Най-важното от урока
Статистика
Таблицата на честотите организира данните, като показва колко пъти се среща всяка отделна стойност на признака.
Абсолютна честота (\(f_i\)): Броят пъти, които една стойност се повтаря.
Относителна честота (\(p_i\)): Делът на всяка стойност от общия брой наблюдения. Изчислява се като \(p_i = \frac{f_i}{n}\), където \(n\) е общият брой наблюдения.
Натрупана (кумулативна) честота (\(C_i\) или \(C_i^P\)): Сборът от честотите на текущата и всички предходни групи.
В анкета за брой стаи (общо 80 отговора), 32 семейства са посочили 3 стаи.
- Абсолютна честота за "3 стаи": \(f_i = 32\).
- Относителна честота за "3 стаи": \(p_i = \frac{32}{80} = 0.4\) (или 40%).
Графичното представяне на честотите за негрупирани данни става с полигон на честотите (начупена линия, свързваща точките \((x_i; f_i)\)) и кумула (начупена линия, свързваща точките \((x_i; C_i)\)).
При хвърляне на зар 10 пъти са се паднали числата: 1, 6, 4, 3, 6, 2, 5, 6, 4, 3. Каква е абсолютната и относителната честота на числото 6?
Числото 6 се среща 3 пъти. Общият брой хвърляния е 10.
Абсолютна честота: \(f = 3\).
Относителна честота: \(p = \frac{3}{10} = 0.3\).
Абсолютна честота: \(f = 3\).
Относителна честота: \(p = \frac{3}{10} = 0.3\).
Когато данните са многобройни и с голям диапазон (напр. месечен разход), те се групират в интервали с еднаква ширина. Всички изчисления след това се правят със средите на интервалите.
Определя се обхватът на данните (\(x_{max} - x_{min}\)).
Определя се брой на групите (\(k\)).
Изчислява се ширината на интервала: \(h = \frac{x_{max} - x_{min}}{k}\).
Дефинират се интервалите и се преброяват наблюденията във всеки.
За месечни разходи от 15 лв. до 63 лв., данните са групирани в 8 интервала с ширина \(h = \frac{63-15}{8} = 6\) лв. Първият интервал е \([15; 21)\), неговата среда е \(x_1 = \frac{15+21}{2} = 18\). Ако в този интервал попадат 3 стойности, абсолютната му честота е \(f_1 = 3\).
Графичното представяне на групирани данни става с хистограма (стълбчета за всеки интервал) и полигон (свързване на средите на горните основи на стълбчетата).
Дадени са височините на група ученици в см: 162, 175, 168, 181, 171. Ако първият интервал за групиране е [160; 170), колко ученици попадат в него?
В интервала [160; 170) попадат стойностите 162 и 168.
Отговор: 2 ученици.
Отговор: 2 ученици.
Това са стойности, които обобщават данните и описват тяхното разпределение.
Средна аритметична стойност (\(\bar{x}\)): Показва "центъра" на данните.
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k x_i f_i \]
(\(x_i\) е стойността или средата на интервала, \(f_i\) е честотата, \(n\) е общият брой)
Дисперсия (\(\sigma^2\)) и Стандартно отклонение (\(\sigma\)): Показват степента на разсейване (разпръснатост) на данните около средната стойност.
\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k (x_i - \bar{x})^2 f_i \quad \text{и} \quad \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
За данните за брой стаи е изчислена средна аритметична стойност \(\bar{x} = 3\) стаи. Стандартното отклонение е \(\sigma \approx 0.97\) стаи, което показва как средно отговорите се отклоняват от средната стойност 3.
Намерете средната аритметична стойност на данните: 5, 8, 8.
\(\bar{x} = \frac{5 \cdot 1 + 8 \cdot 2}{3} = \frac{5+16}{3} = \frac{21}{3} = 7\).
Отговор: \(\bar{x} = 7\).
Отговор: \(\bar{x} = 7\).
Доверителният интервал дава диапазон от стойности, в който с определена вероятност (напр. 95% или 98%) се намира истинският относителен дял (\(\pi\)) на признака в цялата генерална съвкупност (напр. всички купувачи в страната), на базата на данни от извадка.
\[ p - \Delta_p \le \pi \le p + \Delta_p \]
където \(p = \frac{f}{n}\) е относителният дял в извадката, а \(\Delta_p = z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\) е максималната допустима грешка. Множителят \(z\) зависи от избраната доверителна вероятност (напр. за 95% вероятност \(z=1.96\)).
