Най-важното от урока
Степени: Запомнете, че дробният показател означава корен (\(27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3\)), а отрицателният – реципрочност (\(5^{-1} = \frac{1}{5}\)).
Логаритми: Превръщат умножение в сбор, деление в разлика и степен в множител (\(\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\)).
Дефиниционна област: Винаги проверявайте условията! Аргумент на \(\sqrt{\phantom{x}}\) \(\ge 0\), аргумент на \(\log\) \(> 0\), знаменател \(\ne 0\).
Неравенства: Ключът е в основата! Ако е по-голяма от 1, запазвате знака. Ако е между 0 и 1, обръщате знака.
Логаритми: Превръщат умножение в сбор, деление в разлика и степен в множител (\(\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\)).
Дефиниционна област: Винаги проверявайте условията! Аргумент на \(\sqrt{\phantom{x}}\) \(\ge 0\), аргумент на \(\log\) \(> 0\), знаменател \(\ne 0\).
Неравенства: Ключът е в основата! Ако е по-голяма от 1, запазвате знака. Ако е между 0 и 1, обръщате знака.
Степенуването с дробен показател е еквивалентно на коренуване, а с отрицателен – на реципрочна стойност.
\[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \]
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]
Където \(a > 0\), \(m, n\) са цели числа, \(n \neq 0\).
Изразът \(16^{-0.25}\) се преобразува така:
\(16^{-0.25} = 16^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2}\).
\(16^{-0.25} = 16^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2}\).
Опростете израза \(8^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-1}\).
\(8^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-1} = (\sqrt[3]{8})^2 \cdot \frac{1}{2} = 2^2 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\).
Логаритмите позволяват преобразуването на умножение в събиране, деление в изваждане и степенуване в умножение.
\[ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y \]
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \]
\[ \log_a(x^k) = k \cdot \log_a x \]
Изразяване на \(\lg A\) чрез логаритмите на \(a, b, c\), ако \(A = \frac{100 a^2}{c}\):
\(\lg A = \lg(100 a^2) - \lg c = \lg 100 + \lg a^2 - \lg c = 2 + 2\lg a - \lg c\).
\(\lg A = \lg(100 a^2) - \lg c = \lg 100 + \lg a^2 - \lg c = 2 + 2\lg a - \lg c\).
Използвайки свойствата, опростете израза \(\log_3 54 - \log_3 2\).
\(\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 \left(\frac{54}{2}\right) = \log_3 27 = \log_3 (3^3) = 3\).
За да е дефиниран един израз, трябва да са спазени следните условия за променливите в него:
- Подкоренната величина на четен корен трябва да е неотрицателна (\(\ge 0\)).
- Знаменателят на дроб трябва да е различен от нула (\(\ne 0\)).
- Аргументът на логаритъм трябва да е положителен (\(> 0\)).
- Основата на логаритъм трябва да е положителна и различна от едно (\(>0, \ne 1\)).
За да е дефиниран изразът \( A = \sqrt{x-5} \), трябва подкоренната величина да е неотрицателна:
\( x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5 \). Дефиниционната област е \(x \in [5, \infty)\).
\( x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5 \). Дефиниционната област е \(x \in [5, \infty)\).
Намерете дефиниционната област на израза \( \frac{1}{\log_2(x)} \).
Имаме две условия:
1. Аргументът на логаритъма трябва да е положителен: \(x > 0\).
2. Знаменателят трябва да е различен от нула: \(\log_2(x) \ne 0 \Rightarrow x \ne 2^0 \Rightarrow x \ne 1\).
Обединявайки двете условия, получаваме \(x \in (0, 1) \cup (1, \infty)\).
1. Аргументът на логаритъма трябва да е положителен: \(x > 0\).
2. Знаменателят трябва да е различен от нула: \(\log_2(x) \ne 0 \Rightarrow x \ne 2^0 \Rightarrow x \ne 1\).
