Най-важното от урока
Привеждане към еднаква основа: Основна стратегия. Ако \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\), то \(f(x)=g(x)\). Пример: \(5^{x-1}=125 \implies 5^{x-1}=5^3 \implies x-1=3 \implies x=4\).
Изнасяне на множител: При събиране/изваждане на степени. Пример: \(7^{x+1}-7^x = 42 \implies 7^x(7-1)=42 \implies 6 \cdot 7^x = 42 \implies 7^x=7 \implies x=1\).
Логаритмуване: Когато основите са различни. Пример: \(2^x = 3^{x-1}\), логаритмуваме и решаваме за \(x\).
Случай \(A(x)^{B(x)}=1\): Проверяват се 3 случая: 1) \(B(x)=0\), 2) \(A(x)=1\), 3) \(A(x)=-1\) и \(B(x)\) е четно.
Изнасяне на множител: При събиране/изваждане на степени. Пример: \(7^{x+1}-7^x = 42 \implies 7^x(7-1)=42 \implies 6 \cdot 7^x = 42 \implies 7^x=7 \implies x=1\).
Логаритмуване: Когато основите са различни. Пример: \(2^x = 3^{x-1}\), логаритмуваме и решаваме за \(x\).
Случай \(A(x)^{B(x)}=1\): Проверяват се 3 случая: 1) \(B(x)=0\), 2) \(A(x)=1\), 3) \(A(x)=-1\) и \(B(x)\) е четно.
Основният метод за решаване на показателни уравнения е привеждането на двете страни на уравнението към степени с еднаква основа.
Ако \(a > 0\) и \(a \ne 1\), то уравнението \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) е еквивалентно (равносилно) на по-простото уравнение \(f(x) = g(x)\).
Решете уравнението \(3^{x^2-6} = 27\).
Решение: Представяме 27 като степен на 3: \(27=3^3\). \[ 3^{x^2-6} = 3^3 \] Приравняваме степенните показатели: \[ x^2-6 = 3 \implies x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3 \]
Решение: Представяме 27 като степен на 3: \(27=3^3\). \[ 3^{x^2-6} = 3^3 \] Приравняваме степенните показатели: \[ x^2-6 = 3 \implies x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3 \]
Решете уравнението \( (\frac{2}{3})^{x^2-5x} = (\frac{9}{4})^x \).
Привеждаме дясната страна към основа \(\frac{2}{3}\): \((\frac{9}{4})^x = ((\frac{3}{2})^2)^x = (\frac{3}{2})^{2x} = ((\frac{2}{3})^{-1})^{2x} = (\frac{2}{3})^{-2x}\).
Уравнението става: \((\frac{2}{3})^{x^2-5x} = (\frac{2}{3})^{-2x}\).
Приравняваме показателите: \(x^2-5x = -2x \implies x^2-3x = 0 \implies x(x-3) = 0\).
Отговор: \(x_1 = 0, x_2 = 3\).
Уравнението става: \((\frac{2}{3})^{x^2-5x} = (\frac{2}{3})^{-2x}\).
Приравняваме показателите: \(x^2-5x = -2x \implies x^2-3x = 0 \implies x(x-3) = 0\).
Отговор: \(x_1 = 0, x_2 = 3\).
Когато уравнението съдържа сбор или разлика на степени с еднаква основа, използваме свойствата \(a^{m+n}=a^m \cdot a^n\) и \(a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}\), за да изнесем общ множител.
Решете уравнението \(2 \cdot 3^{x+1} + 5 \cdot 3^x = 99\).
Решение: \[ 2 \cdot (3^x \cdot 3^1) + 5 \cdot 3^x = 99 \] Изнасяме \(3^x\) пред скоби: \[ 3^x (2 \cdot 3 + 5) = 99 \] \[ 3^x (6 + 5) = 99 \implies 11 \cdot 3^x = 99 \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2 \]
Решение: \[ 2 \cdot (3^x \cdot 3^1) + 5 \cdot 3^x = 99 \] Изнасяме \(3^x\) пред скоби: \[ 3^x (2 \cdot 3 + 5) = 99 \] \[ 3^x (6 + 5) = 99 \implies 11 \cdot 3^x = 99 \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2 \]
Решете уравнението \(3 \cdot 5^{x+1} + 2 \cdot 5^{x-1} = 77\).
\(3 \cdot 5 \cdot 5^x + 2 \cdot \frac{5^x}{5} = 77\)
\(15 \cdot 5^x + \frac{2}{5} \cdot 5^x = 77\)
\(5^x (15 + \frac{2}{5}) = 77 \implies 5^x (\frac{77}{5}) = 77 \implies 5^x = 5 \implies x = 1\).
\(15 \cdot 5^x + \frac{2}{5} \cdot 5^x = 77\)
\(5^x (15 + \frac{2}{5}) = 77 \implies 5^x (\frac{77}{5}) = 77 \implies 5^x = 5 \implies x = 1\).
Когато основите в уравнението са различни и не могат да се приведат към еднаква основа, логаритмуваме двете страни на уравнението.
Уравнението \(a^{f(x)} = b^{g(x)}\) се решава чрез логаритмуване при подходяща основа (най-често \(a\) или \(b\)), което води до \(f(x) \log_c a = g(x) \log_c b\).
Решете уравнението \(3^{x-2} = 5^x\).