От 80 анкетирани, 64 искат топлофицирано жилище (\(p=0.8\)). С 95% сигурност (\(z=1.96\)), е изчислен доверителен интервал \([0.713; 0.887]\).
Извод: Можем да твърдим с 95% сигурност, че истинският дял на всички потенциални купувачи, които искат топлофикация, е между 71.3% и 88.7%.
Извод: Можем да твърдим с 95% сигурност, че истинският дял на всички потенциални купувачи, които искат топлофикация, е между 71.3% и 88.7%.
В извадка от 100 души, 36 използват услугите и на друг оператор. Каква е точковата оценка (\(p\)) на относителния дял?
Точковата оценка е относителният дял в извадката.
\(p = \frac{36}{100} = 0.36\).
Отговор: \(p=0.36\) (или 36%).
\(p = \frac{36}{100} = 0.36\).
Отговор: \(p=0.36\) (или 36%).
Задачи за упражнение
Лесна: Дадени са следните оценки на 10 ученици: 5, 4, 6, 5, 5, 3, 4, 5, 6, 2. Каква е абсолютната честота на оценка "5"?
Преброяваме колко пъти се среща оценката "5". Тя се среща 4 пъти.
Отговор: Абсолютната честота е 4.
Отговор: Абсолютната честота е 4.
Средна: Намерете средния успех от оценките в предходната задача (5, 4, 6, 5, 5, 3, 4, 5, 6, 2).
Събираме всички оценки и делим на техния брой:
\[ \bar{x} = \frac{5+4+6+5+5+3+4+5+6+2}{10} = \frac{45}{10} = 4.50 \]
Отговор: Средният успех е 4.50.
Трудна: При проучване на 400 избиратели, 220 от тях заявяват, че ще гласуват за партия "А". Постройте 95% доверителен интервал за относителния дял на избирателите, които ще подкрепят партия "А". (Използвайте \(z=1.96\)).
1. Намираме точковата оценка: \(p = \frac{220}{400} = 0.55\).
2. Изчисляваме максималната допустима грешка: \[ \Delta_p = z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.55(1-0.55)}{400}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.55 \cdot 0.45}{400}} \approx 1.96 \cdot 0.0247 \approx 0.0485 \] 3. Построяваме интервала: \[ p \pm \Delta_p \Rightarrow 0.55 \pm 0.0485 \] Долна граница: \(0.55 - 0.0485 = 0.5015\)
Горна граница: \(0.55 + 0.0485 = 0.5985\)
Отговор: С 95% сигурност можем да твърдим, че между 50.15% и 59.85% от всички избиратели подкрепят партия "А".
2. Изчисляваме максималната допустима грешка: \[ \Delta_p = z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.55(1-0.55)}{400}} = 1.96 \sqrt{\frac{0.55 \cdot 0.45}{400}} \approx 1.96 \cdot 0.0247 \approx 0.0485 \] 3. Построяваме интервала: \[ p \pm \Delta_p \Rightarrow 0.55 \pm 0.0485 \] Долна граница: \(0.55 - 0.0485 = 0.5015\)
Горна граница: \(0.55 + 0.0485 = 0.5985\)
Отговор: С 95% сигурност можем да твърдим, че между 50.15% и 59.85% от всички избиратели подкрепят партия "А".
Уравнения
Уравнение от вида \( |f(x)| = m \), където \( m \ge 0 \), се разлага на две отделни уравнения: \( f(x) = m \) или \( f(x) = -m \). Ако \(m < 0\), уравнението няма решение.
Решение на \( |2^{x+1} - 5| = 3 \):
Разглеждаме два случая:
Разглеждаме два случая:
- \( 2^{x+1} - 5 = 3 \implies 2^{x+1} = 8 \implies 2^{x+1} = 2^3 \implies x+1 = 3 \implies x = 2 \)
- \( 2^{x+1} - 5 = -3 \implies 2^{x+1} = 2 \implies 2^{x+1} = 2^1 \implies x+1 = 1 \implies x = 0 \)
Решете уравнението \( |3x - 1| = 8 \).