Обединявайки двете условия, получаваме \(x \in (0, 1) \cup (1, \infty)\).
Поведението на показателната (\(y=a^x\)) и логаритмичната (\(y=\log_a x\)) функции зависи от основата \(a\).
Когато основата \(a > 1\):
Функциите са растящи. При решаване на неравенства знакът се запазва.
\(a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)
Функциите са растящи. При решаване на неравенства знакът се запазва.
\(a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)
Когато основата \(0 < a < 1\):
Функциите са намаляващи. При решаване на неравенства знакът се обръща.
\(a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)\)
Функциите са намаляващи. При решаване на неравенства знакът се обръща.
\(a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)\)
Да решим неравенството \((\frac{1}{3})^x > (\frac{1}{3})^2\).
Основата е \(a = \frac{1}{3}\), което е между 0 и 1. Функцията е намаляваща, затова обръщаме знака на неравенството за степенните показатели: \(x < 2\).
Основата е \(a = \frac{1}{3}\), което е между 0 и 1. Функцията е намаляваща, затова обръщаме знака на неравенството за степенните показатели: \(x < 2\).
Решете неравенството \( \log_5(x) < \log_5(10) \).
Основата е \(a=5 > 1\), следователно функцията е растяща и знакът се запазва: \(x < 10\).
От дефиниционната област на логаритъма знаем, че \(x > 0\).
Крайният отговор е \(x \in (0, 10)\).
От дефиниционната област на логаритъма знаем, че \(x > 0\).
Крайният отговор е \(x \in (0, 10)\).
Задачи за упражнение
Лесна: Изчислете стойността на израза \( \log_3 81 - 4^{\frac{1}{2}} \).
\(\log_3 81 = \log_3 (3^4) = 4\)
\(4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)
Следователно изразът е равен на \(4 - 2 = 2\).
\(4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\)
Следователно изразът е равен на \(4 - 2 = 2\).
Средна: Опростете израза \( \frac{\log_5^2 10 - \log_5^2 2}{\log_5 20} \).
Използваме формулата за разлика на квадрати \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) в числителя:
\[ \frac{(\log_5 10 - \log_5 2)(\log_5 10 + \log_5 2)}{\log_5 20} \]
Прилагаме свойствата на логаритмите:
\[ \frac{\log_5\left(\frac{10}{2}\right) \cdot \log_5(10 \cdot 2)}{\log_5 20} = \frac{\log_5 5 \cdot \log_5 20}{\log_5 20} \]
Тъй като \(\log_5 5 = 1\), получаваме:
\[ \frac{1 \cdot \log_5 20}{\log_5 20} = 1 \]
Трудна: Намерете за кои стойности на \(x\) е вярно неравенството \( \log_x 9 < \log_x 4 \).
Трябва да разгледаме два случая за основата \(x\), като спазваме дефиниционното условие \(x > 0, x \neq 1\).
Случай 1: \(x > 1\)
Логаритмичната функция е растяща, следователно запазваме знака на неравенството за аргументите: \(9 < 4\). Това е невярно, следователно в този интервал няма решения.
Случай 2: \(0 < x < 1\)
Логаритмичната функция е намаляваща, следователно обръщаме знака на неравенството: \(9 > 4\). Това е вярно за всяко \(x\) от разглеждания интервал.
Краен отговор: Решението е интервалът от втория случай, т.е. \(x \in (0, 1)\).
Случай 1: \(x > 1\)
Логаритмичната функция е растяща, следователно запазваме знака на неравенството за аргументите: \(9 < 4\). Това е невярно, следователно в този интервал няма решения.
Случай 2: \(0 < x < 1\)
Логаритмичната функция е намаляваща, следователно обръщаме знака на неравенството: \(9 > 4\). Това е вярно за всяко \(x\) от разглеждания интервал.
Краен отговор: Решението е интервалът от втория случай, т.е. \(x \in (0, 1)\).
