Най-важното от урока
За негрупирани данни (списък от числа): събираш всички числа и делиш на броя им.
Пример: За 2, 3, 7 \(\rightarrow\) \(\bar{x} = (2+3+7)/3 = 4\).
За групирани данни (таблица с честоти): умножаваш всяка стойност по честотата ѝ, събираш произведенията и делиш на общия брой (сумата от честотите).
За данни в интервали: първо намираш средата на всеки интервал (\(\frac{\text{начало}+\text{край}}{2}\)) и след това я използваш като стойност в претеглената формула.
Пример: За 2, 3, 7 \(\rightarrow\) \(\bar{x} = (2+3+7)/3 = 4\).
За групирани данни (таблица с честоти): умножаваш всяка стойност по честотата ѝ, събираш произведенията и делиш на общия брой (сумата от честотите).
За данни в интервали: първо намираш средата на всеки интервал (\(\frac{\text{начало}+\text{край}}{2}\)) и след това я използваш като стойност в претеглената формула.
Използва се за намиране на средна стойност на малък брой негрупирани данни. Получава се, като се съберат всички стойности и сборът се раздели на техния брой.
\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]
където \(x_1, x_2, \dots\) са стойностите, а \(n\) е техният брой.
Намерете средната аритметична стойност на числата: 5, 6, 7, 7, 8, 9.
\[ \bar{x} = \frac{5+6+7+7+8+9}{6} = \frac{42}{6} = 7 \]
Ученик има следните оценки по математика: 5, 6, 5, 6. Каква е средната му оценка?
Отговор: \( \bar{x} = \frac{5+6+5+6}{4} = \frac{22}{4} = 5.50 \)
Използва се, когато данните са групирани по честота (т.нар. вариационен ред). Всяка стойност се "претегля" със своята честота (колко пъти се среща).
\[ \bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_k f_k}{f_1 + f_2 + \dots + f_k} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i} \]
където \(x_i\) е стойността, а \(f_i\) е нейната честота.
Намерете средната стойност за данните от таблицата:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Стойност } (x_i) & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\hline
\text{Честота } (f_i) & 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \\
\hline
\end{array}
\]
\[ \bar{x} = \frac{4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 7 \cdot 3 + 8 \cdot 2}{2+3+4+3+2} = \frac{8+15+24+21+16}{14} = \frac{84}{14} = 6 \]
В една кутия има топчета със следното тегло: 3 топчета по 10 г и 2 топчета по 15 г. Намерете средното тегло на едно топче.
Отговор: \( \bar{x} = \frac{10 \cdot 3 + 15 \cdot 2}{3+2} = \frac{30+30}{5} = \frac{60}{5} = 12 \) грама.
Когато данните са групирани в интервали, се използва претеглената формула, като за стойност \(x_i\) се взима средата на съответния интервал.
Средата на интервал \([a; b)\) се намира по формулата: \(x_i = \frac{a + b}{2}\).
Намерете средната стойност за данните от таблицата:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & [11;15) & [15;19) & [19;23) \\
\hline
\text{Честота } (f_i) & 2 & 6 & 7 \\
\hline
\end{array}
\]
Първо намираме средите на интервалите:
\(x_1 = \frac{11+15}{2} = 13\); \(x_2 = \frac{15+19}{2} = 17\); \(x_3 = \frac{19+23}{2} = 21\)
След това прилагаме претеглената формула: \[ \bar{x} = \frac{13 \cdot 2 + 17 \cdot 6 + 21 \cdot 7}{2+6+7} = \frac{26+102+147}{15} = \frac{275}{15} \approx 18.33 \]
\(x_1 = \frac{11+15}{2} = 13\); \(x_2 = \frac{15+19}{2} = 17\); \(x_3 = \frac{19+23}{2} = 21\)
След това прилагаме претеглената формула: \[ \bar{x} = \frac{13 \cdot 2 + 17 \cdot 6 + 21 \cdot 7}{2+6+7} = \frac{26+102+147}{15} = \frac{275}{15} \approx 18.33 \]
Ръстът на група ученици е даден в таблица. Намерете средния им ръст.
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Ръст (см)} & [150;160) & [160;170) \\
\hline
\text{Брой ученици} & 4 & 6 \\
\hline
\end{array}
\]
Среди на интервалите: \(x_1 = \frac{150+160}{2} = 155\); \(x_2 = \frac{160+170}{2} = 165\).
\( \bar{x} = \frac{155 \cdot 4 + 165 \cdot 6}{4+6} = \frac{620+990}{10} = \frac{1610}{10} = 161 \) см.
\( \bar{x} = \frac{155 \cdot 4 + 165 \cdot 6}{4+6} = \frac{620+990}{10} = \frac{1610}{10} = 161 \) см.
Задачи за упражнение
Лесна: Иван получил следните оценки по един предмет: 6, 5, 6, 4, 5. Намерете средния му успех.
Използваме непретеглена формула:
\[ \bar{x} = \frac{6+5+6+4+5}{5} = \frac{26}{5} = 5.20 \]
Отговор: Средният успех на Иван е 5.20.
Средна: Проведено е проучване за броя на книгите, прочетени от ученици за 1 месец. Резултатите са в таблицата. Намерете средния брой прочетени книги.
\[
\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Брой книги } (x_i) & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{Брой ученици } (f_i) & 3 & 8 & 7 & 2 \\
\hline
\end{array}
\]
Използваме претеглена формула. Общият брой ученици е \(3+8+7+2 = 20\).
\[ \bar{x} = \frac{0 \cdot 3 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 2}{20} = \frac{0+8+14+6}{20} = \frac{28}{20} = 1.4 \]
Отговор: Средно са прочетени по 1.4 книги на ученик.
Трудна: Измерена е скоростта на 20 автомобила на даден участък. Данните са групирани в интервали. Намерете средната скорост.
\[
\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Скорост (км/ч)} & [50; 60) & [60; 70) & [70; 80) \\
\hline
\text{Брой автомобили} & 5 & 12 & 3 \\
\hline
\end{array}
\]
Първо намираме средите на интервалите:
\(x_1 = \frac{50+60}{2} = 55\); \(x_2 = \frac{60+70}{2} = 65\); \(x_3 = \frac{70+80}{2} = 75\)
След това прилагаме претеглената формула. Общият брой автомобили е \(5+12+3 = 20\). \[ \bar{x} = \frac{55 \cdot 5 + 65 \cdot 12 + 75 \cdot 3}{20} = \frac{275+780+225}{20} = \frac{1280}{20} = 64 \] Отговор: Средната скорост на автомобилите е 64 км/ч.
\(x_1 = \frac{50+60}{2} = 55\); \(x_2 = \frac{60+70}{2} = 65\); \(x_3 = \frac{70+80}{2} = 75\)
След това прилагаме претеглената формула. Общият брой автомобили е \(5+12+3 = 20\). \[ \bar{x} = \frac{55 \cdot 5 + 65 \cdot 12 + 75 \cdot 3}{20} = \frac{275+780+225}{20} = \frac{1280}{20} = 64 \] Отговор: Средната скорост на автомобилите е 64 км/ч.