1. \( 3x - 1 = 8 \implies 3x = 9 \implies x = 3 \)
2. \( 3x - 1 = -8 \implies 3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3} \)
Отговор: \(x_1=3, x_2=-\frac{7}{3}\)
2. \( 3x - 1 = -8 \implies 3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3} \)
Отговор: \(x_1=3, x_2=-\frac{7}{3}\)
Основната стратегия е двете страни на уравнението да се представят като степени с еднакви основи. От \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) следва \( f(x) = g(x) \), при \(a>0, a \ne 1\). Често се налага и решаване чрез полагане.
Решение на \( 2^{x^2 - 4} = 8 \):
Представяме дясната страна като степен на 2: \( 8 = 2^3 \). \[ 2^{x^2 - 4} = 2^3 \] Приравняваме степенните показатели: \[ x^2 - 4 = 3 \implies x^2 = 7 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{7} \]
Представяме дясната страна като степен на 2: \( 8 = 2^3 \). \[ 2^{x^2 - 4} = 2^3 \] Приравняваме степенните показатели: \[ x^2 - 4 = 3 \implies x^2 = 7 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{7} \]
Решете уравнението \( 5^{2x-3} = 25 \).
\( 5^{2x-3} = 5^2 \)
\( 2x-3 = 2 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} \)
\( 2x-3 = 2 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} \)
Уравнение от вида \( \log_a f(x) = b \) се решава чрез "антилогаритмуване": \( f(x) = a^b \). Задължително се определя дефиниционното множество (Д.С.) – аргументът на логаритъма трябва да е положително число!
Решение на \( \log_3 |2x - 1| = 2 \):
Прилагаме дефиницията на логаритъм: \[ |2x - 1| = 3^2 \implies |2x - 1| = 9 \] Това е модулно уравнение, което се разпада на две:
Прилагаме дефиницията на логаритъм: \[ |2x - 1| = 3^2 \implies |2x - 1| = 9 \] Това е модулно уравнение, което се разпада на две:
- \( 2x - 1 = 9 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \)
- \( 2x - 1 = -9 \implies 2x = -8 \implies x = -4 \)
Решете уравнението \( \log_2 (x+3) = 4 \).
Д.С.: \( x+3 > 0 \implies x > -3 \).
От уравнението: \( x+3 = 2^4 \implies x+3 = 16 \implies x = 13 \).
Тъй като \(13 > -3\), решението е валидно.
От уравнението: \( x+3 = 2^4 \implies x+3 = 16 \implies x = 13 \).
Тъй като \(13 > -3\), решението е валидно.
Решават се, като се намери един ъгъл \(\alpha\), който е решение, и след това се използват формулите за всички решения, отчитайки периодичността на съответната функция (\(k \in \mathbb{Z}\)).
\( \sin x = a \implies x = \alpha + 2k\pi \) и \( x = \pi - \alpha + 2k\pi \)
\( \cos x = a \implies x = \pm \alpha + 2k\pi \)
\( \operatorname{tg} x = a \implies x = \alpha + k\pi \)
\( \operatorname{cotg} x = a \implies x = \alpha + k\pi \)
Решение на \( \cos 3x = \frac{1}{2} \):
Основният ъгъл \(\alpha\), за който \(\cos \alpha = \frac{1}{2}\), е \( \alpha = \frac{\pi}{3} \).
Прилагаме формулата за косинус: \[ 3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] Изразяваме \(x\): \[ x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} \]
Основният ъгъл \(\alpha\), за който \(\cos \alpha = \frac{1}{2}\), е \( \alpha = \frac{\pi}{3} \).
Прилагаме формулата за косинус: \[ 3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] Изразяваме \(x\): \[ x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} \]
Решете уравнението \( \sin(2x) = 1 \).
Основният ъгъл \(\alpha\), за който \(\sin\alpha=1\), е \(\alpha = \frac{\pi}{2}\).
Общото решение е: \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \).
Изразяваме \(x\): \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \).
Общото решение е: \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \).
Изразяваме \(x\): \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете показателното уравнение \( 7^{x-2} = 1 \).
Представяме 1 като степен на 7: \(1=7^0\).
\( 7^{x-2} = 7^0 \implies x-2 = 0 \implies x=2 \).
\( 7^{x-2} = 7^0 \implies x-2 = 0 \implies x=2 \).
Средна: Решете уравнението \( \log_6(x^2 - 5x) = 1 \).
Д.С.: \( x^2 - 5x > 0 \implies x(x-5) > 0 \implies x \in (-\infty, 0) \cup (5, \infty) \).
