Най-важното от урока
Ключови изводи: В правоъгълен триъгълник с ъгли \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\):
- Ако знаеш ъгъла (30°): Катетът срещу него е половината от хипотенузата.
Пример: Хипотенуза \(14\) \(\Rightarrow\) катет срещу \(30^\circ\) е \(7\). - Ако знаеш страните: Ако един катет е половината от хипотенузата, ъгълът срещу него е \(30^\circ\).
Пример: Катет \(5\), хипотенуза \(10\) \(\Rightarrow\) ъгълът срещу катета е \(30^\circ\).
В правоъгълен триъгълник страните, които сключват правия ъгъл, се наричат катети, а страната срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза.
Сборът на двата остри ъгъла в правоъгълен триъгълник винаги е \(90^\circ\).
\[ \alpha + \beta = 90^\circ \]
Ако в правоъгълен триъгълник \(\triangle ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) единият остър ъгъл \(\angle A = 40^\circ\), то другият остър ъгъл \(\angle B\) ще бъде:
\[ \angle B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \]
В правоъгълен триъгълник един от острите ъгли е \(70^\circ\). Намерете другия остър ъгъл.
Отговор: \(90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\).
В правоъгълен триъгълник катетът, който лежи срещу ъгъл от \(30^\circ\), е равен на половината от хипотенузата.
Ако \(\angle A = 30^\circ\), то \( a = \frac{1}{2}c \) или \( c = 2a \).
В \(\triangle ABC (\angle C = 90^\circ)\), ако \(\angle B = 30^\circ\) и хипотенузата \(AB = 12 \text{ см}\), то катетът срещу \(\angle B\), който е \(AC\), е равен на \(12 / 2 = 6 \text{ см}\).
Правоъгълен триъгълник има хипотенуза \(20\text{ см}\) и остър ъгъл \(30^\circ\). Намерете дължината на катета срещу този ъгъл.
Отговор: Катетът е половината от хипотенузата, следователно \(20 / 2 = 10 \text{ см}\).
Ако в правоъгълен триъгълник един от катетите е равен на половината от хипотенузата, то ъгълът срещу този катет е \(30^\circ\).
Ако \(a = \frac{1}{2}c\), то ъгълът срещу катета \(a\) е \(30^\circ\).
В \(\triangle ABC (\angle C = 90^\circ)\), ако катетът \(BC = 7 \text{ см}\) и хипотенузата \(AB = 14 \text{ см}\), то \(\angle BAC\) (ъгълът срещу катета \(BC\)) е равен на \(30^\circ\), защото \(7 = 14 / 2\).
Правоъгълен триъгълник има хипотенуза \(16\text{ см}\) и катет \(8 \text{ см}\). Колко градуса е ъгълът срещу този катет?
Отговор: Тъй като катетът \((8\text{ см})\) е половината от хипотенузата \((16 \text{ см})\), ъгълът срещу него е \(30^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: В правоъгълен триъгълник с ъгъл \(30^\circ\) хипотенузата е \(18\text{ см}\). Намерете дължината на катета срещу ъгъла от \(30^\circ\).
Катетът срещу ъгъл \(30^\circ\) е половината от хипотенузата.
\( \text{Катет} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см} \).
\( \text{Катет} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см} \).
Средна: В правоъгълен триъгълник \(\triangle ABC (\angle C = 90^\circ)\), катетът \(BC=4 \text{ см}\) и \(\angle A = 30^\circ\). Намерете дължината на хипотенузата \(AB\) и мярката на \(\angle B\).
Катетът \(BC\) лежи срещу ъгъл \(A = 30^\circ\). Следователно хипотенузата е два пъти по-голяма от него.
\( AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см} \).
Сборът на острите ъгли е \(90^\circ\), така че \(\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
Отговор: \(AB = 8 \text{ см}\), \(\angle B = 60^\circ\).
\( AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см} \).
Сборът на острите ъгли е \(90^\circ\), така че \(\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
Отговор: \(AB = 8 \text{ см}\), \(\angle B = 60^\circ\).
Трудна: В равнобедрен \(\triangle ABC (AC=BC)\) ъгълът при върха \(C\) е \(\angle ACB = 120^\circ\). Ако височината към основата \(CH\) е с дължина \(5\text{ см}\), намерете дължината на бедрото \(AC\).
Разглеждаме правоъгълния \(\triangle AHC\).
1. Височината \(CH\) в равнобедрен триъгълник е и ъглополовяща, следователно \(\angle ACH = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\).
2. В \(\triangle AHC\), \(\angle H = 90^\circ\) и \(\angle ACH = 60^\circ\). Следователно третият ъгъл \(\angle HAC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
3. В \(\triangle AHC\), катетът \(CH\) лежи срещу ъгъл \(30^\circ\) (\(\angle HAC\)).
4. Следователно \(CH\) е половината от хипотенузата \(AC\).
5. \(AC = 2 \cdot CH = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}\).
Отговор: Дължината на бедрото \(AC\) е \(10\text{ см}\).
1. Височината \(CH\) в равнобедрен триъгълник е и ъглополовяща, следователно \(\angle ACH = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\).
2. В \(\triangle AHC\), \(\angle H = 90^\circ\) и \(\angle ACH = 60^\circ\). Следователно третият ъгъл \(\angle HAC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
3. В \(\triangle AHC\), катетът \(CH\) лежи срещу ъгъл \(30^\circ\) (\(\angle HAC\)).
4. Следователно \(CH\) е половината от хипотенузата \(AC\).
5. \(AC = 2 \cdot CH = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}\).
Отговор: Дължината на бедрото \(AC\) е \(10\text{ см}\).