Решение: Логаритмуваме двете страни при основа 3: \[ \log_3(3^{x-2}) = \log_3(5^x) \] Прилагаме свойството \(\log_a b^n = n \log_a b\): \[ (x-2)\log_3 3 = x \log_3 5 \] \[ x-2 = x \log_3 5 \implies x - x \log_3 5 = 2 \implies x(1 - \log_3 5) = 2 \] \[ x = \frac{2}{1 - \log_3 5} \]
Решение: Логаритмуваме двете страни при основа 3: \[ \log_3(3^{x-2}) = \log_3(5^x) \] Прилагаме свойството \(\log_a b^n = n \log_a b\): \[ (x-2)\log_3 3 = x \log_3 5 \] \[ x-2 = x \log_3 5 \implies x - x \log_3 5 = 2 \implies x(1 - \log_3 5) = 2 \] \[ x = \frac{2}{1 - \log_3 5} \]
Решете уравнението \(2^{x+1} = 3^x\).
Логаритмуваме двете страни при основа 2:
\(\log_2(2^{x+1}) = \log_2(3^x)\)
\(x+1 = x \log_2 3\)
\(1 = x \log_2 3 - x \implies 1 = x(\log_2 3 - 1)\)
\(x = \frac{1}{\log_2 3 - 1}\)
\(\log_2(2^{x+1}) = \log_2(3^x)\)
\(x+1 = x \log_2 3\)
\(1 = x \log_2 3 - x \implies 1 = x(\log_2 3 - 1)\)
\(x = \frac{1}{\log_2 3 - 1}\)
Този тип уравнения, където и основата, и показателят съдържат неизвестно, се решават чрез разглеждане на три възможни случая.
Степенният показател е нула, а основата е различна от нула.
\(B(x) = 0\) при \(A(x) \neq 0\).
\(B(x) = 0\) при \(A(x) \neq 0\).
Основата е равна на единица.
\(A(x) = 1\).
\(A(x) = 1\).
Основата е -1, а степенният показател е четно число.
\(A(x) = -1\) и \(B(x)\) е четно цяло число.
\(A(x) = -1\) и \(B(x)\) е четно цяло число.
Решете уравнението \((x-6)^{x^2-9} = 1\).
Решение:
1. \(x^2-9 = 0 \implies x_{1,2}=\pm 3\). Проверяваме основите: \(3-6=-3 \ne 0\), \(-3-6=-9 \ne 0\). Решения са.
2. \(x-6 = 1 \implies x_3=7\). Решение е.
3. \(x-6 = -1 \implies x_4=5\). Проверяваме показателя: \(B(5)=5^2-9=16\), което е четно. Решение е.
Отговор: \(\{-3, 3, 5, 7\}\).
Решение:
1. \(x^2-9 = 0 \implies x_{1,2}=\pm 3\). Проверяваме основите: \(3-6=-3 \ne 0\), \(-3-6=-9 \ne 0\). Решения са.
2. \(x-6 = 1 \implies x_3=7\). Решение е.
3. \(x-6 = -1 \implies x_4=5\). Проверяваме показателя: \(B(5)=5^2-9=16\), което е четно. Решение е.
Отговор: \(\{-3, 3, 5, 7\}\).
Намерете корените на уравнението \((x-1)^{x-2} = 1\).
1. \(x-2 = 0 \implies x=2\). Проверка: основата е \(2-1=1 \ne 0\). Корен е.
2. \(x-1 = 1 \implies x=2\). Същият корен.
3. \(x-1 = -1 \implies x=0\). Проверка на показателя: \(0-2=-2\), което е четно. Корен е.
Отговор: \(x_1=0, x_2=2\).
2. \(x-1 = 1 \implies x=2\). Същият корен.
3. \(x-1 = -1 \implies x=0\). Проверка на показателя: \(0-2=-2\), което е четно. Корен е.
Отговор: \(x_1=0, x_2=2\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(3^{2x-1} = 27\).
\(3^{2x-1} = 3^3 \implies 2x-1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x=2\).
Средна: Решете уравнението \(5^{x+1} - 5^{x-1} = 24\).
\(5^x \cdot 5 - \frac{5^x}{5} = 24 \implies 5^x(5 - \frac{1}{5}) = 24 \implies 5^x \cdot \frac{24}{5} = 24 \implies 5^x = 5 \implies x = 1\).
Трудна: Решете уравнението \( (0.5)^{x^2} \cdot 4^{x+1} = 64^{-1} \).
Привеждаме към основа 2: \(0.5=2^{-1}, 4=2^2, 64=2^6\).
\((2^{-1})^{x^2} \cdot (2^2)^{x+1} = (2^6)^{-1}\)
\(2^{-x^2} \cdot 2^{2x+2} = 2^{-6}\)
\(2^{-x^2 + 2x + 2} = 2^{-6}\)
Приравняваме показателите: \(-x^2 + 2x + 2 = -6 \implies x^2 - 2x - 8 = 0\).
Корените на квадратното уравнение са \(x_1 = 4, x_2 = -2\).
\((2^{-1})^{x^2} \cdot (2^2)^{x+1} = (2^6)^{-1}\)
\(2^{-x^2} \cdot 2^{2x+2} = 2^{-6}\)
\(2^{-x^2 + 2x + 2} = 2^{-6}\)
Приравняваме показателите: \(-x^2 + 2x + 2 = -6 \implies x^2 - 2x - 8 = 0\).
Корените на квадратното уравнение са \(x_1 = 4, x_2 = -2\).