От уравнението: \( x^2 - 5x = 6^1 \implies x^2 - 5x - 6 = 0 \).
Корените на квадратното уравнение са \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -1\).
Проверяваме с Д.С.: \(6 \in (5, \infty)\) е решение, \(-1 \in (-\infty, 0)\) е решение.
Отговор: \(x_1=6, x_2=-1\).
От уравнението: \( x^2 - 5x = 6^1 \implies x^2 - 5x - 6 = 0 \).
Корените на квадратното уравнение са \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -1\).
Проверяваме с Д.С.: \(6 \in (5, \infty)\) е решение, \(-1 \in (-\infty, 0)\) е решение.
Отговор: \(x_1=6, x_2=-1\).
Трудна: Решете уравнението \( 4^{\cos x} - 5 \cdot 2^{\cos x} + 4 = 0 \).
Уравнението може да се запише като \( (2^{\cos x})^2 - 5 \cdot 2^{\cos x} + 4 = 0 \).
Полагаме \( u = 2^{\cos x} \). Тъй като \(-1 \le \cos x \le 1\), то \(2^{-1} \le u \le 2^1\), т.е. \( u \in [\frac{1}{2}, 2] \).
Получаваме квадратното уравнение: \( u^2 - 5u + 4 = 0 \).
Корените му са \(u_1 = 4\) и \(u_2 = 1\).
Проверяваме с дефиниционното множество на \(u\): \(u_1=4\) не е решение, защото \(4 \notin [\frac{1}{2}, 2]\). \(u_2=1\) е решение.
Връщаме се към полагането: \[ 2^{\cos x} = 1 \implies 2^{\cos x} = 2^0 \implies \cos x = 0 \] Решенията на това тригонометрично уравнение са: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \]
Полагаме \( u = 2^{\cos x} \). Тъй като \(-1 \le \cos x \le 1\), то \(2^{-1} \le u \le 2^1\), т.е. \( u \in [\frac{1}{2}, 2] \).
Получаваме квадратното уравнение: \( u^2 - 5u + 4 = 0 \).
Корените му са \(u_1 = 4\) и \(u_2 = 1\).
Проверяваме с дефиниционното множество на \(u\): \(u_1=4\) не е решение, защото \(4 \notin [\frac{1}{2}, 2]\). \(u_2=1\) е решение.
Връщаме се към полагането: \[ 2^{\cos x} = 1 \implies 2^{\cos x} = 2^0 \implies \cos x = 0 \] Решенията на това тригонометрично уравнение са: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \]
Неравенства
При \(m>0\), неравенствата с модул се решават по следните правила:
- \( |f(x)| < m \iff -m < f(x) < m \)
- \( |f(x)| > m \iff f(x) < -m \text{ или } f(x) > m \)
Ако неравенството е нестрого (\(\le\) или \(\ge\)), еквивалентните му неравенства също са нестроги.
Да решим \( |x - 3| < 5 \):
\[ -5 < x - 3 < 5 \]
Събираме 3 към всяка страна:
\[ -5 + 3 < x < 5 + 3 \]
\[ -2 < x < 8 \implies x \in (-2, 8) \]
Решете неравенството \( |2x + 1| \ge 7 \).
Прилагаме второто правило:
\( 2x + 1 \le -7 \) или \( 2x + 1 \ge 7 \)
\( 2x \le -8 \implies x \le -4 \)
\( 2x \ge 6 \implies x \ge 3 \)
Отговор: \( x \in (-\infty, -4] \cup [3, \infty) \)
\( 2x + 1 \le -7 \) или \( 2x + 1 \ge 7 \)
\( 2x \le -8 \implies x \le -4 \)
\( 2x \ge 6 \implies x \ge 3 \)
Отговор: \( x \in (-\infty, -4] \cup [3, \infty) \)
Неравенство от вида \( \sqrt{f(x)} < g(x) \) е еквивалентно на системата:
\[ \begin{cases} f(x) \ge 0 & \text{(подкоренната величина е неотрицателна)} \\ g(x) > 0 & \text{(дясната страна трябва да е положителна)} \\ f(x) < (g(x))^2 & \text{(повдигаме на квадрат)} \end{cases} \]
Неравенство от вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \) е еквивалентно на обединението на две системи:
\[ \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \]
Да решим \( \sqrt{x+2} < 3 \).
\[ \begin{cases} x+2 \ge 0 \implies x \ge -2 \\ 3 > 0 \text{ (вярно е)} \\ x+2 < 3^2 \implies x+2 < 9 \implies x < 7 \end{cases} \]
Сечението на решенията е \( x \in [-2, 7) \).
