117. Признак За Еднаквост На Два Правоъгълни Триъгълника

Тази задача изисква да приложим знанията си за еднаквост на правоъгълни триъгълници и свойствата на успоредните прави. Ще следваме стъпките, зададени в условието.

а) Докажете, че \( \triangle AOC \cong \triangle BOD \)

Стъпка 1: Анализ на даденото за триъгълниците

От условието знаем, че отсечките \( AB \) и \( CD \) са перпендикулярни (\( AB \perp CD \)). Това означава, че при пресичането си в точка \( O \), те образуват прави ъгли: \[ \angle AOC = \angle BOD = 90^\circ \] Също така, точка \( O \) е среда на отсечката \( AB \), което означава, че тя я разделя на две равни части: \[ AO = BO \] По условие ни е дадено и че хипотенузите на двата триъгълника са равни: \[ AC = BD \]

Стъпка 2: Оформяне на доказателството

За да докажем еднаквостта според бланката в условието, записваме трите елемента: Разглеждаме правоъгълните \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \). 1) \( \angle AOC = \angle BOD = 90^\circ \) (защото \( AB \perp CD \)) 2) \( AO = BO \) (защото \( O \) е средата на \( AB \)) 3) \( AC = BD \) (по условие) \[ \Rightarrow \triangle AOC \cong \triangle BOD \] по признак за еднаквост на правоъгълни триъгълници (по катет и хипотенуза).

б) Докажете, че \( AC \parallel BD \)

Стъпка 3: Използване на свойствата на еднаквите триъгълници

След като вече сме доказали, че \( \triangle AOC \cong \triangle BOD \), можем да използваме факта, че всичките им съответни елементи са равни. Съответните ъгли срещу равните катети \( CO \) и \( DO \) са: \[ \angle CAO = \angle DBO \] (Можем да ги запишем и като \( \angle CAB = \angle DBA \)).

Стъпка 4: Доказване на успоредност

Разглеждаме правите \( AC \) и \( BD \), които са пресечени от правата \( AB \). Ъглите \( \angle CAO \) и \( \angle DBO \) лежат от вътрешната страна на правите и от различни страни на пресичащата ги права. Следователно те са кръстни ъгли. Според признака за успоредност на прави, щом два кръстни ъгъла са равни, то правите са успоредни: \[ \Rightarrow AC \parallel BD \]

в) Намерете \( CD \), ако \( CO = 14 \) см

Стъпка 5: Намиране на дължината на отсечката \( CD \)

Отново ще използваме еднаквостта на двата триъгълника. В еднаквите триъгълници \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \), съответните страни, лежащи срещу равните ъгли \( \angle CAO \) и \( \angle DBO \), са равни: \[ CO = DO \] По условие знаем, че \( CO = 14 \) см. Следователно: \[ DO = 14 \text{ см} \] Цялата отсечка \( CD \) е съставена от двете части \( CO \) и \( DO \), които се събират. За да намерим дължината ѝ, събираме двете стойности: \[ CD = CO + DO \] \[ CD = 14 + 14 = 28 \text{ см} \]

а)

В правоъгълните \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \): 1)\( \angle AOC=\angle BOD=90^\circ \); 2)\( AO=BO \); 3)\( AC=BD \) \[ \Rightarrow \triangle AOC \cong \triangle BOD \] (по признак за правоъгълни триъгълници - катет и хипотенуза).

б)

От еднаквостта \( \Rightarrow \angle CAO = \angle DBO \). Те са равни кръстни ъгли \( \Rightarrow AC \parallel BD \).

в)

От еднаквостта \( \Rightarrow CO = DO = 14 \) см. \[ CD = CO + DO = 14 + 14 = 28 \text{ см} \]