Най-важното от урока
Основно правило: За да умножиш два многочлена, умножи всеки член от първия с всеки член от втория. Пример: \((x+2)(y-3) = x \cdot y + x(-3) + 2 \cdot y + 2(-3) = xy - 3x + 2y - 6\).
Привеждане: След умножението винаги събирай подобните едночлени (тези с еднакви променливи на еднаква степен). Пример: \(x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6\).
Резултат: Резултатът е многочлен в нормален вид, чиято степен, коефициенти и свободен член могат да бъдат определени.
Привеждане: След умножението винаги събирай подобните едночлени (тези с еднакви променливи на еднаква степен). Пример: \(x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6\).
Резултат: Резултатът е многочлен в нормален вид, чиято степен, коефициенти и свободен член могат да бъдат определени.
Двучлени се умножават, като всеки член на единия двучлен се умножи с всеки член на другия, а получените едночлени се съберат. След умножението, подобните едночлени се събират (извършва се приведение).
\[ (a+b)(c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d \]
Да умножим \((x+4)(x+1)\):
\[ (x+4)(x+1) = x \cdot x + x \cdot 1 + 4 \cdot x + 4 \cdot 1 \] \[ = x^2 + x + 4x + 4 \] След привеждане на подобните членове (\(x\) и \(4x\)) получаваме: \[ = x^2 + 5x + 4 \]
\[ (x+4)(x+1) = x \cdot x + x \cdot 1 + 4 \cdot x + 4 \cdot 1 \] \[ = x^2 + x + 4x + 4 \] След привеждане на подобните членове (\(x\) и \(4x\)) получаваме: \[ = x^2 + 5x + 4 \]
Извършете умножението: \((y-2)(y+5)\).
\[ (y-2)(y+5) = y \cdot y + y \cdot 5 - 2 \cdot y - 2 \cdot 5 \]
\[ = y^2 + 5y - 2y - 10 = y^2 + 3y - 10 \]
Правилото за умножение важи и за многочлени с повече от два члена. Всеки член на единия многочлен се умножава с всеки член на другия, след което се извършва приведение.
\[ (a+b)(m+n+p) = am + an + ap + bm + bn + bp \]
Да умножим \((x-5)(x^2+x+1)\):
\[ (x-5)(x^2+x+1) = x(x^2+x+1) - 5(x^2+x+1) \] \[ = x^3 + x^2 + x - 5x^2 - 5x - 5 \] След привеждане на подобните членове (\(x^2\) и \(-5x^2\); \(x\) и \(-5x\)) получаваме: \[ = x^3 - 4x^2 - 4x - 5 \]
\[ (x-5)(x^2+x+1) = x(x^2+x+1) - 5(x^2+x+1) \] \[ = x^3 + x^2 + x - 5x^2 - 5x - 5 \] След привеждане на подобните членове (\(x^2\) и \(-5x^2\); \(x\) и \(-5x\)) получаваме: \[ = x^3 - 4x^2 - 4x - 5 \]
Извършете умножението: \((a+2)(a^2-a+3)\).
\[ (a+2)(a^2-a+3) = a(a^2-a+3) + 2(a^2-a+3) \]
\[ = a^3 - a^2 + 3a + 2a^2 - 2a + 6
= a^3 + a^2 + a + 6 \]
След умножението и привеждането в нормален вид, можем да анализираме резултата.
- Степен на многочлена: най-високата степен на променливата в него.
- Коефициент пред дадена степен: числото, с което е умножена променливата на тази степен.
- Свободен член: членът, който не съдържа променлива.
За многочлена \(A = (x^2-3)(x^2+2x-5)\), след умножение получаваме \(A = x^4 + 2x^3 - 8x^2 - 6x + 15\).
- Степента на \(A\) е 4 (от \(x^4\)).
- Коефициентът пред \(x^2\) е -8.
- Свободният член е 15.
Даден е многочленът \(B = (x+1)(2x-3)\). Приведете го в нормален вид и определете степента, коефициента пред \(x\) и свободния член.
\(B = (x+1)(2x-3) = 2x^2 - 3x + 2x - 3 = 2x^2 - x - 3\)
- Степен: \(2\)
- Коефициент пред \(x\): \(-1\)
- Свободен член: \(-3\)
Задачи за упражнение
Лесна: Извършете умножението \((a+3)(a+7)\).
\[ (a+3)(a+7) = a^2 + 7a + 3a + 21 = a^2 + 10a + 21 \]
Средна: Извършете умножението \((2x-3y)(x-y)\) и приведете в нормален вид.
\[ (2x-3y)(x-y) = 2x \cdot x + 2x(-y) -3y \cdot x -3y(-y) \]
\[ = 2x^2 - 2xy - 3xy + 3y^2 = 2x^2 - 5xy + 3y^2 \]
Трудна: Даден е изразът \(C = (y-2)(y^2+2y+4)\). Извършете умножението и намерете стойността на \(C\) при \(y=3\).
Първо извършваме умножението:
\[ C = y(y^2+2y+4) - 2(y^2+2y+4) \]
\[ = y^3 + 2y^2 + 4y - 2y^2 - 4y - 8 \]
След приведение получаваме:
\[ C = y^3 - 8 \]
Сега заместваме \(y=3\):
\[ C = 3^3 - 8 = 27 - 8 = 19 \]