Решете неравенството \( \sqrt{2x-1} \ge 3 \).
Тъй като \( g(x) = 3 \ge 0 \), решаваме само втората система:
\[ \begin{cases} 2x-1 \ge 0 & \text{(от ДС)} \\ 2x-1 \ge 3^2 \end{cases} \iff 2x-1 \ge 9 \iff 2x \ge 10 \iff x \ge 5 \]
Отговор: \( x \in [5, \infty) \)
Неравенство от вида \( a^{f(x)} < a^{g(x)} \) се решава така:
- Ако основата \( a > 1 \), знакът на неравенството се запазва: \( f(x) < g(x) \).
- Ако основата \( 0 < a < 1 \), знакът на неравенството се обръща: \( f(x) > g(x) \).
Да решим \( (0.5)^{x-1} > (0.5)^2 \).
Основата \( a=0.5 \) е между 0 и 1, затова обръщаме знака: \[ x-1 < 2 \implies x < 3 \implies x \in (-\infty, 3) \]
Основата \( a=0.5 \) е между 0 и 1, затова обръщаме знака: \[ x-1 < 2 \implies x < 3 \implies x \in (-\infty, 3) \]
Решете неравенството \( 5^{2x} \le 125 \).
Представяме дясната страна като степен на 5: \( 125 = 5^3 \).
\[ 5^{2x} \le 5^3 \]
Основата \( a=5 > 1 \), затова запазваме знака:
\[ 2x \le 3 \implies x \le 1.5 \]
Отговор: \( x \in (-\infty, 1.5] \)
Първата стъпка винаги е намиране на дефиниционно множество (ДС) – аргументите на логаритмите трябва да са положителни!
Неравенство от вида \( \log_a f(x) < \log_a g(x) \) се решава така:
- Ако основата \( a > 1 \), знакът се запазва: \( f(x) < g(x) \).
- Ако основата \( 0 < a < 1 \), знакът се обръща: \( f(x) > g(x) \).
Да решим \( \log_3(x-1) < 2 \).
1. ДС: \( x-1 > 0 \implies x > 1 \).
2. Решаваме неравенството: \[ \log_3(x-1) < \log_3(3^2) \implies \log_3(x-1) < \log_3(9) \] Основата \( a=3 > 1 \), запазваме знака: \[ x-1 < 9 \implies x < 10 \] 3. Сечение на ДС и решението: \( x \in (1, 10) \).
1. ДС: \( x-1 > 0 \implies x > 1 \).
2. Решаваме неравенството: \[ \log_3(x-1) < \log_3(3^2) \implies \log_3(x-1) < \log_3(9) \] Основата \( a=3 > 1 \), запазваме знака: \[ x-1 < 9 \implies x < 10 \] 3. Сечение на ДС и решението: \( x \in (1, 10) \).
Решете неравенството \( \log_{1/2}(x) \ge -3 \).
1. ДС: \( x > 0 \).
2. Решаваме: \( \log_{1/2}(x) \ge \log_{1/2}((1/2)^{-3}) \implies \log_{1/2}(x) \ge \log_{1/2}(8) \).
Основата \( a=1/2 < 1 \), обръщаме знака: \[ x \le 8 \] 3. Сечение на ДС и решението: \( x \in (0, 8] \).
2. Решаваме: \( \log_{1/2}(x) \ge \log_{1/2}((1/2)^{-3}) \implies \log_{1/2}(x) \ge \log_{1/2}(8) \).
Основата \( a=1/2 < 1 \), обръщаме знака: \[ x \le 8 \] 3. Сечение на ДС и решението: \( x \in (0, 8] \).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете показателното неравенство \( 7^{x^2-3x-2} \le 49 \).
\[ 7^{x^2-3x-2} \le 7^2 \]
Основата е \(7 > 1\), следователно запазваме знака:
\[ x^2 - 3x - 2 \le 2 \]
\[ x^2 - 3x - 4 \le 0 \]
Корените на \(x^2 - 3x - 4 = 0\) са \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 4\).
Параболата е обърната нагоре, следователно неравенството е изпълнено между корените.
