Най-важното от урока
Многочлен в нормален вид: Няма подобни едночлени, подреден е по низходящи степени. Пример: \(4x^3 - 2x + 5\).
Степен и свободен член: Степента е най-високият степенен показател (тук: 3); свободният член е едночленът без променлива (тук: 5).
Събиране и изваждане: При знак „+“ знаците в скобите се запазват; при знак „-“ знаците се обръщат: \(-(2x - 3) = -2x + 3\).
Умножение с едночлен: Умножава се всеки член: \(a(b + c) = ab + ac\). Пример: \(2x(x - 3) = 2x^2 - 6x\).
Умножение на многочлени: Всеки член се умножава с всеки член: \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\). Пример: \((x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2\).
Степен и свободен член: Степента е най-високият степенен показател (тук: 3); свободният член е едночленът без променлива (тук: 5).
Събиране и изваждане: При знак „+“ знаците в скобите се запазват; при знак „-“ знаците се обръщат: \(-(2x - 3) = -2x + 3\).
Умножение с едночлен: Умножава се всеки член: \(a(b + c) = ab + ac\). Пример: \(2x(x - 3) = 2x^2 - 6x\).
Умножение на многочлени: Всеки член се умножава с всеки член: \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\). Пример: \((x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2\).
Алгебричен сбор на едночлени се нарича многочлен (полином).
Едночлените, които образуват многочлена, се наричат членове на многочлена.
Според броя на членовете си многочленът бива:
- едночлен – състои се от 1 член (напр. \(3x^2\));
- двучлен – състои се от 2 члена (напр. \(6x^2 - 5x\));
- тричлен – състои се от 3 члена (напр. \(5x^2 + 3xy + y\)).
Изразът \(2x - 3y\) е двучлен, защото представлява сбор на два едночлена: \(2x + (-3y)\).
Един многочлен е в нормален вид, когато всички едночлени в него са записани в нормален вид и са извършени всички възможни приведения на подобни едночлени.
Многочлен с една променлива в нормален вид обикновено се подрежда по намаляващите степени на променливата:
\[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]
Числата пред буквените части на членовете в нормален вид се наричат коефициенти на многочлена. Членът, който не съдържа променлива (или съдържа променлива на нулева степен), се нарича свободен член.
Степен на многочлен е най-високата от степените на едночлените в неговия нормален вид.
Многочленът \(6x^3 - 3x^2 + 5x + 4\) е в нормален вид и е подреден по намаляващите степени на \(x\):
- Степента на многочлена е 3 (от члена \(6x^3\));
- Коефициентът пред \(x^3\) е \(6\), пред \(x^2\) е \(-3\), пред \(x\) е \(5\);
- Свободният член е \(4\).
Приведете многочлена \(U = 4x^3 + 5x - 3x^2 - 3 - 3x\) в нормален вид и посочете коефициента пред члена от втора степен.
Подреждаме по намаляващите степени и извършваме приведение:
\[ U = 4x^3 - 3x^2 + (5x - 3x) - 3 = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 3 \]
Коефициентът пред члена от втора степен (\(x^2\)) е \(-3\).
Събирането и изваждането на многочлени се свеждат до разкриване на скоби и привеждане на подобни едночлени:
- Ако пред скобите има знак „+“, скобите се премахват, а знаците на събираемите в тях се запазват: \[ +(a - b) = a - b \]
- Ако пред скобите има знак „-“, скобите се премахват, а знаците на събираемите в тях се променят на противоположни: \[ -(a - b) = -a + b \]
Разкриват се скобите, като се спазва правилото за знаците пред тях.
