Най-важното от урока
- Функцията $y = \sqrt{x}$ е дефинирана за $x \ge 0$, приема неотрицателни стойности и графиката ѝ лежи в първи квадрант.
- Функциите $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^3$ са дефинирани за всяко реално $x$ и графиките им са разположени в първи и трети квадрант, симетрични спрямо началото $(0;0)$.
- И трите разгледани функции са строго растящи.
- Общи точки на графики се намират чрез решаване на уравнението $f(x) = g(x)$.
Монотонно растяща функция: Функция $y = f(x)$, за която при $x_1 < x_2$ е изпълнено $f(x_1) \le f(x_2)$.
Строго растяща функция: Функция, за която при $x_1 < x_2$ е изпълнено строгото неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
От правилата за сравняване на корени и степени следва, че функциите $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = x^3$ са строго растящи в цялото си дефиниционно множество.
| Характеристика | Свойство |
|---|---|
| Дефиниционно множество | $x \in [0; \infty)$ |
| Стойности на функцията | $y \in [0; \infty)$ |
| Пресечни точки с осите | $O(0; 0)$ |
| Монотонност | Строго растяща: $0 \le x_1 < x_2 \iff \sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$ |
За да проверим дали точката $A(64; 8)$ лежи на графиката на $y = \sqrt{x}$, заместваме $x = 64$:
$y_A = \sqrt{64} = 8$. Тъй като получената стойност съвпада с ординатата на точката, $A$ лежи на графиката.
$y_A = \sqrt{64} = 8$. Тъй като получената стойност съвпада с ординатата на точката, $A$ лежи на графиката.
| Характеристика | Свойство |
|---|---|
| Дефиниционно множество | $x \in (-\infty; \infty)$ |
| Стойности на функцията | $y \in (-\infty; \infty)$ |
| Пресечни точки с осите | $O(0; 0)$ |
| Монотонност | Строго растяща: $x_1 < x_2 \iff \sqrt[3]{x_1} < \sqrt[3]{x_2}$ |
| Характеристика | Свойство |
|---|---|
| Дефиниционно множество | $x \in (-\infty; \infty)$ |
| Стойности на функцията | $y \in (-\infty; \infty)$ |
| Пресечни точки с осите | $O(0; 0)$ |
| Монотонност | Строго растяща: $x_1 < x_2 \iff x_1^3 < x_2^3$ |
Абсцисите на общите точки на графиките на две функции $f(x)$ и $g(x)$ се намират, като се реши уравнението:
\[ f(x) = g(x) \]
Когато искаме да разберем за кои стойности на $x$ графиката на $f(x)$ е "над" графиката на $g(x)$, решаваме неравенството $f(x) > g(x)$.
За да намерим пресечната точка на графиката на $f(x) = x^3$ с правата $g(x) = 2$, решаваме уравнението:
$x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{2}$
Общата точка има координати $(\sqrt[3]{2}; 2)$.
$x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{2}$
Общата точка има координати $(\sqrt[3]{2}; 2)$.
Задачи за упражнение
Лесна: Лежи ли точката $B(27; 3)$ на графиката на функцията $y = \sqrt[3]{x}$?
Заместваме абсцисата $x = 27$ във функцията:
\[ y = \sqrt[3]{27} = 3 \]
Получената стойност съвпада с ординатата на точката $B$.
Отговор: Да, точката лежи на графиката.
Отговор: Да, точката лежи на графиката.
Средна: Намерете координатите на пресечните точки на графиките на функциите $f(x) = x^3$ и $g(x) = x$.
Приравняваме двете функции:
\[ x^3 = x \]
\[ x^3 - x = 0 \]
\[ x(x^2 - 1) = 0 \]
\[ x(x - 1)(x + 1) = 0 \]
Корените са $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.
Намираме съответните ординати ($y = x$): $y_1 = 0$, $y_2 = 1$, $y_3 = -1$.
Отговор: Пресечните точки са $(0; 0)$, $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.
Намираме съответните ординати ($y = x$): $y_1 = 0$, $y_2 = 1$, $y_3 = -1$.
Отговор: Пресечните точки са $(0; 0)$, $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.
Трудна: За кои стойности на $x$ графиката на функцията $y = x^2$ се намира под графиката на функцията $y = x^3$?
Търсим за кои $x$ е изпълнено неравенството $x^2 < x^3$.
\[ x^3 - x^2 > 0 \]
\[ x^2(x - 1) > 0 \]
Тъй като $x^2 \ge 0$ за всяко $x$, то неравенството е изпълнено само когато:
\[ x - 1 > 0 \quad \text{и} \quad x \ne 0 \]
\[ x > 1 \]
Отговор: Графиката на $y = x^2$ е под графиката на $y = x^3$ за $x \in (1; \infty)$.
Отговор: Графиката на $y = x^2$ е под графиката на $y = x^3$ за $x \in (1; \infty)$.