Отговор: \( x \in [-1, 4] \)
Отговор: \( x \in [-1, 4] \)
Средна: Решете ирационалното неравенство \( \sqrt{x^2-8x} > 3 \).
Дясната страна \( g(x) = 3 \) е положителна. Трябва да са изпълнени:
\[ \begin{cases} x^2 - 8x \ge 0 & \text{(ДС)} \\ x^2 - 8x > 3^2 & \text{(повдигаме на квадрат)} \end{cases} \]
Второто неравенство \( x^2 - 8x - 9 > 0 \) е по-силно от първото, затова решаваме само него.
Корените на \(x^2 - 8x - 9 = 0\) са \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 9\).
Неравенството е изпълнено извън корените.
Отговор: \( x \in (-\infty, -1) \cup (9, \infty) \)
Отговор: \( x \in (-\infty, -1) \cup (9, \infty) \)
Трудна: Решете неравенството \( 4^x - 5 \cdot 2^x + 6 \le 0 \). (Забележка: \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\))
Неравенството е \( (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 6 \le 0 \).
1. Полагаме \( t = 2^x \). Тъй като \(2^x\) е винаги положително, то \(t > 0\).
Получаваме квадратното неравенство: \( t^2 - 5t + 6 \le 0 \).
2. Корените на \(t^2 - 5t + 6 = 0\) са \(t_1 = 2\) и \(t_2 = 3\). Неравенството е изпълнено за \( t \in [2, 3] \).
3. Връщаме се към \(x\): \[ 2 \le t \le 3 \implies 2 \le 2^x \le 3 \] Разделяме го на две неравенства:
Отговор: \( x \in [1, \log_2 3] \)
1. Полагаме \( t = 2^x \). Тъй като \(2^x\) е винаги положително, то \(t > 0\).
Получаваме квадратното неравенство: \( t^2 - 5t + 6 \le 0 \).
2. Корените на \(t^2 - 5t + 6 = 0\) са \(t_1 = 2\) и \(t_2 = 3\). Неравенството е изпълнено за \( t \in [2, 3] \).
3. Връщаме се към \(x\): \[ 2 \le t \le 3 \implies 2 \le 2^x \le 3 \] Разделяме го на две неравенства:
- \( 2^x \ge 2^1 \implies x \ge 1 \)
- \( 2^x \le 3 \implies \log_2(2^x) \le \log_2(3) \implies x \le \log_2 3 \)
Отговор: \( x \in [1, \log_2 3] \)
Екстремални Задачи
Екстремална (най-голяма или най-малка) стойност на квадратна функция \(f(x) = ax^2 + bx + c\) се достига във върха на параболата, който има абсциса \(x_v = -\frac{b}{2a}\).
- Ако \(a > 0\), параболата е обърната нагоре (\(\cup\)) и функцията има най-малка стойност (НМС) при \(x = x_v\).
- Ако \(a < 0\), параболата е обърната надолу (\(\cap\)) и функцията има най-голяма стойност (НГС) при \(x = x_v\).
Да се представи числото 13 като сбор на три положителни събираеми \(x, 3x\) и \(13-4x\), така че сборът от квадратите им да е най-малък.
Търсим НМС на функцията \(f(x) = x^2 + (3x)^2 + (13-4x)^2 = 26x^2 - 104x + 169\).
Тъй като \(a=26 > 0\), имаме НМС във върха: \(x_v = -\frac{-104}{2 \cdot 26} = 2\).
Числата са 2, 6, 5.
Търсим НМС на функцията \(f(x) = x^2 + (3x)^2 + (13-4x)^2 = 26x^2 - 104x + 169\).
Тъй като \(a=26 > 0\), имаме НМС във върха: \(x_v = -\frac{-104}{2 \cdot 26} = 2\).
Числата са 2, 6, 5.
Намерете най-малката стойност на функцията \(f(x) = 2x^2 - 12x + 25\).
Коефициентът \(a=2>0\), следователно функцията има НМС.
\(x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = 3\).
НМС = \(f(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 25 = 18 - 36 + 25 = 7\).
\(x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = 3\).
НМС = \(f(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 25 = 18 - 36 + 25 = 7\).
