема и околната ѝ повърхнина.
Основата е квадрат със страна \(a=5\) cm.
1. Лице на основата: \(B = a^2 = 5^2 = 25\) cm\(^2\).
2. Периметър на основата: \(P = 4a = 4 \cdot 5 = 20\) cm.
3. Обем: \(V = B \cdot h = 25 \cdot 12 = 300\) cm\(^3\).
4. Околна повърхнина: \(S = P \cdot h = 20 \cdot 12 = 240\) cm\(^2\).
1. Лице на основата: \(B = a^2 = 5^2 = 25\) cm\(^2\).
2. Периметър на основата: \(P = 4a = 4 \cdot 5 = 20\) cm.
3. Обем: \(V = B \cdot h = 25 \cdot 12 = 300\) cm\(^3\).
4. Околна повърхнина: \(S = P \cdot h = 20 \cdot 12 = 240\) cm\(^2\).
Средна: Правилна четириъгълна призма има височина 8 cm и пълна повърхнина 210 cm\(^2\). Намерете обема на призмата.
Нека основният ръб е \(a\).
1. \(P=4a\), \(B=a^2\).
2. От формулата \(S_1 = P \cdot h + 2B\), заместваме:
\(210 = (4a) \cdot 8 + 2a^2 \implies 2a^2 + 32a - 210 = 0\).
Делим на 2: \(a^2 + 16a - 105 = 0\).
3. Решаваме квадратното уравнение. Корените са \(a_1 = 5\) и \(a_2 = -21\). Тъй като страната не може да е отрицателна, \(a = 5\) cm.
4. Лицето на основата е \(B = a^2 = 5^2 = 25\) cm\(^2\).
5. Обемът е \(V = B \cdot h = 25 \cdot 8 = 200\) cm\(^3\).
1. \(P=4a\), \(B=a^2\).
2. От формулата \(S_1 = P \cdot h + 2B\), заместваме:
\(210 = (4a) \cdot 8 + 2a^2 \implies 2a^2 + 32a - 210 = 0\).
Делим на 2: \(a^2 + 16a - 105 = 0\).
3. Решаваме квадратното уравнение. Корените са \(a_1 = 5\) и \(a_2 = -21\). Тъй като страната не може да е отрицателна, \(a = 5\) cm.
4. Лицето на основата е \(B = a^2 = 5^2 = 25\) cm\(^2\).
5. Обемът е \(V = B \cdot h = 25 \cdot 8 = 200\) cm\(^3\).
Трудна: Основата на права призма е правоъгълен триъгълник с катети 6 cm и 8 cm. Височината на призмата е 15 cm. Намерете пълната ѝ повърхнина.
Нека катетите са \(a=6\) cm и \(b=8\) cm.
1. Намираме хипотенузата \(c\) с Питагорова теорема: \(c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies c = 10\) cm.
2. Периметър на основата: \(P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24\) cm.
3. Лице на основата: \(B = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24\) cm\(^2\).
4. Околна повърхнина: \(S = P \cdot h = 24 \cdot 15 = 360\) cm\(^2\).
5. Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2B = 360 + 2 \cdot 24 = 360 + 48 = 408\) cm\(^2\).
1. Намираме хипотенузата \(c\) с Питагорова теорема: \(c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies c = 10\) cm.
2. Периметър на основата: \(P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24\) cm.
3. Лице на основата: \(B = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24\) cm\(^2\).
4. Околна повърхнина: \(S = P \cdot h = 24 \cdot 15 = 360\) cm\(^2\).
5. Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2B = 360 + 2 \cdot 24 = 360 + 48 = 408\) cm\(^2\).
