Най-важното от урока
Решаване: Преобразуваме неравенството до вида \(ax > b\) или \(ax < b\). Ако делим на отрицателно число, обръщаме знака. Пример: \(-2x < 12 \Rightarrow x > -6\).
Интервали: Използваме \((\;)\) за строги неравенства (\(<\), \(>\)) и \([\;]\) за нестроги (\(\le\), \(\ge\)). Пример: \(x \ge 5 \Leftrightarrow x \in [5; +\infty)\).
Ключови думи: "не по-малък от" означава \(\ge\); "не по-голям от" означава \(\le\).
Специфични множители: Израз от вида \(x^2 + \text{положително число}\) е винаги положителен и не влияе на знака на неравенството. Пример: \( (x-1)(x^2+5) < 0 \Leftrightarrow x-1 < 0 \).
Интервали: Използваме \((\;)\) за строги неравенства (\(<\), \(>\)) и \([\;]\) за нестроги (\(\le\), \(\ge\)). Пример: \(x \ge 5 \Leftrightarrow x \in [5; +\infty)\).
Ключови думи: "не по-малък от" означава \(\ge\); "не по-голям от" означава \(\le\).
Специфични множители: Израз от вида \(x^2 + \text{положително число}\) е винаги положителен и не влияе на знака на неравенството. Пример: \( (x-1)(x^2+5) < 0 \Leftrightarrow x-1 < 0 \).
Решенията на линейните неравенства са безброй много числа и се представят чрез числови интервали. Важно е да се разграничават строги (<, >) и нестроги (≤, ≥) неравенства.
- Знаците \( > \) (по-голямо) и \( < \) (по-малко) са строги. Граничната стойност не е решение и при запис с интервал се ползва кръгла скоба ( ).
- Знаците \( \ge \) (по-голямо или равно) и \( \le \) (по-малко или равно) са нестроги. Граничната стойност е решение и при запис с интервал се ползва квадратна скоба [ ].
Неравенството \(x \ge -3\) означава "всички числа, по-големи или равни на -3".
Записва се с интервал: \(x \in [-3; +\infty)\).
Графично се изобразява така:
Записва се с интервал: \(x \in [-3; +\infty)\).
Графично се изобразява така:
Запишете неравенството \(x < 8\) като интервал.
Отговор: \(x \in (-\infty; 8)\). Скобата при 8 е кръгла, защото неравенството е строго.
За да се освободим от знаменателите в едно неравенство, умножаваме двете му страни с най-малкото общо кратно (НОК) на всички знаменатели.
Намираме НОК на знаменателите.
Умножаваме всяка част от неравенството с НОК.
Решаваме полученото линейно неравенство.
При умножение или деление на двете страни на неравенството с отрицателно число, посоката на знака на неравенството се обръща!
Да решим \( \frac{x-1}{3} \ge 2 \).
НОК е 3. Умножаваме двете страни по 3: \[ 3 \cdot \frac{x-1}{3} \ge 3 \cdot 2 \] \[ x - 1 \ge 6 \] \[ x \ge 7 \] Решение: \( x \in [7; +\infty) \).
НОК е 3. Умножаваме двете страни по 3: \[ 3 \cdot \frac{x-1}{3} \ge 3 \cdot 2 \] \[ x - 1 \ge 6 \] \[ x \ge 7 \] Решение: \( x \in [7; +\infty) \).
Решете неравенството \( \frac{x}{2} - \frac{x}{4} < 1 \).
НОК на 2 и 4 е 4. Умножаваме по 4:
\[ 4 \cdot \frac{x}{2} - 4 \cdot \frac{x}{4} < 4 \cdot 1 \]
\[ 2x - x < 4 \]
\[ x < 4 \]
Решение: \( x \in (-\infty; 4) \).
Ако в едно неравенство от вида \(A \cdot B > 0\) единият множител (например B) е винаги положителен, то знакът на неравенството зависи изцяло от другия множител (A).
Изрази от вида \(x^2 + k\), където \(k\) е положително число, са винаги положителни. (Например: \(x^2+1, x^2+4, x^2+9\)).
Да решим \( (x-2)(x^2+1) > 0 \).
Тъй като \(x^2+1\) е винаги положително (\(x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2+1 \ge 1\)), можем да го "игнорираме".
Неравенството е еквивалентно на: \[ x - 2 > 0 \] \[ x > 2 \]
Тъй като \(x^2+1\) е винаги положително (\(x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2+1 \ge 1\)), можем да го "игнорираме".
Неравенството е еквивалентно на: \[ x - 2 > 0 \] \[ x > 2 \]
Решете неравенството \( (x+3)(x^2+4) \le 0 \).
Тъй като \(x^2+4\) е винаги положително, неравенството е еквивалентно на \(x+3 \le 0\), откъдето \(x \le -3\).
Много текстови задачи изискват превод на словесен израз в математическо неравенство.
- "не по-голямо от" / "най-много" означава \( \le \)
- "не по-малко от" / "поне" означава \( \ge \)
- "по-голямо от" означава \( > \)
- "по-малко от" означава \( < \)
Твърдението "Изразът \(2(x+5)\) е не по-голям от 3" се записва като:
\[ 2(x+5) \le 3 \]
Решението е: \(2x+10 \le 3 \Rightarrow 2x \le -7 \Rightarrow x \le -3.5 \).
Намерете стойностите на \(x\), за които изразът \(3x-1\) е не по-малък от 8.
Записваме неравенството:
\[ 3x - 1 \ge 8 \]
\[ 3x \ge 9 \]
\[ x \ge 3 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Решете неравенството \( 7x - 5 > 16 \) и представете решението с интервал.
\[ 7x > 16 + 5 \]
\[ 7x > 21 \]
\[ x > 3 \]
Отговор: \( x \in (3; +\infty) \)
Средна: Решете неравенството \( \frac{4x - 1}{3} \ge \frac{x+5}{2} \).
НОК(3, 2) = 6. Умножаваме двете страни по 6:
\[ 2(4x-1) \ge 3(x+5) \]
\[ 8x - 2 \ge 3x + 15 \]
\[ 8x - 3x \ge 15 + 2 \]
\[ 5x \ge 17 \]
\[ x \ge \frac{17}{5} \]
Отговор: \( x \ge 3.4 \) или \( x \in [3.4; +\infty) \)
Трудна: Намерете целите отрицателни числа, които са решения на неравенството \( (x+4.5)(x^2+20) \ge 0 \).
Тъй като множителят \(x^2+20\) е винаги положителен, неравенството е еквивалентно на:
\[ x + 4.5 \ge 0 \]
\[ x \ge -4.5 \]
Търсим целите отрицателни числа, които са по-големи или равни на -4.5. Това са числата: -4, -3, -2, -1.
Отговор: {-4, -3, -2, -1}
Отговор: {-4, -3, -2, -1}