Ако сумата на краен брой неотрицателни числа е константа (\(a_1 + a_2 + \dots + a_n = k\)), то тяхното произведение \(P = a_1 a_2 \dots a_n\) е най-голямо, когато числата са равни: \(a_1 = a_2 = \dots = a_n = \frac{k}{n}\).
\[ \text{НГС на } P = \left(\frac{k}{n}\right)^n \]
За да намерим НГС на \(f(x) = (1+2x)^4(6-8x)\), разглеждаме 5-те множителя \(a_1=a_2=a_3=a_4=1+2x\) и \(a_5=6-8x\).
Тяхната сума е \(4(1+2x) + (6-8x) = 4+8x+6-8x = 10 = \text{const}\).
Произведението е най-голямо, когато множителите са равни: \(1+2x = 6-8x \Rightarrow x=1/2\).
НГС = \(f(1/2) = (1+1)^4(6-4) = 2^4 \cdot 2 = 32\). (Грешката в условието е коригирана).
Тяхната сума е \(4(1+2x) + (6-8x) = 4+8x+6-8x = 10 = \text{const}\).
Произведението е най-голямо, когато множителите са равни: \(1+2x = 6-8x \Rightarrow x=1/2\).
НГС = \(f(1/2) = (1+1)^4(6-4) = 2^4 \cdot 2 = 32\). (Грешката в условието е коригирана).
Правоъгълник има периметър 40 cm. Намерете страните му, така че лицето му да е максимално.
Нека страните са \(a\) и \(b\). \(2(a+b)=40 \Rightarrow a+b=20=\text{const}\).
Търсим НГС на лицето \(S = a \cdot b\).
Произведението е най-голямо, когато \(a=b\). От \(a+b=20\) следва \(a=b=10\) cm.
Правоъгълникът е квадрат със страна 10 cm.
Търсим НГС на лицето \(S = a \cdot b\).
Произведението е най-голямо, когато \(a=b\). От \(a+b=20\) следва \(a=b=10\) cm.
Правоъгълникът е квадрат със страна 10 cm.
Ако произведението на краен брой неотрицателни числа е константа (\(a_1 a_2 \dots a_n = k\)), то техният сбор \(S = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) е най-малък, когато числата са равни: \(a_1 = a_2 = \dots = a_n = \sqrt[n]{k}\).
\[ \text{НМС на } S = n \sqrt[n]{k} \]
Да се намери НМС на \(f(x) = 9^{x+4} + \frac{1}{3^{2x+4}}\).
Представяме \(f(x) = 3^{2x+8} + 3^{-2x-4}\).
Произведението на двете събираеми е \(3^{2x+8} \cdot 3^{-2x-4} = 3^4 = 81 = \text{const}\).
Сборът е най-малък, когато събираемите са равни.
НМС = \(2\sqrt{81} = 2 \cdot 9 = 18\).
Представяме \(f(x) = 3^{2x+8} + 3^{-2x-4}\).
Произведението на двете събираеми е \(3^{2x+8} \cdot 3^{-2x-4} = 3^4 = 81 = \text{const}\).
Сборът е най-малък, когато събираемите са равни.
НМС = \(2\sqrt{81} = 2 \cdot 9 = 18\).
Намерете най-малката стойност на сбора на две положителни числа, чието произведение е 100.
Нека числата са \(a\) и \(b\), \(a \cdot b = 100\).
Сборът \(a+b\) е най-малък, когато \(a=b\).
\(a^2=100 \Rightarrow a = 10\). Числата са 10 и 10.
НМС на сбора е \(10+10=20\).
Сборът \(a+b\) е най-малък, когато \(a=b\).
\(a^2=100 \Rightarrow a = 10\). Числата са 10 и 10.
НМС на сбора е \(10+10=20\).
За намиране на екстремуми на съставна функция \(F(x) = f(g(x))\) в затворен интервал се използва монотонността на функциите \(f\) и \(g\).
- Ако \(f\) е растяща, то НМС/НГС на \(F(x)\) се достига там, където \(g(x)\) достига своята НМС/НГС.
- Ако \(f\) е намаляваща, екстремумите са "на кръст": НМС на \(F(x)\) се достига при НГС на \(g(x)\), а НГС на \(F(x)\) - при НМС на \(g(x)\).
Да се намерят НМС и НГС на \(f(x) = (\frac{1}{2})^{2x+1}\) за \(x \in [-2; 3]\).
Функцията \(f(t) = (\frac{1}{2})^t\) е намаляваща. Функцията \(g(x) = 2x+1\) е растяща.
