1. Определете броя на решенията на уравнението $ \operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{3}-2 x\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3} $, които принадлежат на интервала: а) $ [0 ; \pi] $; б) $ \left[-\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right] $.

Стъпка 1: Намиране на общото решение на уравнението Използваме формулата за общо решение на тригонометричното уравнение $ \operatorname{cotg}(y) = a $: \[ y = \operatorname{arcctg}(a) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Тъй като $ \operatorname{cotg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $, получаваме: \[ \frac{\pi}{3} - 2x = \frac{2\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Преобразуваме спрямо $ x $: \[ -2x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + k\pi \] \[ -2x = \frac{\pi}{3} + k\pi...

Решаване на Основните Уравнения tg x = a u cotg x = a. Упражнение

Най-важното от урока

Решаване на $ \operatorname{tg} x = a $: Намира се основният ъгъл $ \alpha $ от интервала $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Всички решения са $ x = \alpha + k\pi $.
Пример: $ \operatorname{tg} x = 1 \implies \alpha = \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi $.
Решаване на $ \operatorname{cotg} x = a $: Намира се основният ъгъл $ \alpha $ от интервала $ (0, \pi) $. Всички решения са $ x = \alpha + k\pi $.
Пример: $ \operatorname{cotg} x = -1 \implies \alpha = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{3\pi}{4} + k\pi $.
Запомни: Периодът и за двете функции е $ \pi $, затова към решението се добавя $ k\pi $.

Уравнението $ \operatorname{tg} x = a $ има решение за всяка реална стойност на $ a $, тъй като множеството от стойности на тангенса е $ (-\infty, +\infty) $.

$Графика на функцията $ y = \operatorname{tg} x $ и хоризонтална права $ y = a $. Изобразена е декартова координатна система с означени оси $ x $ и $ y $ и начало $ O(0,0) $. Функцията $ y = \operatorname{tg} x $ е представена с поне три плавни, непрекъснати клона, простиращи се от $ -\infty $ до $ +\infty $. Вертикални пунктирани линии показват асимптотите при $ x = \dots, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots $. Хоризонтална права $ y = a $ е начертана като плътна линия, успоредна на оста $ x $ (за произволна стойност $ a $). Тази права пресича всеки клон на тангенсоидата точно по веднъж, като всички пресечни точки са ясно маркирани. От пресечните точки са спуснати вертикални пунктирани линии към оста $ x $, където са означени съответните стойности на $ x $. Главната пресечна точка в интервала $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ е означена като $ \alpha $. Останалите решения са означени като $ \dots, \alpha - \pi, \alpha + \pi, \alpha + 2\pi, \dots $. По този начин е илюстрирано, че тези безбройни решения се повтарят през период $ \pi $.$

Всички решения се намират по формулата: \[ x = \alpha + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] където $ \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ е единственото решение в този интервал, за което $ \operatorname{tg} \alpha = a $.

Да се реши уравнението $ \operatorname{tg}(3x - \frac{\pi}{4}) = 1 $.
1. Намираме основния ъгъл $ \alpha $. Знаем, че $ \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1 $, следователно $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.
2. Прилагаме формулата: $ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k\pi $.
3. Решаваме спрямо $x$:
$ 3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + k\pi $
$ 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} $

Решете уравнението $ \operatorname{tg} x = \sqrt{3} $.

Търсим ъгъл $ \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, за който $ \operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3} $. Това е $ \alpha = \frac{\pi}{3} $.
Решенията са: $ x = \frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.

Уравнението $ \operatorname{cotg} x = a $ има решение за всяка реална стойност на $ a $.

$На правоъгълна координатна система да се изобрази графиката на функцията $ y = \operatorname{cotg} x $, показвайки поне три пълни клона. Да се отбележат вертикалните асимптоти с пунктирани линии, например при $ x = 0, x = \pi, x = -\pi $. Да се нанесе хоризонтална права $ y = a $. Правата пресича всеки клон на котангенсоидата точно по веднъж. Да се маркират тези пресечни точки. X-координатата на пресечната точка в интервала $ (0, \pi) $ да се означи като $ \alpha $. Останалите пресечни точки да се означат като $ \alpha + \pi $ и $ \alpha - \pi $, ясно илюстрирайки безбройния брой решения, които се повтарят през период $ \pi $. Да се обозначи визуално периодът $ \pi $ между съседни решения на оста x.$

Всички решения се намират по формулата: \[ x = \alpha + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] където $ \alpha \in (0, \pi) $ е единственото решение в този интервал, за което $ \operatorname{cotg} \alpha = a $.

Да се реши уравнението $ \operatorname{cotg}(2x + \frac{\pi}{6}) = -1 $.
1. Намираме основния ъгъл $ \alpha $. Знаем, че $ \operatorname{cotg} \frac{3\pi}{4} = -1 $, следователно $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $.
2. Прилагаме формулата: $ 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + k\pi $.
3. Решаваме спрямо $x$:
$ 2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + k\pi $
$ 2x = \frac{9\pi - 2\pi}{12} + k\pi $
$ 2x = \frac{7\pi}{12} + k\pi $
$ x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Решете уравнението $ \operatorname{cotg} x = \sqrt{3} $.

