Най-важното от урока
Основни методи за решаване на екстремални задачи:
1. Квадратна функция: Свеждаме задачата до намиране на връх на парабола (\(x_v = -b/2a\)). Пример: намиране на размери за макс. лице при зададени условия, които водят до квадратна зависимост.
2. Неравенство на Коши:
1. Квадратна функция: Свеждаме задачата до намиране на връх на парабола (\(x_v = -b/2a\)). Пример: намиране на размери за макс. лице при зададени условия, които водят до квадратна зависимост.
2. Неравенство на Коши:
- Ако \(\text{сбор} = \text{const}\), то \(\text{произведението}\) е най-голямо при равни членове. Пример: правоъгълник с даден периметър има най-голямо лице, ако е квадрат.
- Ако \(\text{произведение} = \text{const}\), то \(\text{сборът}\) е най-малък при равни членове. Пример: две числа с дадено произведение имат най-малък сбор, ако са равни.
Екстремална (най-голяма или най-малка) стойност на квадратна функция \(f(x) = ax^2 + bx + c\) се достига във върха на параболата, който има абсциса \(x_v = -\frac{b}{2a}\).
- Ако \(a > 0\), параболата е обърната нагоре (\(\cup\)) и функцията има най-малка стойност (НМС) при \(x = x_v\).
- Ако \(a < 0\), параболата е обърната надолу (\(\cap\)) и функцията има най-голяма стойност (НГС) при \(x = x_v\).
Да се представи числото 13 като сбор на три положителни събираеми \(x, 3x\) и \(13-4x\), така че сборът от квадратите им да е най-малък.
Търсим НМС на функцията \(f(x) = x^2 + (3x)^2 + (13-4x)^2 = 26x^2 - 104x + 169\).
Тъй като \(a=26 > 0\), имаме НМС във върха: \(x_v = -\frac{-104}{2 \cdot 26} = 2\).
Числата са 2, 6, 5.
Търсим НМС на функцията \(f(x) = x^2 + (3x)^2 + (13-4x)^2 = 26x^2 - 104x + 169\).
Тъй като \(a=26 > 0\), имаме НМС във върха: \(x_v = -\frac{-104}{2 \cdot 26} = 2\).
Числата са 2, 6, 5.
Намерете най-малката стойност на функцията \(f(x) = 2x^2 - 12x + 25\).
Коефициентът \(a=2>0\), следователно функцията има НМС.
\(x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = 3\).
НМС = \(f(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 25 = 18 - 36 + 25 = 7\).
\(x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = 3\).
НМС = \(f(3) = 2(3)^2 - 12(3) + 25 = 18 - 36 + 25 = 7\).
Ако сумата на краен брой неотрицателни числа е константа (\(a_1 + a_2 + \dots + a_n = k\)), то тяхното произведение \(P = a_1 a_2 \dots a_n\) е най-голямо, когато числата са равни: \(a_1 = a_2 = \dots = a_n = \frac{k}{n}\).
\[ \text{НГС на } P = \left(\frac{k}{n}\right)^n \]
За да намерим НГС на \(f(x) = (1+2x)^4(6-8x)\), разглеждаме 5-те множителя \(a_1=a_2=a_3=a_4=1+2x\) и \(a_5=6-8x\).
Тяхната сума е \(4(1+2x) + (6-8x) = 4+8x+6-8x = 10 = \text{const}\).
Произведението е най-голямо, когато множителите са равни: \(1+2x = 6-8x \Rightarrow x=1/2\).
НГС = \(f(1/2) = (1+1)^4(6-4) = 2^4 \cdot 2 = 32\). (Грешката в условието е коригирана).
Тяхната сума е \(4(1+2x) + (6-8x) = 4+8x+6-8x = 10 = \text{const}\).
Произведението е най-голямо, когато множителите са равни: \(1+2x = 6-8x \Rightarrow x=1/2\).
НГС = \(f(1/2) = (1+1)^4(6-4) = 2^4 \cdot 2 = 32\). (Грешката в условието е коригирана).
Правоъгълник има периметър 40 cm. Намерете страните му, така че лицето му да е максимално.
Нека страните са \(a\) и \(b\). \(2(a+b)=40 \Rightarrow a+b=20=\text{const}\).
Търсим НГС на лицето \(S = a \cdot b\).
Произведението е най-голямо, когато \(a=b\). От \(a+b=20\) следва \(a=b=10\) cm.
Правоъгълникът е квадрат със страна 10 cm.
Търсим НГС на лицето \(S = a \cdot b\).
Произведението е най-голямо, когато \(a=b\). От \(a+b=20\) следва \(a=b=10\) cm.
Правоъгълникът е квадрат със страна 10 cm.
Ако произведението на краен брой неотрицателни числа е константа (\(a_1 a_2 \dots a_n = k\)), то техният сбор \(S = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) е най-малък, когато числата са равни: \(a_1 = a_2 = \dots = a_n = \sqrt[n]{k}\).
\[ \text{НМС на } S = n \sqrt[n]{k} \]
Да се намери НМС на \(f(x) = 9^{x+4} + \frac{1}{3^{2x+4}}\).
Представяме \(f(x) = 3^{2x+8} + 3^{-2x-4}\).
Произведението на двете събираеми е \(3^{2x+8} \cdot 3^{-2x-4} = 3^4 = 81 = \text{const}\).
Сборът е най-малък, когато събираемите са равни.
НМС = \(2\sqrt{81} = 2 \cdot 9 = 18\).
Представяме \(f(x) = 3^{2x+8} + 3^{-2x-4}\).
Произведението на двете събираеми е \(3^{2x+8} \cdot 3^{-2x-4} = 3^4 = 81 = \text{const}\).
Сборът е най-малък, когато събираемите са равни.
НМС = \(2\sqrt{81} = 2 \cdot 9 = 18\).
Намерете най-малката стойност на сбора на две положителни числа, чието произведение е 100.
Нека числата са \(a\) и \(b\), \(a \cdot b = 100\).
Сборът \(a+b\) е най-малък, когато \(a=b\).
\(a^2=100 \Rightarrow a = 10\). Числата са 10 и 10.
НМС на сбора е \(10+10=20\).
Сборът \(a+b\) е най-малък, когато \(a=b\).
\(a^2=100 \Rightarrow a = 10\). Числата са 10 и 10.
НМС на сбора е \(10+10=20\).
За намиране на екстремуми на съставна функция \(F(x) = f(g(x))\) в затворен интервал се използва монотонността на функциите \(f\) и \(g\).
- Ако \(f\) е растяща, то НМС/НГС на \(F(x)\) се достига там, където \(g(x)\) достига своята НМС/НГС.
- Ако \(f\) е намаляваща, екстремумите са "на кръст": НМС на \(F(x)\) се достига при НГС на \(g(x)\), а НГС на \(F(x)\) - при НМС на \(g(x)\).
Да се намерят НМС и НГС на \(f(x) = (\frac{1}{2})^{2x+1}\) за \(x \in [-2; 3]\).
Функцията \(f(t) = (\frac{1}{2})^t\) е намаляваща. Функцията \(g(x) = 2x+1\) е растяща.
НМС на \(f(x)\) се достига при НГС на \(g(x)\), т.е. при \(x=3\). НМС = \((\frac{1}{2})^{2(3)+1} = (\frac{1}{2})^7 = \frac{1}{128}\).
НГС на \(f(x)\) се достига при НМС на \(g(x)\), т.е. при \(x=-2\). НГС = \((\frac{1}{2})^{2(-2)+1} = (\frac{1}{2})^{-3} = 8\).
Функцията \(f(t) = (\frac{1}{2})^t\) е намаляваща. Функцията \(g(x) = 2x+1\) е растяща.
НМС на \(f(x)\) се достига при НГС на \(g(x)\), т.е. при \(x=3\). НМС = \((\frac{1}{2})^{2(3)+1} = (\frac{1}{2})^7 = \frac{1}{128}\).
НГС на \(f(x)\) се достига при НМС на \(g(x)\), т.е. при \(x=-2\). НГС = \((\frac{1}{2})^{2(-2)+1} = (\frac{1}{2})^{-3} = 8\).
Намерете НГС на \(f(x) = \log_3(x-1)\) в интервала \([4; 10]\).
Функцията \(f(t)=\log_3 t\) е растяща (основа \(3>1\)).
Функцията \(g(x)=x-1\) е растяща.
Следователно НГС на \(f(x)\) се достига при НГС на \(x\), т.е. \(x=10\).
НГС = \(\log_3(10-1) = \log_3(9) = 2\).
Функцията \(g(x)=x-1\) е растяща.
Следователно НГС на \(f(x)\) се достига при НГС на \(x\), т.е. \(x=10\).
НГС = \(\log_3(10-1) = \log_3(9) = 2\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете най-голямата стойност (НГС) на функцията \(f(x) = -x^2 + 4x + 5\).
Функцията е квадратна с \(a = -1 < 0\), следователно има НГС във върха.
\(x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2\).
НГС = \(f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\).
\(x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2\).
НГС = \(f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\).
Средна: Числото 16 е представено като сбор на две положителни събираеми. Намерете събираемите, ако произведението им е възможно най-голямо.
Нека числата са \(x\) и \(16-x\). Тяхната сума е константа (16).
Според следствието от неравенството на Коши, произведението им \(P = x(16-x)\) е най-голямо, когато те са равни.
\(x = 16-x \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8\).
Отговор: Събираемите са 8 и 8.
Според следствието от неравенството на Коши, произведението им \(P = x(16-x)\) е най-голямо, когато те са равни.
\(x = 16-x \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8\).
Отговор: Събираемите са 8 и 8.
Трудна: Кой от всички правоъгълни триъгълници с лице \(S = 18 \text{ cm}^2\) има най-малка хипотенуза?
Нека катетите са \(a\) и \(b\). Лицето е \(S = \frac{ab}{2} = 18\), откъдето \(ab = 36\).
Хипотенузата е \(c = \sqrt{a^2+b^2}\). Търсим НМС на \(c\), което е еквивалентно на търсене на НМС на \(c^2 = a^2+b^2\).
Разглеждаме сбора \(a^2+b^2\). Произведението на събираемите е \(a^2 b^2 = (ab)^2 = 36^2 = 1296 = \text{const}\).
Сборът \(a^2+b^2\) е най-малък, когато \(a^2 = b^2\), т.е. \(a=b\).
От \(ab=36\) следва \(a^2=36 \Rightarrow a=6\).
Триъгълникът е равнобедрен с катети \(a=b=6\) cm.
Най-малката хипотенуза е \(c = \sqrt{6^2+6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) cm.
Хипотенузата е \(c = \sqrt{a^2+b^2}\). Търсим НМС на \(c\), което е еквивалентно на търсене на НМС на \(c^2 = a^2+b^2\).
Разглеждаме сбора \(a^2+b^2\). Произведението на събираемите е \(a^2 b^2 = (ab)^2 = 36^2 = 1296 = \text{const}\).
Сборът \(a^2+b^2\) е най-малък, когато \(a^2 = b^2\), т.е. \(a=b\).
От \(ab=36\) следва \(a^2=36 \Rightarrow a=6\).
Триъгълникът е равнобедрен с катети \(a=b=6\) cm.
Най-малката хипотенуза е \(c = \sqrt{6^2+6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) cm.