НМС на \(f(x)\) се достига при НГС на \(g(x)\), т.е. при \(x=3\). НМС = \((\frac{1}{2})^{2(3)+1} = (\frac{1}{2})^7 = \frac{1}{128}\).
НГС на \(f(x)\) се достига при НМС на \(g(x)\), т.е. при \(x=-2\). НГС = \((\frac{1}{2})^{2(-2)+1} = (\frac{1}{2})^{-3} = 8\).
Функцията \(f(t) = (\frac{1}{2})^t\) е намаляваща. Функцията \(g(x) = 2x+1\) е растяща.
НМС на \(f(x)\) се достига при НГС на \(g(x)\), т.е. при \(x=3\). НМС = \((\frac{1}{2})^{2(3)+1} = (\frac{1}{2})^7 = \frac{1}{128}\).
НГС на \(f(x)\) се достига при НМС на \(g(x)\), т.е. при \(x=-2\). НГС = \((\frac{1}{2})^{2(-2)+1} = (\frac{1}{2})^{-3} = 8\).
Намерете НГС на \(f(x) = \log_3(x-1)\) в интервала \([4; 10]\).
Функцията \(f(t)=\log_3 t\) е растяща (основа \(3>1\)).
Функцията \(g(x)=x-1\) е растяща.
Следователно НГС на \(f(x)\) се достига при НГС на \(x\), т.е. \(x=10\).
НГС = \(\log_3(10-1) = \log_3(9) = 2\).
Функцията \(g(x)=x-1\) е растяща.
Следователно НГС на \(f(x)\) се достига при НГС на \(x\), т.е. \(x=10\).
НГС = \(\log_3(10-1) = \log_3(9) = 2\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете най-голямата стойност (НГС) на функцията \(f(x) = -x^2 + 4x + 5\).
Функцията е квадратна с \(a = -1 < 0\), следователно има НГС във върха.
\(x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2\).
НГС = \(f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\).
\(x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2\).
НГС = \(f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\).
Средна: Числото 16 е представено като сбор на две положителни събираеми. Намерете събираемите, ако произведението им е възможно най-голямо.
Нека числата са \(x\) и \(16-x\). Тяхната сума е константа (16).
Според следствието от неравенството на Коши, произведението им \(P = x(16-x)\) е най-голямо, когато те са равни.
\(x = 16-x \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8\).
Отговор: Събираемите са 8 и 8.
Според следствието от неравенството на Коши, произведението им \(P = x(16-x)\) е най-голямо, когато те са равни.
\(x = 16-x \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8\).
Отговор: Събираемите са 8 и 8.
Трудна: Кой от всички правоъгълни триъгълници с лице \(S = 18 \text{ cm}^2\) има най-малка хипотенуза?
Нека катетите са \(a\) и \(b\). Лицето е \(S = \frac{ab}{2} = 18\), откъдето \(ab = 36\).
Хипотенузата е \(c = \sqrt{a^2+b^2}\). Търсим НМС на \(c\), което е еквивалентно на търсене на НМС на \(c^2 = a^2+b^2\).
Разглеждаме сбора \(a^2+b^2\). Произведението на събираемите е \(a^2 b^2 = (ab)^2 = 36^2 = 1296 = \text{const}\).
Сборът \(a^2+b^2\) е най-малък, когато \(a^2 = b^2\), т.е. \(a=b\).
От \(ab=36\) следва \(a^2=36 \Rightarrow a=6\).
Триъгълникът е равнобедрен с катети \(a=b=6\) cm.
Най-малката хипотенуза е \(c = \sqrt{6^2+6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) cm.
Хипотенузата е \(c = \sqrt{a^2+b^2}\). Търсим НМС на \(c\), което е еквивалентно на търсене на НМС на \(c^2 = a^2+b^2\).
Разглеждаме сбора \(a^2+b^2\). Произведението на събираемите е \(a^2 b^2 = (ab)^2 = 36^2 = 1296 = \text{const}\).
Сборът \(a^2+b^2\) е най-малък, когато \(a^2 = b^2\), т.е. \(a=b\).
От \(ab=36\) следва \(a^2=36 \Rightarrow a=6\).
Триъгълникът е равнобедрен с катети \(a=b=6\) cm.
Най-малката хипотенуза е \(c = \sqrt{6^2+6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) cm.