Търсим ъгъл $ \alpha \in (0, \pi) $, за който $ \operatorname{cotg} \alpha = \sqrt{3} $. Това е $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.
Решенията са: $ x = \frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.

Решения на $ \operatorname{tg} x = 0 $
Корените на уравнението са $ x = k\pi, k \in \mathbb{Z} $.

Решения на $ \operatorname{cotg} x = 0 $
Корените на уравнението са $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.

Нечетност на функциите
Използва се свойството, че $ \operatorname{tg}(-u) = -\operatorname{tg}(u) $ и $ \operatorname{cotg}(-u) = -\operatorname{cotg}(u) $, за да се изнесе минус от аргумента.

Да се реши $ \operatorname{tg}(-2x + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $.
1. Използваме нечетността на тангенс: $ -\operatorname{tg}(2x - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $.
2. Прехвърляме минуса: $ \operatorname{tg}(2x - \frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} $.
3. Основният ъгъл, за който $ \operatorname{tg} \alpha = -\sqrt{3} $ е $ \alpha = -\frac{\pi}{3} $.
4. Решаваме: $ 2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + k\pi \implies 2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Решете уравнението $ \operatorname{tg}(2x - \frac{\pi}{3}) = 0 $.

Прилагаме формулата за $ \operatorname{tg} u = 0 $, която е $ u = k\pi $.
$ 2x - \frac{\pi}{3} = k\pi $
$ 2x = \frac{\pi}{3} + k\pi $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Някои по-сложни уравнения се решават, като първо се разложат на множители или се направи подходящо полагане, за да се сведат до едно или няколко основни уравнения от вида $ \operatorname{tg} x = a $ или $ \operatorname{cotg} x = a $.

Да се реши $ \operatorname{tg}^2 x - \sqrt{3} \operatorname{tg} x = 0 $.
1. Изнасяме $ \operatorname{tg} x $ пред скоби: $ \operatorname{tg} x (\operatorname{tg} x - \sqrt{3}) = 0 $.
2. Решаваме двете получени основни уравнения:
а) $ \operatorname{tg} x = 0 \implies x = k\pi, k \in \mathbb{Z} $
б) $ \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0 \implies \operatorname{tg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $
Решенията на първоначалното уравнение са обединение от решенията на двете.

Решете уравнението $ 3\operatorname{cotg}^2 x - 1 = 0 $.

Преобразуваме: $ \operatorname{cotg}^2 x = \frac{1}{3} $, откъдето $ \operatorname{cotg} x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Решаваме две уравнения:
1) $ \operatorname{cotg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi $
2) $ \operatorname{cotg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{2\pi}{3} + k\pi $
Обединеното решение е $ x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.

Задачи за упражнение

Лесна: Решете уравнението $ \operatorname{tg} x = -1 $.

Основният ъгъл $ \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, за който $ \operatorname{tg} \alpha = -1 $, е $ \alpha = -\frac{\pi}{4} $.
Отговор: $ x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.

Средна: Решете уравнението $ \operatorname{cotg}(2x + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $.

Основният ъгъл $ \alpha \in (0, \pi) $, за който $ \operatorname{cotg} \alpha = \sqrt{3} $, е $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.
$ 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k\pi $
$ 2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k\pi $
$ 2x = -\frac{\pi}{6} + k\pi $
Отговор: $ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Трудна: Решете уравнението $ \operatorname{tg}^2 x - (\sqrt{3}+1)\operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0 $.

Полагаме $ t = \operatorname{tg} x $. Получаваме квадратното уравнение $ t^2 - (\sqrt{3}+1)t + \sqrt{3} = 0 $.
По формулите на Виет (или с дискриминанта) намираме корените $ t_1 = \sqrt{3} $ и $ t_2 = 1 $.
Връщаме се към $ \operatorname{tg} x $:
1) $ \operatorname{tg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi $
2) $ \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi $
Отговор: Решенията са $ x = \frac{\pi}{3} + k\pi $ и $ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $.

29. Решаване на Основните Уравнения tg x = a u cotg x = a. Упражнение

Избери решение на задача:

а)

б)

Стъпка 1: Намиране на общото решение на уравнението

а) Решения в интервала \( [0 ; \pi] \)

Стъпка 2: Определяне на броя решения за подинтервал а)

б) Решения в интервала \( \left[-\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right] \)

Стъпка 3: Определяне на броя решения за подинтервал б)

Кратък запис на решението:

а)

б)

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Кратко решение

а)

б)

Подробно решение

Стъпка 1: Намиране на общото решение на уравнението

а) Решения в интервала \( [0 ; \pi] \)

Стъпка 2: Определяне на броя решения за подинтервал а)

б) Решения в интервала \( \left[-\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right] \)

Стъпка 3: Определяне на броя решения за подинтервал б)

Кратък запис на решението:

а)

б)

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: