Най-важното от урока
Хистограма: Графика с долепени правоъгълници, идеална за интервални данни. Височината на правоъгълника показва честотата.
Полигон: Графика с начупена линия, която свързва точки с координати `(стойност, честота)`.
Ключово правило: При интервални данни \([a; b)\) за полигона се използва средата на интервала \(x = (a+b)/2\).
Практически съвет: Когато сравнявате две групи с различен брой участници (например 200 мъже и 150 жени), винаги използвайте диаграми на относителните честоти за правилни изводи.
Полигон: Графика с начупена линия, която свързва точки с координати `(стойност, честота)`.
Ключово правило: При интервални данни \([a; b)\) за полигона се използва средата на интервала \(x = (a+b)/2\).
Практически съвет: Когато сравнявате две групи с различен брой участници (например 200 мъже и 150 жени), винаги използвайте диаграми на относителните честоти за правилни изводи.
Хистограмата е графично представяне на честотно разпределение, съставено от долепени един до друг правоъгълници. Използва се основно за данни, групирани в интервали.
По хоризонталната ос се нанасят интервалите, а по вертикалната ос - съответните им честоти (абсолютни или относителни). Височината на всеки правоъгълник е равна на честотата за дадения интервал.
Ако броят на работниците с трудов стаж в интервала [6; 12) години е 24, правоъгълникът за този интервал ще има основа от 6 до 12 и височина 24 (по оста на абсолютните честоти).
В една фирма заплатите в интервала [1000; 1100) лв. се получават от 8 души, а в интервала [1100; 1200) лв. - от 11 души. Кой правоъгълник в хистограмата на абсолютните честоти ще бъде по-висок?
Отговор: Правоъгълникът за интервала [1100; 1200) ще бъде по-висок, защото неговата честота (11) е по-голяма от честотата на другия интервал (8).
Полигонът е графично представяне с начупена линия, която свързва последователно точки. Координатите на всяка точка са `(стойност на признака; честота)`.
Когато данните са групирани в интервали \([a_i; a_{i+1})\), за стойност на признака се използва средата на интервала: \(x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}\).
Ако 7 пациенти са престояли 6 дни в болница, точката в полигона на абсолютните честоти ще има координати (6; 7). Ако 24 работници имат стаж в интервала [6; 12) години, средата е \(x = \frac{6+12}{2}=9\), и точката ще има координати (9; 24).
За интервала от трудов стаж [12; 18) години има 20 работници. Намерете координатите на съответната точка от полигона на абсолютните честоти.
Средата на интервала е \(x = \frac{12+18}{2} = 15\). Честотата е 20.
Отговор: Координатите на точката са (15; 20).
Отговор: Координатите на точката са (15; 20).
Абсолютна честота (\(f_i\)) е реалният брой наблюдения в дадена група.
Относителна честота (\(p_i\)) е делът (пропорцията) на наблюденията от общия брой \(n\). Изчислява се по формулата \(p_i = \frac{f_i}{n}\).
Диаграми с относителни честоти са задължителни, когато сравняваме две или повече извадки с различен обем (общ брой елементи). Те позволяват обективно сравнение на структурата на данните, независимо от разликите в обемите.
Сравняваме резултатите на 200 мъже и 150 жени на изпит.
- Мъже с оценка 6: 22 (\(p_i = \frac{22}{200} = 0.11\))
- Жени с оценка 6: 18 (\(p_i = \frac{18}{150} = 0.12\))
В състезание по математика от училище А участват 40 ученици, от които 10 се класират за следващ кръг. От училище Б участват 60 ученици, от които 12 се класират. Кое училище се е представило по-добре?
Изчисляваме относителните честоти:
Училище А: \(p_A = \frac{10}{40} = 0.25\) (25% успеваемост)
Училище Б: \(p_Б = \frac{12}{60} = 0.20\) (20% успеваемост)
Отговор: Училище А се е представило по-добре.
Училище А: \(p_A = \frac{10}{40} = 0.25\) (25% успеваемост)
Училище Б: \(p_Б = \frac{12}{60} = 0.20\) (20% успеваемост)
Отговор: Училище А се е представило по-добре.
Задачи за упражнение
Лесна: Дадена е следната честотна таблица за оценките на клас:
\[
\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Оценка} & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\text{Брой ученици} & 4 & 10 & 7 & 3 \\
\hline
\end{array}
\]
Какви са координатите на точката, съответстваща на оценка "Добър 4" в полигона на абсолютните честоти?
Отговор: Стойността на признака е 4, а абсолютната честота е 10. Координатите са (4; 10).
Средна: Броят на работниците в един цех според трудовия им стаж е даден в таблицата.
\[
\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Стаж (години)} & [0; 6) & [6; 12) & [12; 18) \\
\hline
\text{Брой работници} & 16 & 24 & 20 \\
\hline
\end{array}
\]
Общият брой работници е 80. Намерете координатите на точката за интервала [6; 12) в полигона на относителните честоти.
1. Намираме средата на интервала: \(x = \frac{6+12}{2} = 9\).
2. Намираме относителната честота: \(p = \frac{24}{80} = 0.30\).
Отговор: Координатите на точката са (9; 0.30).
2. Намираме относителната честота: \(p = \frac{24}{80} = 0.30\).
Отговор: Координатите на точката са (9; 0.30).
Трудна: Дадени са данните за теглото (в kg) на 12 спортисти: 71, 82, 75, 91, 88, 79, 94, 85, 77, 81, 92, 86. Групирайте данните в интервали [70; 80), [80; 90), [90; 100]. Кой правоъгълник от хистограмата на абсолютните честоти ще бъде най-висок?
1. Преброяваме данните по интервали:
Отговор: Най-висок ще бъде правоъгълникът за интервала [80; 90).
- [70; 80): 71, 75, 79, 77 (4 спортисти)
- [80; 90): 82, 88, 85, 81, 86 (5 спортисти)
- [90; 100]: 91, 94, 92 (3 спортисти)
Отговор: Най-висок ще бъде правоъгълникът за интервала [80; 90).