Групират се и се извършва приведение на подобните едночлени.
\[ (7x^2 - 3x) - (2x^2 + 5x) = 7x^2 - 3x - 2x^2 - 5x = (7 - 2)x^2 + (-3 - 5)x = 5x^2 - 8x \]
Дадени са многочлените \(u = 2x^2 + x + 1\) и \(w = x^2 - x\). Намерете разликата \(u - w\).
\[ u - w = (2x^2 + x + 1) - (x^2 - x) \]
\[ = 2x^2 + x + 1 - x^2 + x \]
\[ = (2x^2 - x^2) + (x + x) + 1 = x^2 + 2x + 1 \]
За да умножим едночлен с многочлен, умножаваме едночлена с всеки член на многочлена и събираме получените произведения (разпределително свойство).
\[ a(b + c + d) = ab + ac + ad \]
\[ -3xy \cdot (2x^2 + 3y^2) = (-3xy) \cdot (2x^2) + (-3xy) \cdot (3y^2) = -6x^3y - 9xy^3 \]
Разкрийте скобите и приведете в нормален вид: \(2x(x^2 - 3x + 1) - x^2(x - 6)\).
\[ 2x(x^2 - 3x + 1) - x^2(x - 6) = 2x^3 - 6x^2 + 2x - (x^3 - 6x^2) \]
\[ = 2x^3 - 6x^2 + 2x - x^3 + 6x^2 \]
\[ = x^3 + 2x \]
За да умножим многочлен с многочлен, умножаваме всеки член на единия многочлен с всеки член на другия многочлен и събираме получените произведения.
\[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]
\[ (a + b)(m + n + p) = am + an + ap + bm + bn + bp \]
\[ (x - 2)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3 = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6 \]
Извършете умножението: \((x - 5)(x^2 + x + 1)\).
\[ (x - 5)(x^2 + x + 1) = x(x^2 + x + 1) - 5(x^2 + x + 1) \]
\[ = x^3 + x^2 + x - 5x^2 - 5x - 5 \]
\[ = x^3 - 4x^2 - 4x - 5 \]
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): Приведете многочлена в нормален вид, намерете степента му и свободния член:
\[ A = 5x^3 - 4x + 6 - 2x^3 + 7x - 9 \]
Групираме подобните едночлени:
\[ A = (5x^3 - 2x^3) + (-4x + 7x) + (6 - 9) \]
\[ A = 3x^3 + 3x - 3 \]
Степен: 3 (най-високата степен на променливата).
Свободен член: \(-3\).
Свободен член: \(-3\).
Задача 2 (Средна): Приведете израза в нормален вид:
\[ B = 3x(x - 2) - (x + 1)(2x - 3) \]
1. Извършваме умноженията:
\[ 3x(x - 2) = 3x^2 - 6x \]
\[ (x + 1)(2x - 3) = 2x^2 - 3x + 2x - 3 = 2x^2 - x - 3 \]
2. Изваждаме многочлените (разкриваме скобите с промяна на знаците):
\[ B = 3x^2 - 6x - (2x^2 - x - 3) \]
\[ B = 3x^2 - 6x - 2x^2 + x + 3 \]
\[ B = x^2 - 5x + 3 \]
Задача 3 (Средна): Пресметнете числената стойност на израза:
\[ C = 3x^2 - y^2 + 5xy - (x^2 - 2xy) - (2x^2 - 5xy - y^2) \]
при \(x = -\frac{1}{3}\) и \(y = -\frac{2}{3}\).
1. Опростяваме израза чрез разкриване на скоби и приведение:
\[ C = 3x^2 - y^2 + 5xy - x^2 + 2xy - 2x^2 + 5xy + y^2 \]
\[ C = (3x^2 - x^2 - 2x^2) + (-y^2 + y^2) + (5xy + 2xy + 5xy) \]
\[ C = 0x^2 + 0y^2 + 12xy = 12xy \]
2. Заместваме стойностите на \(x\) и \(y\):
\[ C = 12 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 12 \cdot \frac{2}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \]
Задача 4 (Трудна): Докажете, че стойността на израза:
\[ D = (x - 2)(x + 5) - x(x + 3) + 14 \]
не зависи от стойността на променливата \(x\), и определете знака на получената стойност.
Разкриваме скобите:
\[ D = (x^2 + 5x - 2x - 10) - (x^2 + 3x) + 14 \]
\[ D = x^2 + 3x - 10 - x^2 - 3x + 14 \]
Привеждаме подобните членове:
\[ D = (x^2 - x^2) + (3x - 3x) + (-10 + 14) \]
\[ D = 4 \]
Тъй като полученият резултат е константата \(4\), изразът не зависи от стойността на \(x\) и приема положителна стойност за всяко \(x\).
